LEKCJA 3 – ostatnia lekcja statystyki :)

LEKCJA 3 – ostatnia lekcja statystyki :)
(część 1/3)
Gdy umiemy już (z grubsza) wszystkie wykresy i wzory z poprzednich lekcji, możemy przystąpić do
ostatniej lekcji – nauczyć się testów (kiedy jaki się stosuje), założeń testów, hipotez zerowych i...
tego co to jest estymator łączny ;) . Do dzieła! :)
Testy i zagadnienia poukładane są w porządku losowym, ponieważ tutaj nie ma jasnego klucza
według którego mogą być dobrane pytania.
Na początek jednak coś innego:
ESTYMATOR ŁĄCZNY
Wiele osób o to pytało :)
Jeśli chodzi o estymator łączny, to:
- po pierwsze pamiętamy, że jest to dół wzoru Fishera
Estymator łączny (wariancja wewnątrzgrupowa) powinna być jak najmniejsza. W statystyce
przyjmuje się, że jest ona miarą błędu, natomiast wariancja międzygrupowa jest miarą tego, jaki
efekt dały zabiegi, które robiliśmy. Jednym z założeń analizy wariancji jest to, że wariancja
wewnątrz grup ma być homogeniczna (taka sama). W rzeczywistości trudno to spełnić, ale się
staramy. Obrazując:
Jeśli mamy 5 grup dzieci i chcemy zbadać, jak dzieci tyją:
- pierwszą grupę karmimy ryżem
- drugą czekoladą
- trzecią kamieniami
- czwartą pierożkami
- a piątej wcale
Teraz w naszym eksperymencie chcemy wykazać, na jakiej diecie dzieci tyją najszybciej. Musimy
więc mieć 5 identycznych grup dzieci. Czyli nie może być w jednej grupie 10 grubasów, a w drugiej
same niejadki. Wszędzie mają być takie same dzieci - to oznacza homogeniczność wariancji
wewnątrzgrupowych. Im bardziej homogeniczne te wariancje, tym lepiej i tym mniejszy błąd.
Z punktu widzenia naukowego, estymator łączny to "średnia ważona wariancji, gdzie wagą są
stopnie swobody" :) . Szczerze mówiąc jest to po prostu przeczytany wzór, ale jeśli nauczycie się
tej definicji, na pewno powinna starczyć
CZĘŚĆ 1 – ZAŁOŻENIA TESTÓW
Każdy test ma swoją nazwę i tak samo każdy test ma swoje założenia – na szczęście główne
założenia są takie same, więc łatwiej będzie się ich nauczyć.
Zacznijmy jednak od początku – po co nam test?
Testy statystyczne służą do badania tego, czy istnieje istotność statystyczna naszych badań – czy
wynik, który osiągnęliśmy jest ważny, czy przypadkowy. Czy to, że nasza klasa ma średnie IQ=104
a populacja = 100 to coś oznacza, czy nie? Czy dzieci nagradzane lepiej rozwiązują zadania, czy
nie? Itd. W teorii do każdego z takich pytań można przeprowadzić eksperyment, zapisać sobie
wyniki i policzyć test. Robi się to według wzorów, które zostały opisane w poprzedniej lekcji :)
I teraz – gdy podstawimy już wszystkie dane do wzoru i uzyskamy jakiś wynik – przykładowo
t=1,24 co to nam daje?
Do tego momentu jeszcze nic – gdy mamy już wynik, odnajdujemy w odpowiednich tablicach
właściwą wartość krytyczną (na egzaminie nie trzeba tego robić) i porównujemy tę wartość z
1/5
naszym wynikiem. Załóżmy, że nasze t=1,24 natomiast t z tablic (wartość krytyczna)=1,01
1=1,24 > tkr=1,01
W takiej sytuacji, gdy nasz wynik testu jest większy, oznacza to, że test był istotny statystycznie, a
więc, że całych wieloletnich badań nie robiliśmy bez sensu ;) . Czyli jest istotna różnica przy
nagradzaniu dzieci, kurczaczki są bardziej żółte od innych kurczaczków, itd. Wszystko się udało :)
Gdyby jednak w tablicach wartości krytycznych udało nam się odczytać tkr=2,08 mielibyśmy taką
sytuację:
t=1,24 < tkr=2,08
W takiej sytuacji oznaczałoby to, że nasz test (badania) nie są istotne statystycznie, czyli nic nie
wykazaliśmy.
Gdyby nasze t wyszło ujemne np. t = -1,2 wtedy do testu używamy jego wartości bezwzględnej
(czyli po prostu kasujemy minus). Fachowo zapisuje się tak:
|t| > tkr
lub
|t| > tα,df
Ten zabieg – porównywanie naszego wyniku testu z wartością krytyczną znalezioną w tablicach
nazywa się kryterium decyzyjnym.
Jeśli zostaniecie zapytani o kryterium decyzyjne każdego testu t-Studenta (dla jednej próby, dla
grup zależnych, niezależnych), F-Fishera, albo Chi kwadrat, wystarczy powiedzieć, że jeśli wynik
naszego testu jest większy od wartości krytycznej, wtedy test jest istotny statystycznie. Nie ma w
tym większej filozofii, chociaż nieźle się nazywa ;)
Kolejna sprawa to jedno z podstawowych założeń, które powtarza się w każdym teście. Zapytani o
założenia na początku zawsze możemy powiedzieć:
Poziom istotności alfa określamy (zakładamy) subiektywnie
Co to oznacza?
W tym wypadku chodzi o to, jak istotne są nasze badania – na przykład:
Jeśli założymy sobie poziom alfa = 0,05, przeprowadzimy nasz test i okaże się, że test wyszedł,
wtedy mówi nam to o tym, że istnieje mniej niż 5% (bo 0,05 to inaczej 5%) szans na to, że nasze
badania były przypadkowe.
Gdybyśmy założyli sobie poziom istotności alfa = 0,01, wtedy istniałoby mniej niż 1% szansy na to,
że nasz wynik jest przypadkowy. I tak w nieskończoność. Moglibyśmy założyć sobie nawet alfa =
0,178 (czyli byłoby mniej niż 17,8% szansy na to, że wynik jest przypadkowy), tylko byłoby to bez
sensu ;) . Jednym słowem – wymyślamy sobie jakąś alfę i to pierwsze założenie.
Dodatkowo możesz powiedzieć, że w psychologii najczęściej używa się alfa=0,05 albo 0,01.
Dlaczego wszystkim badaniom nie daje się poziomu istotności alfa=0,01?
Bo nie ;) . A tak na serio im mniejszą wartość ma alfa, tym trudniej przeprowadzić test, bo wartość
krytyczna rośnie. W praktyce możemy sobie najpierw założyć poziom istotności alfa 0,05, a gdy się
okaże, że nasz wynik wyszedł super-duży, wtedy możemy sprawdzić wartość w tablicach i zmienić
sobie alfę na 0,01, albo jeszcze mniej. Ale to tak na marginesie. Podsumowując: Poziom istotności
zakładamy subiektywnie :)
2/5
Hipoteza zerowa/hipoteza alternatywna?
Częstym pytaniem jest pytanie o hipotezę zerową i alternatywną. Jeśli chwilowo nie pamiętamy, co
to i po co nam to, to mamy dobrą okazję aby to powtórzyć :)
W życiu możemy postawić sobie dowolną teorię – wymyślić hipotezę i z dumą ją udowodnić
znajdując mnóstwo faktów. W ten sposób powstało wiele teorii spiskowych (nic do nich nie mam,
to tylko taki przykład).
A teraz mała bajka: Wyobraźmy sobie, że zakładamy, iż światem rządzą Smurfy. A potem szukamy
i znajdujemy w internecie (i na Wikipedii ;) ) dużo faktów, które za tym przemawiają. Okazuje się,
że prezes Banku Światowego ma breloczek z Papą Smurfem, a prezydent jakiegoś kraju czytał
swoim dzieciom bajkę o Smurfach. Szukamy dalej i znajdujemy mnóstwo innych newsów, okazuje
się, że Smurfy są najczęściej emitowaną dobranocką na świecie, że są w godzinach najlepszej
oglądalności itd. Mijają kolejne dni i całkiem zaczynamy w to wierzyć – zupełnie bezkrytycznie. I
tak dalej. Mimo tego, że nasz pomysł był totalnie od czapy, zaczyna być dla nas wiarygodny. To
właśnie przykład czegoś, czego nie wolno robić w nauce i właśnie po to wymyślono w metodologii
hipotezę zerową.
Hipoteza zerowa zakłada (zawsze!) brak wpływu, brak różnic itd.
W powyższym przykładzie hipoteza zerowa byłaby taka, że świata nie kontrolują Smurfy.
Zgodnie z metodologią badań, powinniśmy postawić hipotezę zerową i znajdywać istotne
statystycznie dane, które mogły by ją sfalsyfikować (czyli odrzucić) :) .
Hipoteza alternatywna to coś przeciwnego, co przyjmiemy po obaleniu hipotezy zerowej. Dla
badania, czy świat kontrolują Smurfy hipotezy wyglądałyby następująco:
H0: Świat nie jest kontrolowany przez Smurfy
H1: Świat jest kontrolowany przez Smurfy
Podczas wnioskowania statystycznego możemy popełnić 2 poważne błędy (i trzeci mało istotny,
który na końcu podam jako ciekawostkę):
Błąd pierwszego rodzaju (alfa):
Polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, gdy tak naprawdę jest ona prawdziwa.
Czyli gdy tak strasznie nam się spieszy do hipotezy alternatywnej, że nie patrząc na dane
odrzucamy H0
Błąd drugiego rodzaju (beta):
Jest odwrotny, czyli gdy przyjmujemy na przekór wszystkiemu H0.
Jako ciekawostkę można dodać, że istnieje też błąd trzeciego rodzaju (gamma), który
występuje gdy postawimy złą hipotezę kierunkową...
Hipoteza kierunkowa/bezkierunkowa
W statystyce używamy hipotez kierunkowych i bezkierunkowych. Hipotezy bezkierunkowe
wyglądają np. tak:
H0: Kolor włosów nie ma wpływu na tempo nauki
H1: Kolor włosów ma wpływ na tempo nauki
Gdybyśmy przeprowadzili test o takich hipotezach i udałoby nam się odrzucić H0, wtedy wynik po
prostu mówiłby nam, że ktoś się uczy szybciej. Nie byłoby jednak wiadomo kto.
3/5
Profesjonalnie zapisuje się to tak:
H0: μ1 = μ2
H1: μ1 ≠ μ2
albo
H0: μ1 – μ2 = 0
H1: μ1 – μ2 ≠ 0
Hipoteza kierunkowa ujawnia większy rąbek tajemnicy:
H0: Żółte żółwie biegają równo lub szybciej niż zielone
H1: Zielone żółwie biegają szybciej niż żółte
Czyli mamy już zakreślony jakiś kierunek badań – wiemy, że coś jest „bardziej” ;)
W przypadku naukowym wyglądałoby to poważniej:
H0: Nie ma istotnych statystycznie różnic w zapamiętywaniu książki telefonicznej przez pacjentów z
chorobą Parkinsona
H1: Pacjenci z chorobą Parkinsona zapamiętują książkę telefoniczną wolniej niż osoby zdrowe
Profesjonalnie zapisuje się to tak:
H0: μ1 ≤ μ2
H1: μ1 > μ2
albo
H0: μ1 – μ2 ≤ 0
H1: μ1 – μ2 > 0
Teraz zajmijmy się tym, co trzeba umieć dla każdego testu jeśli p.Aranowska zapyta Cię np. „jaka
jest hipoteza zerowa dla testu r-Pearsona” albo „jaka jest hipoteza zerowa dla testu t-Studenta dla
grup niezależnych z homogenicznymi wariancjami”. Startujemy:
Test t-Studenta dla jednej populacji:
Czytamy to tak:
Hipoteza zerowa: nie ma istotnych statystycznie różnic między badaną próbą a populacją
Hipoteza alternatywna: są różnice (znaczek ~ oznacza negację, tak jak w logice)
Nie musisz się uczyć wszystkich tych zawijasów na pamięć. Wystarczy, że będziesz z grubsza
wiedzieć, że H0 oznacza brak różnic :)
Test t-Studenta dla dwóch prób niezależnych:
Test t-Studenta dla dwóch populacji niezależnych :
wariancje homogeniczne:
wariancje heterogeniczne:
W tych wszystkich przypadkach H0 znów wygląda tak:
I czytamy to podobnie – H0: nie ma różnic między próbami/populacjami
4/5
Test t-Studenta dla dwóch prób zależnych:
H0 mówi nam o tym, że nie było istotnych różnic między wynikami badań w obu sytuacjach.
Ten test służy do badania np. stresu u artystów przed i po występie. Hipoteza zerowa jak zawsze
wskazuje na to, że nie było różnic, czyli że stres nie wpłynął na artystów :)
Test Fishera (Anova, Analiza wariancji jednoczynnikowa):
Hipoteza zerowa mówi nam tutaj o tym, że nie ma różnicy między wariancją międzygrupową i
wewnątrzgrupową, czyli, że nie było wpływu naszego eksperymentu na żadną z grup (wszystkie
badane grupy dzieci tyły w ten sam sposób ;) ).
Hipoteza alternatywna wskazuje na to, że były różnice – nasz eksperyment spowodował istotną
statystycznie różnicę w którejś z grup.
Test r-Pearsona (Korelacja):
Hipoteza zerowa mówi nam o braku związku między zmiennymi, które badaliśmy. Ten dziwny
znaczek to grecka litera „ro”. W fizyce oznacza gęstość materiału, w statystyce to to samo co rPearsona (wzór w poprzedniej lekcji) :)
Test Chi kwadrat:
Hipoteza zerowa mówi nam o tym, że nie ma różnic pomiędzy tym co zaobserwowaliśmy, a tym
czego oczekiwaliśmy.
Np. jeśli oczekiwaliśmy, że zgodnie z prawdopodobieństwem przy 100 rzutach monetą wypadnie 50
orłów i 50 reszek, to... tyle wypadło :)
5/5