Zastosowanie metody funkcji Greena w analizie drgań belek o

Zastosowanie metody funkcji Greena w analizie drgań belek o

Please cite this article as:
Stanisław Kukla, Izabela Zamojska, Zastosowanie metody funkcji Greena w analizie drgań belek o zmiennym przekroju
poprzecznym z elementami dyskretnymi, Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science,
2002, Volume 1, Issue 1, pages 85-92.
The website: http://www.amcm.pcz.pl/
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
ZASTOSOWANIE METODY FUNKCJI GREENA
W ANALIZIE DRGAŃ BELEK
O ZMIENNYM PRZEKROJU POPRZECZNYM
Z ELEMENTAMI DYSKRETNYMI
Stanisław Kukla, Izabela Zamojska
Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Częstochowska
Streszczenie. W pracy przedstawiono rozwiązanie zagadnienia drgań własnych belki,
której pole przekroju poprzecznego jest funkcją przedziałami stałą. Rozważania dotyczą
drgań belek z dodatkowym elementem dyskretnym, który reprezentuje masę skupioną lub
podporę sprężystą. Dokładne rozwiązanie zagadnienia otrzymano, wykorzystując własności funkcji Greena. Przedstawiono przykładowe wyniki obliczeń numerycznych, obrazujące wpływ wybranych parametrów na drgania belki składającej się z dwóch segmentów.
Wstęp
Analiza drgań belek ma szczególne znaczenie ze względu na liczne zastosowania elementów belkowych w złożonych układach mechanicznych. Na przykład
w konstrukcjach mostów, wysięgników, maszyn roboczych można wyróżnić elementy, których częstości i postacie drgań mogą być wyznaczone w ramach teorii
drgań belek. Z tego względu badania eksperymentalne i teoretyczne drgań belek są
przedmiotem zainteresowania wielu autorów [1-11].
Liczne prace poświęcone analizie drgań belek dotyczą belek o stałym przekroju
(np. prace [1-7]). W pracach tych przedstawiono wyniki badań teoretycznych
i numerycznych drgań belek z podporą sprężystą lub zamocowaną masą skupioną.
Autorzy tych prac znajdują rozwiązania dokładne zagadnień drgań badanych układów [2-7] lub stosują metody przybliżone [1, 8]. Przedmiotem badań prezentowanych w pracach [1-5] są drgania belek ze sprężyście zamocowaną masą.
Wśród zagadnień drgań belek o zmiennym przekroju można wyróżnić zagadnienia dotyczące belek stopniowanych (belek składających się z segmentów o stałym przekroju). Badania drgań tego typu belek prezentowano w pracach [8-11].
Prace [8-10] dotyczą belek składających się z dwóch segmentów.
Przedmiotem niniejszej pracy jest zagadnienie drgań własnych belek stopniowanych składających się z dowolnej, skończonej liczby segmentów. Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia dotyczy drgań belek z dodatkową masą skupioną lub
podporą sprężystą. Równanie częstości drgań własnych otrzymano, stosując metodę
funkcji Greena.
85
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
1. Sformułowanie zagadnienia
Rozważmy drgania poprzeczne belki stopniowanej (rys. 1), złożonej z n segmentów o długościach li oraz przekrojach poprzecznych Ai (i = 1,2,...,n). Zgodnie
z teorią drgań belek Bernoulliego-Eulera, ruch poszczególnych segmentów belki
opisują równania:
L1[υ1(x,t)] = s1 (t )δ ( x − L1 ) − m1 (t )δ ' ( x − L1 )
x∈ [0,L1]
(1)
Li[υi(x,t)] = − s i −1 (t )δ ( x − Li −1 ) + s i (t )δ ( x − Li ) +
+ mi −1 (t )δ ' ( x − Li −1 ) − mi (t )δ ' ( x − Li ) , x∈ [Li−1, Li], i = 2,...,n−1 (2)
Ln[υn(x,t)] = − s n −1 (t )δ ( x − Ln −1 ) + m n −1 (t )δ ' ( x − Ln −1 ) + p ( x, t )
x∈ [ Ln−1,L]
(3)
gdzie (EI)i jest sztywnością zginania, ρi jest masą przypadającą na jednostkę długości i-tego segmentu belki, δ(⋅) oznacza dystrybucję Diraca oraz
Li = (EI )i
∂2
∂4
+
ρ
i
∂t 2
∂x 4
i = 1,...,n
(4)
x
L1
K
L2
L n-1
L n= L
Rys. 1. Schemat rozważanego układu
W punktach x = L0 = 0 i x = Ln = L funkcje υ1, υn spełniają warunki brzegowe zależne od sposobu zamocowania końców belki
B1[ υ 1 ]| x=0 = 0, Bn[ υ n ]| x=L = 0
(5)
Ponadto w punktach Li spełnione są następujące warunki ciągłości:
υ i ( Li , t ) = υ i +1 ( Li , t ),
υ i , x ( Li , t ) = υ i +1, x ( Li , t )
i = 1,...,n−1
(6)
Zakładając, że ruch belki jest harmoniczny, tzn. przyjmując w równaniach (1)-(3):
86
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
υ i ( x, t ) = V i ( x)e jωt , p( x, t ) = P ( x)e jωt , si (t ) = S i e jωt , mi (t ) = M i e jωt
(7)
otrzymujemy:
~
L [V1] = S1δ ( x − l1 ) − M 1δ ' ( x − l1 )
x ∈ [0, l1 ]
(8)
~
L[Vi ] = − µ i −1 S i −1 δ ( x − l i −1 ) + S i δ ( x − l i ) + µ i −1 M i −1 δ ' ( x − li −1 ) − M i δ ' ( x − l i )
x ∈ [0, l i ] , i = 2,...,n−1
~
L[Vn] = − µ n −1 S n −1δ ( x − l n −1 ) + µ n −1 M n −1δ ' ( x − l n −1 ) + P ( x )
x ∈ [0, l n ]
(9)
(10)
gdzie:
j = − 1, Ω i4 = ρ iω 2 (EI )i , Vi = V i (EI )i , P = P (EI )n , Si = S i (EI )i ,
d4
~
µ i −1 = (EI )i −1 (EI )i , li = Li−Li−1, L [Vi ] = 4 − Ω i4 dla x∈ [Li−l,Li], i = 1,...,n.
dx
W niniejszej pracy zakłada się, że funkcja P reprezentuje sprężyste podparcie
lub masę skupioną umieszczoną na końcu belki. Dlatego przyjmuje się następującą
postać tej funkcji:
P(x) = B0Vn(x)δ(x − ln)
(11)
gdzie B0 = −McΩ4, gdy w punkcie x = ln występuje masa skupiona Mc lub B0 = K,
gdy na końcu belki występuje podpora sprężysta, którą charakteryzuje stała K.
Funkcje V1, Vn spełniają warunki, które otrzymuje się, wykorzystując (7) w równaniach (5):
B1 [V1 ]
x =0 =
0, B n [V n ] x =l = 0
(12)
n
Natomiast warunki ciągłości (6) przyjmują postać
Vi (li ) = Vi +1 (0),
Vi ,x (li ) = Vi +1,x (0)
i = 1,...,n−1
(13)
2. Funkcje Greena
Rozwiązanie zagadnienia (8)-(13) można wyznaczyć, wykorzystując własności
funkcji Greena. Funkcja Greena Gi spełnia równanie różniczkowe
Gi , xxxx ( x, λ ; Ω i ) − Ω i4 Gi ( x, λ ; Ω i ) = δ (x − λ ) i = 1,...,n
(14)
oraz odpowiednie warunki brzegowe:
87
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
- funkcja G1 spełnia warunki
B1[G1 ]
x=0
= 0,
G1, xx
x = l1
= G1, xxx
(15)
=0
x =l1
- funkcje Gi (i = 2,3,...,n−1) spełniają warunki
Gi , xx
x =0
= Gi , xxx
x =0
= 0 , Gi , xx
x = li
= Gi , xxx
x = li
=0
(16)
- funkcja Gn spełnia warunki
Gn ,xx
x=0
= Gn ,xxx
x =0
= 0,
(17)
B n [G n ] x =l = 0
n
Funkcje Gi można przedstawić w postaci sumy [5]
0
1
Gi ( x, λ ; Ω i ) = Gi ( x, λ ; Ω i ) + G i ( x, λ ; Ω i ) H ( x − λ ) , i = 1,...,n
(18)
gdzie H jest funkcją Heaviside’a, Gi0 jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego
Gi , xxxx ( x, λ ; Ωi ) − Ωi4Gi ( x, λ ; Ωi ) = 0,
i = 1,...,n
(19)
Drugi składnik prawej strony równania (18) jest rozwiązaniem szczególnym
równania (14). Można wykazać, że G i 1 ma postać
1
1
G i ( x, λ ; Ωi ) = Gi ( x − λ ; Ωi ),
i = 1,...,n
(20)
przy czym funkcja Gi 1 jest rozwiązaniem szczególnym równania jednorodnego
(19), spełniającym warunki
Gi1
x=λ
= Gi1,x
x=λ
= Gi1,xx
x=λ
= 0,
Gi1, xxx
x =λ
= 1,
i = 1,...,n
(21)
Wobec tego
Gi ( x, λ ; Ωi ) = ci1 cos Ωi x + ci 2 sin Ωi x + ci 3 cosh Ωi x + ci 4 sinh Ωi x +
+
1
[− sin Ωi ( x − λ ) + sinh Ωi ( x − λ )] ⋅ H ( x − λ )
2Ωi3
(22)
gdzie współczynniki cij, i = 1,...,n, j = 1,...,4 wyznaczone są z warunków brzegowych (15a) i (17b).
88
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
3. Rozwiązanie zagadnienia
Dalej rozważa się przypadek belki wspornikowej. W tym przypadku warunki
brzegowe (15a) i (17b) przyjmują postać:
V1(0) = V1,xx(0) = 0, Vn,xx (ln) = Vn,xxx ( ln) = 0
(23)
Rozwiązanie układu równań różniczkowych (8)-(10), spełniające przyjęte warunki
brzegowe można zapisać następująco [11]:
V1 ( x ) = S1G1 ( x, l1 ; Ω1 ) + M 1G1, λ ( x, l1 ; Ω1 )
(24)
Vi ( x) = − µ i −1 S i −1Gi ( x,0; Ω i ) − µ i −1 M i −1Gi ,λ ( x,0; Ω i ) +
+ S i Gi ( x ,li ; Ω i ) + M i Gi ,λ ( x ,li ; Ω i ) dla i = 2,...,n−1
(25)
Vn ( x ) = − µ n −1 S n −1G n ( x, 0; Ω n ) − µ n −1 M n −1G n,λ ( x, 0; Ω n ) +
(26)
+ B0Vn (ln )Gn ( x , ln ; Ω n )
Wstawiając funkcje Vi (równania (24)-(26)) do warunków (13), otrzymuje się
układ równań z niewiadomymi S1, M1, S2, M2,...,Sn−1, Mn−1:
S1[G1 (l1 , l1 ) + µ1G2 (0,0)] + M 1[G1,λ (l1 , l1 ) + µ1G2,λ (0,0)] +
− S 2G2 (0, l2 ) − M 2G2,λ (0, l2 ) = 0
S1[G1, x (l1 , l1 ) + µ1G2, x (0,0)] + M 1[G1, λx (l1 , l1 ) + µ1G2, λx (0,0)] +
− µ 2 S 2G2, x (0, l2 ) − µ 2 M 2G2, λx (0, l2 ) = 0
− µ i −1 S i −1Gi (l i ,0) − µ i −1 M i −1Gi ,λ (l i ,0) + S i [Gi (l i , l i ) + µ i Gi +1 (0,0)] +
+ M i [Gi ,λ (l i , l i ) + µ i Gi +1,λ (0,0)] − S i +1Gi +1 (0, l i +1 ) − M i +1Gi +1,λ (0, l i +1 ) = 0
(27)
(28)
(29)
− µ i −1 S i −1Gi , x (li ,0) − µ i −1 M i −1Gi ,λx (li ,0) + S i [Gi , x (li , l i ) + µ i Gi +1, x (0,0)] +
+ M i [Gi , λx (li , li ) + µ i Gi +1, λx (0,0)] − Si +1Gi +1, x (0, li +1 ) − M i +1Gi +1, λx (0, li +1 ) = 0
i = 2,...,n−2
− µ n − 2 S n − 2 G n −1 (l n −1 ,0) − µ n − 2 M n − 2 G n −1 , λ (l n −1 ,0) +
+ µ n −1S n −1Gn (0,0) + µ n −1M n −1Gn ,λ (0,0) − B0Vn (ln )Gn (0, ln ) = 0
− µ n − 2 S n − 2 G n −1 , x (l n −1 ,0) − µ n − 2 M n − 2 G n −1 , λx (l n −1 ,0) +
+ µ n −1S n −1Gn , x (0,0) + µ n −1M n −1Gn ,λx (0,0) − B0Vn (ln )Gn , x (0, ln ) = 0
(30)
(31)
(32)
89
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
Ponadto dodatkowe równanie otrzymuje się, przyjmując x = ln w równaniu (26)
[1 − B0 G n (l n , l n )]Vn (l n ) + µ n −1 S n −1G n (l n , 0) + µ n −1 M n −1G n ,λ (l n , 0) = 0
(33)
Równania (27)-(33) mogą być zapisane następująco:
A(ω) X = 0
(34)
gdzie A jest macierzą (2n−1)×(2n−1) wymiarową oraz
X = [S1 M1 ... Sn−1
Mn−1 Vn(ln)] T
(35)
Układ ten posiada nietrywialne rozwiązania, gdy spełniony jest warunek
det A(ω) = 0
(36)
Równanie (36) jest poszukiwanym równaniem częstości drgań własnych rozważanej belki stopniowanej. Równanie to jest następnie rozwiązywane numerycznie
względem częstości drgań własnych układu.
4. Zagadnienie drgań belki złożonej z dwóch segmentów
Równanie częstości drgań własnych (36) dla belki składającej się z dwóch segmentów ma postać:
G1 (l1 , l1 ) + µ 1G 2 (0,0)
G1 , λ (l1 , l1 ) + µ1G 2 , λ (0,0)
− B0 G 2 (0, l 2 )
G1 , x (l1 ,0) + µ1G 2 , x (0,0) G1 , λx (l1 ,0) + µ 1G 2 , λx (0,0) − B0 G 2 , x (0, l 2 ) = 0 (37)
µ1G 2 (l 2 ,0)
µ1G 2 , λ (0,0)
1 − B0 G 2 (l 2 , l 2 )
Wykorzystując równanie częstości drgań belki dwusegmentowej, przeprowadzono badania numeryczne, których celem było określenie wpływu zmian parametrów charakteryzujących układ na jego drgania. Obliczenia wykonano dla belki
wspornikowej, składającej się z dwóch segmentów o długościach l1 = l2 = 0,5.
Założono, że na swobodnym końcu belki występuje masa skupiona lub podpora
sprężysta lub nie występuje żaden z tych elementów.
Na rysunku 2 przedstawiono zależności bezwymiarowych częstości drgań własnych Ω11 i Ω12 od stosunku sztywności segmentów α = (EI )1 (EI )2 dla belki
podpartej sprężyście w punkcie x = l2. Do obliczeń przyjęto różne wartości bezwymiarowego współczynnika, charakteryzującego sprężystość podpory: K = 0,
K = 5, K = 50, K = 100. Wzrost współczynnika K powoduje podwyższenie częstości drgań niezależnie od wartości stosunku sztywności α.
Zależności bezwymiarowych częstości Ω11 i Ω12 od stosunku sztywności segmentów dla belki, wspornikowej z masą skupioną, umieszczoną na swobodnym
końcu belki, przedstawiono na rysunku 3. Obliczenia wykonano przyjmując:
M = 0, M = 0,5, M = 2, M = 5. Pierwsza częstość drgań maleje wraz ze wzrostem
stosunku sztywności segmentów belki niezależnie od wielkości masy skupionej,
90
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
natomiast druga częstość jako funkcja parametru α osiąga maksimum dla pewnej
wartości tego parametru.
4.0
7.5
(a)
(b)
7.0
3.5
6.5
3.0
Ω 12
Ω 11
6.0
2.5
K = 100
5.5
K = 50
2.0
K=5
5.0
K=0
1.5
4.5
1.0
4.0
0
1
2
3
4
5
0
1
2
α
3
4
5
α
Rys. 2. Dwie pierwsze częstości drgań własnych belki wspornikowej z podporą sprężystą
jako funkcje stosunku sztywności segmentów belki
5.0
(a)
(b)
Mc= 0
2.0
Mc= 0.5
Mc= 2
Mc= 5
4.5
Ω 12
Ω 11
1.5
4.0
1.0
3.5
0.5
0
1
2
3
α
4
5
0
1
2
3
4
5
α
Rys. 3. Dwie pierwsze częstości drgań własnych belki wspornikowej z dodatkową
masą skupioną jako funkcje stosunku sztywności segmentów belki
91
Prace Naukowe Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Częstochowskiej
Literatura
[1] Ercoli L., Laura P.A.A., Analytical and experimental investigation on continuous beams carrying
elastically mounted masses, Journal of Sound and Vibration 1987, 114(3), 519-533.
[2] Gürgöze M., On the eigenfrequencies of a cantilever beam with attached tip mass and a springmass system, Journal of Sound and Vibration 1996, 190(2), 149-162.
[3] Jacquot R.G., Gibson J.D., The effects of discrete masses and elastic supports on continuous
beam natural frequencies, Journal of Sound and Vibration 1972, 23(2), 237-244.
[4] Kukla S., Posiadała B., Free vibrations of beams with elastically mounted masses, Journal of
Sound and Vibration 1994, 175(4), 557-564.
[5] Kukla S., Dynamiczne funkcje Greena w analizie drgań własnych ciągłych i dyskretno-ciągłych
układów mechanicznych, Monografie 64, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 1999.
[6] Kukla S., The Green function method in frequency analysis of a beam with intermediate elastic
supports, Journal of Sound and Vibration 1991, 149(1), 154-159.
[7] Low K.H., A comparative study of the eigenvalue solutions for mass-loaded beams under
classical boundary conditions, International Journal of Mechanical Sciences 2001, 43, 237-244.
[8] Bellés P.M., Maurizi M.J., di Luca D.H., Vibration of stepped beams on non-uniform elastic
foundations, Journal of Sound and Vibration 1994, 196(1), 127-128.
[9] Jang S.K., Bert C.W., Free vibration of stepped beams: exact and numerical solutions, Journal
of Sound and Vibration 1989, 130(2), 342-346.
[10] Ji Wang, Vibration of stepped beams on elastic foundations, Journal of Sound and Vibration
1991, 149(2), 315-322.
[11] Lee J., Bergman L.A., The vibration of stepped beams and rectangular plates by an elemental
dynamic flexibility method, Journal of Sound and Vibration 1994, 171(5), 617-640.
92