Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT” Finał – 25

Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT”
Finał – 25 czerwca 2012r.
KLASA IV
Zadanie 1
Na pachnącej wiosennej łące są skowronki, Ŝuczki i zające. Ile jest stworzeń kaŜdego rodzaju,
jeśli mamy tam łącznie 10 głów i 46 nóg?
Zadanie 2
Kubuś ułoŜył z 7 tekturowych kwadratów prostokąt (rysunek).
A
B
2 cm
3 cm
Wiadomo, Ŝe kwadrat A ma największe pole, a kwadrat B – najmniejsze. Na rysunku
ujawniono ponadto długości boków dwóch spośród tych siedmiu kwadratów. Kubuś
przedstawił swemu bratu Michałowi następujący problem do rozwiązania: Iloma kwadratami
typu B moŜna wypełnić całkowicie kwadrat A? Wczuj się w rolę Michała i rozwiąŜ ten
problem.
Zadanie 3
Prostokątny sad ma wymiary 30 m na 15 m. Rosną w nim drzewa posadzone w równych
rzędach. Odległość między sąsiednimi drzewami w rzędzie, odległość między sąsiednimi
rzędami oraz odległość skrajnych drzew od płotu wynosi 2,5 m. Ile drzew rośnie w tym
sadzie?
KLASA V
Zadanie 1
Troje kolegów z klasy piątej: Bartek, Kuba i Marcin uwielbiają słodycze. Pewnego razu,
w drodze ze szkoły, cała trójka wstąpiła do sklepu spoŜywczego. Bartek kupił 3 czekolady,
7 batonów i 1 coca colę. Za wszystko zapłacił 27,50 zł. Kuba kupił 4 czekolady, 10 batonów
oraz 1 coca colę i zapłacił 38 zł. Marcin, zachowując jako jedyny zdrowy rozsądek, kupił
tylko 1 czekoladę, 1 batona i 1 coca colę. Ile zapłacił Marcin, jeŜeli wiadomo, Ŝe wszyscy
chłopcy kupili towar tego samego rodzaju? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2
Na leśnej polanie rosną róŜne grzyby. MoŜna tam spotkać piękne borowiki, podgrzybki, kurki
i rydze. Ale jak to w lesie, rosną teŜ na polanie smukłe muchomory, które są albo czerwone
i mają po sześć kropek, albo Ŝółte i mają po cztery kropki. Zajączek Krzysiu nazbierał do
koszyczka róŜnych grzybów, wśród nich Ŝółtych i czerwonych muchomorów. Wojtuś – brat
Krzysia – zauwaŜył, Ŝe wszystkich kropek na obecnych w koszyczku Krzysia muchomorach
jest 48. Ile muchomorów kaŜdego rodzaju miał w koszyczku zajączek Krzysiu?
Zadanie 3
Mieszkanie Pikusia ma dwa pokoje. DuŜy pokój jest trzy razy większy od małego i zajmuje
1
1
połowę powierzchni mieszkania. Powierzchnia kuchni zajmuje , a łazienki
powierzchni
7
12
mieszkania. Jaką powierzchnię ma mieszkanie Pikusia, skoro przedpokój ma wymiary 1,5 m
na 3 m?
KLASA VI
Zadanie 1
Skrzat Wesołek ma 6 butelek o pojemnościach 16, 18, 22, 24, 32 i 34 mililitrów. Niektóre
z butelek wypełnione są sokiem malinowym, inne sokiem jeŜynowym, a jedna z butelek jest
pusta. Jaką pojemność ma pusta butelka, jeŜeli wiadomo, Ŝe soku malinowego jest dwa razy
więcej niŜ soku jeŜynowego?
Zadanie 2
Za pomocą trzech róŜnych cyfr zapisano wszystkie liczby trzycyfrowe, w których cyfry się
nie powtarzają. Suma utworzonych liczb trzycyfrowych jest równa 4662. Wyznacz te cyfry.
Zadanie 3
Oblicz pole zacieniowanej figury.
KLASA I
Zadanie 1
Turysta szedł od schroniska na Wielkiej Raczy do schroniska na Rycerzowej w Beskidzie
1
śywieckim. Pierwszą część trasy, stanowiącą całości, przebył – idąc ze stałą prędkością –
4
w ciągu 20% całego czasu wędrówki. Przez pozostałe 4 godziny szedł równieŜ ze stałą
prędkością, ale nieco wolniej – podziwiając przepiękne górskie widoki – tak, Ŝe średnia
prędkość całej wędrówki była równa 3,2 km/h. Z jaką prędkością przeszedł pierwszą, a z jaką
drugą część trasy?
Zadanie 2
Znajdź wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, dla których liczba półtora raza większa jest
takŜe liczbą naturalną dwucyfrową mającą taką samą sumę cyfr.
Zadanie 3
Dane są punkty o współrzędnych: A = (1, 1), B = (1, 2), C = (2, 3) i D = (3, 3). Znajdź
współrzędne wszystkich takich punktów M, aby pola trójkątów ABM i CDM były równe
i wynosiły 1.
KLASA II
Zadanie 1
Marcin obliczył obwody trzech ścian prostopadłościanu spotykających się w jednym
wierzchołku i otrzymał 41 cm, 61 cm i 70 cm. Obliczył równieŜ objętość prostopadłościanu
i otrzymał 2550 cm3. Michał – brat Marcina – przeanalizował jego obliczenia i stwierdził, Ŝe
są sprzeczne. Czy miał rację? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2
Znajdź wszystkie liczby naturalne x, y takie, Ŝe:
xy +3x – 2y = 36
Zadanie 3
Gimnazjalista Olek, przed wyjściem do szkoły, dostał od swego dziadka kieszonkowe –
banknot dwudziestozłotowy. Będąc w szkole, na pierwszej długiej przerwie, kupił w sklepiku
słodycze za 8 zł, otrzymując resztę w postaci 30 monet o nominałach: 1 zł, 50 gr i 20 gr. Na
następnej długiej przerwie zakupił napój, na który wydał wszystkie monety jednozłotowe,
2
czwartą część monet pięćdziesięciogroszowych i monet dwudziestogroszowych. Ile
5
kosztował napój zakupiony przez Olka?
KLASA III
Zadanie 1
Pan Stasiu złowił pewną liczbę ryb. Trzy największe spośród nich dał swojej mamie,
w wyniku czego waga złowionych ryb zmalała o 35%. Następnie trzy najmniejsze dał
5
sąsiadowi, zmniejszając wagę ryb o
. Ile ryb złowił pan Stasiu?
13
Zadanie 2
Pięciu kierowców z automobilklubu „Błyskawica” startowało w wyścigu samochodowym,
w którym naleŜało przejechać pewną liczbę okrąŜeń. Zwycięzca wyścigu, pan Darek, który
1
przez pewną liczbę pełnych okrąŜeń, która stanowiła liczby wszystkich okrąŜeń, jechał na
3
ostatniej pozycji, na mecie uzyskał czas 3 h i 30 min. Pan Czesław przejechał całą trasę ze
średnią prędkością 110 km/h. Pan Edward zajął lepsze miejsce niŜ pan Bartek, a pan Andrzej
był o dwa miejsca lepszy od pana Czesława. Wiadomo, Ŝe kaŜdy z kierowców osiągnął
średnią prędkość ponad 100 km/h, wyraŜającą się w pełnych km/h. Czasy przez nich
osiągnięte na mecie wyścigu wyraŜają się w pełnych minutach. Ponadto wiadomo, Ŝe długość
trasy wyścigu nie przekraczała 600 km i jest wyraŜona w pełnych kilometrach. Wyznacz
długość trasy wyścigu, miejsca oraz czasy osiągnięte na mecie wyścigu przez
poszczególnych kierowców z automobilklubu „Błyskawica”.
Zadanie 3
Pan Antoni jest właścicielem prostokątnej działki rolnej ABCD. Któregoś dnia podzielił ją na
dwa czworokątne obszary w sposób pokazany na poniŜszym rysunku. Obszary te postanowił
obsiać łubinem. Jaki jest stosunek powierzchni obszarów KOLD i ABCO, jeŜeli wiadomo, Ŝe
punkt K jest środkiem boku AD, zaś punkt L środkiem boku CD prostokątnej działki ABCD?