Zawiesiny czasteczkowe o niskich koncentracjach i ich przepływy

Transkrypt

Zawiesiny cząsteczkowe o niskich koncentracjach
i ich przepływy
październik 2013
Zawiesiny cząsteczkowe o niskich koncentracjach i ic
Ruch małych cząstek
Zagadnienia „środowiskowe” transportu często koncentrują się na
transporcie małych cząsteczek (sadza, popiół, organiczne cząsteczki
w ściekach)
małe ?? – d ¬ 10−5 m.
Nie tylko same cząsteczki są ważne, ale to co potrafi się „przykleić”
do ich powierzchni (np. pestycydy zaadsorbowane na cząsteczkach iłu
w strumieniu).
Jakie siły decydują o ruchu cząsteczek w takich ośrodkach?
Siły oporu działające na sferę
Rysunki
Komentarze
Rozważamy opływ cząsteczki
(średnica dcz )
przez płyn (gęstość ρpl ; lepkość µ),
poruszający się ze stałą prędkością U
(prędkość „daleko” od cząsteczki –
to jest bardzo ważny warunek brzegowy).
Opływ
cząsteczki dla niskich wartości
liczby Reynoldsa.
Pamiętamy (?), że podstawowym (i
bezwymiarowym) parametrem określającym przepływy jest
liczba Rey-
noldsa, Re
(1)
Recz =
dcz U ρpl
.
µ
Dla Re 1
mamy tzw. przepływ Stokes’a
– symetryczny (przód/tył, góra/dół),
bez efektów powierzchniowych.
Siły oporu działające na sferę, c.d.
Siła oporu całkowitego, na który składa się tzw. opór kształtu i opór
naskórkowy to dobrze nam znany wzór Stokesa:
(2)
Fop = 3πdcz U µ = 6πrcz U µ.
liczba Reynoldsa ??? stosunek charakterystycznych „skali” czasu dla
procesów lepkości i konwekcji, albo (odwrotności) sił potrzebnych do
pokonania oporu lepkiego i sił bezwładności (czyli sił potrzebnych do
nadania określonej energii kinetycznej).
Dla Re 1 charakterystyczny czas „lepki” (jego jednostka) jest dużo
mniejszy od czasu „bezwładnego”, albo siły lepkości są znacznie
skuteczniejsze niż bezwładnościowe. Dla takiej właśnie sytuacji
równanie (2) jest poprawne. Dla Re > 1 siły oporu już trzeba
wyznaczać inaczej, np. eksperymentalnie.
U podstaw takich metod eksperymentalnych leży wzór Newtona . . .
wzór Newtona
(3)
1
Fop = Cop ρpl U 2 A,
2
gdzie Fop to siła oporu przy przepływie ustalonym,
Cop – współczynnik oporu,
A – pole powierzchni przekroju cząsteczki, „widzianego” przez
poruszający się płyn.
Właśnie współczynniki Cop są określane eksperymentalnie (wykresy,
lub formuły empiryczne).
Np. dla sfer
24
0 ¬ Recz ¬ 2,
Cop =
Re cz
18, 5
Cop =
2 ¬ Recz ¬ 500,
Recz 0.6
Cop = 0.44
500 ¬ Recz ¬ 2 × 105
wzór Newtona, współczynniki Cop
Wykresy współczynnika Cop dla sfer, walców i dysków, w funkcji
liczby Reynoldsa.
wzór Newtona, c.d.
Dla małych (malutkich!) cząsteczek możemy mieć kłopoty z
„utrzymaniem” pojęcia ośrodka ciągłego –
cząsteczka o wymiarach porównywalnych z wymiarami cząsteczek
ośrodka ciągłego porusza się pomiędzy takimi cząsteczkami
„swobodniej”, wykorzystując luki w (ziarnistej już) strukturze
ośrodka.
Prowadzi to do pewnej modyfikacji prawa Stokesa
(4)
Fop =
3πdU µ
,
CC
d ≡ dcz , CC to tzw. współczynnik poślizgu Cunninghama:
(5)
CC = 1 + Kn [α + β exp(−γ/Kn)] ;
(α = 1.257; β = 0.40; γ = 1.10 – współczynniki liczbowe).
Powyższy wzór, zastosowany do powietrza jako medium w którym
poruszają się nasze cząsteczki (średnica d) daje następujące wyniki:
Współczynnik poślizgu Cunninghama dla powietrza
w funkcji średnicy cząstek (p = 1 atm; t = 25◦ C).
średnica d [µm]
0.01
0.05
0.1
0.5
1.0
5.0
10.0
CC
22.7
5.06
2.91
1.337
1.168
1.034
1.017
(Flagan, Seinfeld, Fundamentals of Air Pollution Engineering, ,
Prentice Hall 1988)
Tak jest dla cząsteczek o kształcie sferycznym.
Współczynnik kształtu
Dla innych cząsteczek, takich jak wydłużone (bakterie, cząsteczki
włókien) lub zgoła nieregularne (sadza, węglan wapna)?
W oparciu o wyniki różnych pomiarów można wprowadzić kolejną
„poprawkę” do wzoru Stokesa;
wyliczona z niego siła oporu zostaje – w zależności od kształtu –
przemnożona przez pewien współczynnik kształtu χ większy od
jedności,
a występująca we wzorze średnica cząstki zostaje zastąpiona średnicą
równoważną (ekwiwalentną) deq (średnicą sfery o takiej samej
objętości jaką ma niesferyczna cząstka).
(6)
Fop = 3πχdeq U µ.
Wartości χ dla różnych kształtów geometrycznych i dla różnych,
konkretnych materiałów można znaleźć w tabelach.
Wzór Stokesa – niskie wartości Re
Rozważamy (znany nam z Pracowni Fizycznej) przypadek sferycznej
cząsteczki, opadającej z prędkością v = v(t) w (nieruchomym) płynie.
Równanie Newtona dla tego jednowymiarowego ruchu ma postać
Mcz
dv
= Fciążenia − Fwyporu − Foporu stacjonarnego − Foporu niestacjonarnego
dt
(7) ≡ Fc − Fw − FS − Fn .
Różnica sił ciążenia i wyporu = różnicy ciężarów:
cząstki i wypartej przez cząstkę objętości płynu:
Fc − Fw = Mcz g − Mpl g = Vcz (ρcz − ρpl )g.
Siła FS to wzór Stokesa.
Z t
dv 3 2 √
dv dt0
1
√
Fn = Mpl
+ d πρpl µ
.
0
2
dt
2
t − t0
0 dt
Pierwszy z nich pochodzi od konieczności przyspieszenia nie tylko samej
cząstki, ale także płynu będącego w jej bezpośrednim sąsiedztwie; drugi
(tzw. przyczynek Basseta) to „historia” cząstki (całkujemy względem czasu
t0 mierzonego „wstecz”, od aktualnej chwili t; t − t0 to czas który upłynął
od momentu t0 do chwili t).
Wzór Stokesa – niskie wartości Re, c.d.
W przypadku opadania w powietrzu, wyraz „niestacjonarnego” oporu
jest praktycznie zawsze do zaniedbania (małe wartości Mpl i ρpl ).
Wykorzystujemy jawną postać wzoru na FS (ze współczynnikiem
poślizgu) w równ. Newtona:
!
(8)
ρcz − ρpl
18µ
dv
v=
+
g
2
dt
CC ρcz d
ρcz
– proste równanie różniczkowe (niejednorodne, pierwszego rzędu), z
warunkiem v(t = 0) = 0 i z rozwiązaniem
(9)
v = v(t) =
ρcz − ρpl
gτ [1 − e(−t/τ ) ].
ρcz
Prędkość cząstki opadającej w stacjonarnym płynie.
Występująca w równaniu wielkość τ ma (jak wynika z postaci
równania) wymiar czasu:
τ=
(10)
CC ρcz d2
18µ
i jest czasem charakterystycznym problemu. Dla t → ∞, w praktyce
dla t równego paru wielokrotnościom czasu charakterystycznego τ ,
człon eksponencjalny w (9) jest do zaniedbania i prędkość osiąga
wartość graniczną vgr :
(11)
v = vgr =
ρcz − ρpl
CC (ρcz − ρpl )d2
gτ =
.
ρcz
18µ
Warto policzyć τ dla powietrza w warunkach „pokojowych” i – na
przykład – cząstki o średnicy mikrona. Korzystamy z (10)
(12)
τ=
CC ρcz d2
1.1 × 103 kg/m3 (1 × 10−6 m)2 1.168
=
≈ 4 × 10−6 s.
18µ
18(1.8 × 10−5 kg/m · s)
Wniosek: procesy sedymentacji „kurzu” odbywają się praktycznie ze
stałą (graniczną) prędkością.
Dla cząsteczek aerozoli wypór hydrostatyczny jest praktycznie do
zaniedbania i wzór (11) upraszcza się do
(13)
vgr = gτ =
CC ρcz d2
g.
18µ
Z kolei, dla cieczy CC ≈ 1 (brak poślizgu) i
(14)
vgr =
(ρcz − ρpl )d2
g.
18µ
Cząstka w polu elektrycznym
Cząstki aerozoli często posiadają powierzchniowe ładunki elektryczne.
na cząstkę taką, o ładunku q, w polu elektrycznym E, działa siła
„elektryczna”: F e = qE. W równaniach ruchu zaniedbujemy mało
istotne siły grawitacji i wyporu
(uwzględniamy jedynie siłę elektryczną i siłę oporu stacjonarnego)
prosty wzór na vgr :
(15)
vgr =
qE
CC qE
= ... = τ
.
3πµd
Mcz
Wyraz qE/Mcz to siła (elektryczna) na jednostkę masy; tak więc vgr
to iloczyn tej siły i czasu charakterystycznego.
Sedymentacja objętościowa – przypadek zerowego i
pełnego mieszania
Prawo Stokesa odnosi się do pojedynczych cząstek.
Problemy środowiskowe koncentrują się na układach cząstek:
sedymentacja szczątków roślinności na dnie jeziora,
opadanie frakcji stałej aerozoli (pyły, pyłki roślinne),
albo tzw. eutrofizacja.
Rozpatrzmy tutaj (w sumie) trzy proste przypadki sedymentacji
układów monodyspersyjnych (składających się z identycznych
cząstek, tworzących zawiesinę w pewnym płynie).
sedymentacji objętościowej w nieruchomym płynie
sedymentacji objętościowej w nieruchomym płynie – z pełnym
mieszaniem
„sedymentacji ciągłej”, w tzw. przepływie tłokowym
Sedymentacja objętościowa (nieruchomy płyn) – trzy
fazy.
Cząstki są takie same, a więc wszystkie mają taką samą prędkość
graniczną vgr
Mówimy o sedymentacji objętościowej w nieruchomym płynie aby
podkreślić, że cała objętość „pudełka” bierze udział w tym procesie
(nic nie dopływa do objętości kontrolnej, nic z niej nie wypływa).
Sedymentacja objętościowa (nieruchomy płyn)
Rysunki
Komentarze
sedymentacja odbywa się – praktycznie „od początku” – z prędkością vgr .
objętość kontrolna Vc : wysokość h =
D − vgr t (D to wysokość dla t = 0),
pole podstawy jest równe A.
Prędkość sedymentacji
to
Z
∂
−
CdV.
∂t V
c
(Minus – bo cząstek ubywa z objętości kontrolnej.)
C – stężenie cząstek w zawiesinie jest stałe (bo stała jest vgr );
prędkość sedymentacji to po prostu
(16)
−C
dV
d
= − C [A(D − vgr t)] = CAvgr .
dt
dt
Sedymentacja (ilość osadzonych cząstek) jest proporcjonalna do:
stężenia, powierzchni „dna” i – oczywiście – czasu .
Sedymentacja objętościowa (pełne mieszanie) – trzy
fazy.
Warunek mieszania oznacza, że w jej wyniku cząstki tracone są z
początkowej objętości kontrolnej, ale monodyspersyjna zawiesina
doznaje w każdej chwili homogenizacji (ujednorodnienia) –
objętość kontrolna pozostaje cały czas taka sama, ale koncentracja
opadających cząstek maleje z biegiem czasu (koncentracja ta
natomiast jest taka sama – równa C – w całej objętości kontrolnej).
Sedymentacja objętościowa (pełne mieszanie) – trzy
fazy.
Rysunki
Komentarze
Równanie bilansu
(17) −AD
dC
= CAvgr ,
dt
rozwiązanie to
(18)
−vgr t
C = C0 exp
,
D
gdzie C0 = C(t = 0).
Strumień cząstek, osadzających się na dnie „pudełka”
(19)
Φcz = vgr C = vgr C0 exp
−vgr t
.
D
Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow .
Powyższe dwa przykłady zakładały, że do objętości kontrolnej nic nie dopływa z zewnątrz i nic nie
wypływa z niej na zewnątrz. Jeżeli jednak do- i wypływy nie mogą być zaniedbane mamy do czynienia
z procesami, które określamy jako „sedymentację ciągłą”. płyn pojawia się na wejściu układu z
pewną stałą prędkością U , przepływa przez układ i opuszcza go z tą samą prędkością. Stałość
prędkości oznacza też stałość wydatku (Q). Koncentracja na wejściu układu to C.
Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow , c.d.
Rysunki
Komentarze
prosty bilans „wejścia” i „wyjścia”:
d(V Cuk )
=
dt
QC − Q
D̃
D
C − C(lw)vgr ,
gdzie w to głębokość (w głąb rysunku) objętości kontrolnej,
Cuk to koncentracja układu – pojęcie pomocnicze (możemy myśleć o
niej jako o pewnej koncentracji uśrednionej).
Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow , c.d.
Dla sytuacji stacjonarnej (ustalonej) pochodna czasowa po lewej
stronie jest równa zeru. Możemy zdefiniować
współczynnik sedymentacji R – stosunek masy, która
(w jednostkowym czasie) osadza się na dnie do masy pojawiającej się
na wejściu systemu (w tym samym, jednostkowym czasie) :
(20)
R=
QC − Q(D̃/D)C
D̃
vgr lwC
=
=1− .
QC
QC
D
Wzór powyższy łatwo przekształcić do postaci
(21)
R=
vgr
vgr
vgr
vgr lwC
=
=
≡
.
QC
Q/lw
Q/A
V0
(A – powierzchnia dna). Ten wzór ma sens dla vgr ¬ V0 (R ¬ 1 ).
V0 to prędkość przelewu – iloraz wydatku i powierzchni dna
(powierzchni górnej) układu Jest to kolejna wartość graniczna dla
. . . prędkości granicznej; dla vgr > V0 współczynnik sedymentacji
R = 1.
Sedymentacja ciągła dla przepływu plug-flow z pełnym
mieszaniem.
mieszaniem, c.d.
Rysunki
Komentarze
bilans
d(V Cuk )
dt
= QCwe − QCwy − Cuk (lw)vgr ,
gdzie – zgodnie z idealizacją mieszania
– Cuk = Cwy .
Dla stanu stacjonarnego mamy
(22)
QCwy = QCwe − Cwy (lw)vgr ,
albo
(23)
Cwy
1
=
vgr .
Cwe
1+
V0
mieszaniem, c.d.
Współczynnik sedymentacji dla tego przypadku to
(24)
R=1−
Cwy
1
=1−
vgr .
Cwe
1+
V0
Sedymentacja objętościowa – współczynniki
sedymentacji w funkcji vgr /V0 .
Sedymentacja objętościowa – współczynniki
sedymentacji w funkcji vgr /V0 .
Rysunki
Komentarze
dla sedymentacji ciągłej bez
mieszania strumień osadzającej
się na dnie masy jest
proporcjonalny do prędkości vgr ,
dla idealnego mieszania mamy
R=1−
1
Cwy
=1−
vgr
Cwe
1+
V0
Pośrednia krzywa to „mieszanie (tylko) w pionie” – przypadek,
który jest być może bardziej „realistyczny” niż te dwa skrajne
(mieszanie w pionie może być np. wywołane istniejącym
pionowym gradientem temperatury).
Dość oczywisty wniosek: im lepsze mieszanie (im go więcej) tym
mniej skuteczna sedymentacja.
odległość hamowania
U podstaw prezentowanych modeli leżało założenie, że cząstki o
zerowej prędkości początkowej osiągają prędkość graniczną
praktycznie „natychmiast”.
Odwróćmy problem: załóżmy, że cząstka ma już pewną prędkość v0 ,
która maleje na skutek siły oporu ośrodka. Interesuje nas czas, po
którym prędkość cząstki zmaleje w określonym stosunku do prędkości
początkowej, a konkretnie – stanie się równa zeru. Taki problem jest
szczególnie istotny dla aerozoli – możemy zaniedbać Fn , a także
Fg − Fw ; pozostaje
(25)
Mcz
dv
= −Fop .
dt
Fop – z prawa Stokesa, Mcz = Vcz ρcz
(26)
dv
18µ
1
=−
dt
=
−
dt,
v
CC ρcz d2
τ
z warunkiem początkowym v(0) = v0 .
(27)
v = v0 e−t/τ .
odległość hamowania, c.d.
Odległość, jaką przebędzie cząstka w medium do momentu
kompletnego wyhamowania – odległość hamowania xh obliczamy
całkując
dx = v(t)dt = v0 e−t/τ dt
względem t od 0 do ∞.
Z
t
xh =
v0 e−t/τ dt = v0 τ
0
– jeszcze raz pojawia się czas charakterystyczny
τ=
CC ρcz d2
.
18µ
Siły bezwładności w przepływach cząstek
Dotąd rozważaliśmy cząstki poruszające się względem nieruchomego
płynu, lub odwrotnie. Ogólniej – załóżmy, że cząstki poruszają się z
prędkością v, a płyn – z prędkością u. Uproszczone równanie ruchu
(tylko siła oporu Stokesa, proporcjonalna do prędkości względnej)
(28)
Mcz
dv
3πµd
= − F op =
(u − v).
dt
CC
Wprowadzając nasz ulubiony czas charakterystyczny τ i rozbijając
wektorowe równanie na dwa równania skalarne (rozważamy przepływ
dwuwymiarowy) dostajemy układ
(29)
(30)
dvx
+ vx = ux ,
dt
dvy
τ
+ vy = u y ,
dt
τ
którego rozwiązanie wymaga znajomości ux i uy .
Siły bezwładności w przepływach cząstek, c.d.
Jeżeli wprowadzić:
charakterystyczną długość przepływu L i
charakterystyczną prędkość przepływu U0 ,
można pozbawić powyższe równania wymiarów:
(31)
ṽx ≡
vx
;
U0
ũx ≡
ux
;
U0
t̃ ≡
tU0
L
i podobnie dla składowych y-owych. Po takiej transformacji równ.
(29) to
(32)
τ U0 dṽx
+ ṽx = ũx .
L dt
Pojawia się jeszcze jedna (bezwymiarowa) liczba, tzw. liczba Stokesa
(33)
St =
τ U0
L
– stosunek odległości hamowania i długości charakterystycznej L.
Liczba Stokesa charakteryzuje ilościowo udział sił bezwładności,
związanych z odniesieniem ruchu cząstek do poruszającego się układu
(płyn, poruszający się z prędkością u). Obrazuje to rysunek:
Cząstki poruszające się w płynie, który przepływa względem
przeszkody z dwoma różnymi prędkościami U0 (różne wartości St)
Efekty bezwładnościowe pojawiają się także w przypadku kiedy
transportujący cząstki płyn wykonuje ruch obrotowy, a ich ciekawym
praktycznym wykorzystaniemodwirowywanie cząstek zawiesin z ich
nośników.
Przepływy rotacyjne
Cząstki płynu
zataczają okręgi; ich prędkości rozkładamy na składową radialną ur i
transwersalną – uθ = ωr, gdzie ω = θ̇ to prędkość kątowa,
charakteryzująca rotację.
Przepływy rotacyjne – równanie ruchu
Rozważamy cząstkę płynu (masa Mcz , średnica d; współrzędne r i θ)
Jej równanie ruchu – dla składowej radialnej prędkości i w układzie
poruszającym się z prędkością kątową ω
(34)
Mcz
dvr
= Mcz ω 2 r − 3πµvr d − Mplynu ω 2 r.
dt
Nie uwzględniamy tutaj żadnych sił grawitacyjnych, a więc i wyporu
hydrostatycznego (jesteśmy na stałej „głębokości”).
Siła odśrodkowa jest proporcjonalna do odległości r od środka rotacji,
podobnie jak siła parcia jest proporcjonalna do wysokości (głębokości)
słupa cieczy.
Dlatego możemy zastosować prostą „kalkę” z opisu wyporu
hydrostatycznego – siła tego „wyporu odśrodkowego” to masa płynu
wypieranego przez cząstkę razy przyspieszenie odśrodkowe. A.L.
Przepływy rotacyjne – równanie ruchu
dvr
= Mcz ω 2 r − 3πµvr d − Mplynu ω 2 r.
dt
Wprowadzając gęstość cząstki ρcz i gęstość płynu ρpl
!
Mcz
(35)
Mcz
dvr
ρpl
= Mcz ω 2 r 1 −
dt
ρcz
− 3πµvr d.
Dla aerozoli można pominąć stosunek dwóch gęstości, ale warto
uwzględnić ew. poślizg: (ρcz ρpl )
!
(36)
Mcz
dvr
− rω 2 = −3πµvr dcz /CC .
dt
Przepływy rotacyjne – odwirowywanie
Odwirowywanie stosowane w rozdziale (separacji) cząstek i
makro-cząsteczek, znajdujących się w zawiesinie.
Odwirowywanie – równania ruchu
dvr
ρpl
2
Mcz
= Mcz ω r 1 −
− 3πµvr d.
dt
ρcz
Podobnie jak w przypadku ,klasycznego” eksperymentu Stokesa i tu
wprowadzamy koncepcję stanu ustalonego
Tylko: to nie jest „prawdziwy stan ustalony”.
Siła w kierunku radialnym nie jest stała, ale zmienia się
proporcjonalnie od r.
W związku z tym nie ustala się – tak jak przy opadaniu kulki – stała
prędkość radialna vgr .
Przybliżenie quasi-stałej prędkości radialnej jest do zaakceptowania
przy spełnieniu pewnych stosunków ilościowych pomiędzy
parametrami ruchu (masa, średnica, prędkość cząstki, stosunek dwóch
gęstości).
W interesujących nas sytuacjach „praktycznych” założenie o
„quasi-stałej prędkości radialnego dryfu” jest spełnione.
Odwirowywanie – równania ruchu
stan „ustalony” dvr /dt = 0
(37)
ρpl
Mcz ω r 1 −
ρcz
2
!
= 3πµvr d.
Mcz = πd3 ρcz /6;
po prostych przekształceniach (vr ≡ dr/dt)
(38)
vr =
(ρcz − ρpl )d2 2
rω ,
18µ
albo (dla sferycznych cząstek)

(39)
1/2
dr


dt

.
d=
 rω 2 (ρ − ρ ) 
cz
pl
18µ
Ten ostatni wzór stanowi podstawę metody odwirowywania – cząstki
o określonej średnicy d przesuwają w okresie od chwili t1 do chwili t2
od pozycji opisanej współrzędną radialną r1 do pozycji r2 .
Odwirowywanie – równania robocze
Odpowiednie „robocze” wzory, wynikające z (39)
Z r2
d2 ω 2 (ρcz − ρpl ) Z t2
(40)
18µ
po wycałkowaniu –




(41)
dt =
t1
r1
dr
,
r
1/2
r2 


ln


18µ
r1 


.
d=


2


 (ρcz − ρpl ) ω (t2 − t1 ) 


Pierwszy czynnik po prawej stronie to parametry fizyczne płynu i
cząstki; drugi – współrzędne grupy cząstek. Ten drugi czynnik to


r
ln
(42)
Sd =
2
r1 
,

2 − t1 )


 ω 2 (t
nazywa się współczynnikiem sedymentacji, jednostka swedberg (1Sv
= 10−13 s), na cześć szwedzkiego wynalazcy wirówki Svedberga
(Nobel, chemia, 1926).
odwirowywanie – przemieszczenie cząstek o określonej
średnicy

Zawiesiny czasteczkowe o niskich koncentracjach i ich przepływy

Transkrypt

Podobne dokumenty

Filtry kuchenne

TECHNOLOGIA WODY II

Aida® Injektionsleim

Mokra wapniakowa metoda odsiarczania spalin

Etykieta