GW - wykład I i II

WYKŁAD I
KONSTRUKCJE PODSTAWOWE
RZUT RÓWNOLEGŁY
RZUT PROSTOKĄTNY
AKSONOMETRIA
Adam Święcicki
KONSTRUKCJA PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ
PRZEZ DWA PUNKTY
a
B
B
A
A
KONSTRUKCJA ODCINKA
B
A
B
A
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant I
r
S
r
S
r
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant II
r1
r2
S1
r
r1
r2
S2
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant II
S1
r
S2
r
r1
r3
r1
r2
r2
r
r4
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant II
S3
S1
S2
r
r
r1
r3
r1
r2
r
r2
S4
r4
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant II
r
S3
r1
r2
S1
S2
r
r
r1
r3
r1
r2
r2
r
r4
S4
r
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant III
A
B
C
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant III
A
S
C
B
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant IV
a
b
r
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant IV
a'
a
r
b'
b
r
S
r r
r
r
KONSTRUKCJA OKRĘGU
wariant IV
a
b
S
r
r
STYCZNA DO OKRĘGU PRZECHODZĄCA
PRZEZ PUNKT
S
A
STYCZNA DO OKRĘGU PRZECHODZĄCA
PRZEZ PUNKT
C
S
D
B
A
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant I
r2
r1
S1
S2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant I
E
r1
r3 S1
F
r1
r2
r3
D
r2
S2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant I
E
r1
r3 S1
F
r1
r2
r3
D
r2
S2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant I
a
E
r1
r3 S1
F
b
r1
r2
r3
D
r2
S2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant I
a
r2
r1
S1
b
S2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant II
r3
r2
r1
S1
r1
r2
r3
S2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant II
r3
D
r1
S1
r1
r2
r3
r2
S2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant II
E
G
r3
D
r1
S1
S2
H
F
r1
r2
r3
r2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant II
a
E
G
r3
D
r1
S1
S2
H
F
b
r1
r2
r3
r2
STYCZNA DO DWÓCH OKRĘGÓW
wariant II
a
r2
r1
S1
b
S2
ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA
C
x
S
a/2
a
x
=
x a−x
O
X
a
x=
A
5 −1
⋅ a ≈ 0,62 ⋅ a
2
ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA cd.
C
x2
x1
S
a/2
O
X
a
x1 – bok dziesięciokąta foremnego,
x2 – bok pięciokąta foremnego
A
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant I – dana średnica okręgu opisanego.
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant I
A
S
X
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant I
A
Y
X
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant I
A
B
Y
X
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant I
A
B
E
C
D
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant I
A
B
E
C
D
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant II – określona długość boku pięciokąta foremnego.
a
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant II
a
Y
X
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant II
a
Y
X
C
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant II
B
a
X
C
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant II
B
a
C
D
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant II
B
a
C
E
D
PIĘCIOKĄT FOREMNY
wariant II
B
a
A
C
E
D
RZUT RÓWNOLEGŁY
K4
l
P
C
k
kl
kp
B
l'=kl'
A
C'
B'
p
A'
P'=kp'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO
1. Współliniowość punktów.
2. Stosunek podziału.
l
kC
K4
C
kB
k
kA
B
l'
C'
A
B'
A'
p
AC A' C '
=
BC B' C '
( ABC ) =
AC
BC
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd
3. Równoległość prostych.
K4
N4
k
l
kl
N'4
km
l'
p
m
m'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd
4. Stosunek długości odcinków równoległych.
K4
B
D
D1
C
B'
D'
A=C1
C'
p
D1'
A'=C1'
C1D1 = CD
C1' D1' = C ' D'
AB
A' B '
=
C1D1 C1' D1'
AB A' B'
=
CD C ' D'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd
5. Metryka figur płaskich równoległych do rzutni.
Przez metrykę figury płaskiej rozumieć naleŜy długości wszystkich
odcinków oraz rozwartości wszystkich kątów.
Lemat I. JeŜeli prosta jest równoległa do rzutni, to jest ona równoległa
do swego rzutu równoległego.
Lemat II. Odcinki równoległe do rzutni zachowują przy rzutowaniu
równoległym swe długości.
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd
Ad 5 cd.
K4
B
A
l
kl
p
B'
l'
A'
AB = A' B'
NIEZMIENNIKI RZUTU RÓWNOLEGŁEGO cd
Ad 5 cd.
K4
W
n
a
b
A
kb
ka
W'
a'
p
n'
b'
A'
Przykład I
Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów.
E
D
F
C
C'
A'
A
B
B'
Przykład I
Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów.
E
D
D'
F
C
C'
A'
A
B
B'
Przykład I
Wyznaczyć rzut równoległy sześciokąta foremnego, gdy dane są rzuty jego trzech punktów.
E'
E
D
F'
F
D'
C
C'
A'
A
B
B'
Przykład II
Wyznaczyć rzut równoległościanu, gdy dane są rzuty jego trzech krawędzi wychodzących z
punktu A’.
A1'
D'
B'
A'
Przykład II
Wyznaczyć rzut równoległościanu, gdy dane są rzuty jego trzech krawędzi wychodzących z
punktu A’.
C1'
D1'
B1'
A1'
C'
D'
B'
A'
RZUT PROSTOKĄTNY PUNKTU I ODCINKA
KK4
4
AA
B
B'
p
p
n
A1
A'
A'
RZUT PROSTOKĄTNY
Twierdzenie. Rzutem prostokątnym kąta prostego o jednym ramieniu
równoległym do rzutni jest kąt prosty.
K4
A
B
B'
W
W'
A'
p
NIEZMIENNIKI RZUTU PROSTOKĄTNEGO
1.
Zachowanie współliniowości punktów.
2.
Zachowanie stosunku podziału odcinka.
3.
Zachowanie równoległości prostych.
4.
Zachowanie stosunku długości odcinków równoległych.
5.
Zachowanie metryki figur płaskich równoległych do rzutni.
6.
Zachowanie w rzucie prostopadłości kąta prostego,
którego jedno z ramion jest równoległe do rzutni.
niezmienniki
rzutu
równoległego
Przykład I
Dany jest rzut prostokątny A’B’ boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego
kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią
kąt 60o.
A'
B'
Przykład I
Dany jest rzut prostokątny A’B’ boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego
kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią
kąt 60o.
D''
60°
A'
B'
Przykład I
Dany jest rzut prostokątny A’B’ boku AB kwadratu ABCD. Wykreślić rzut prostokątny tego
kwadratu, jeśli jego boki AB i CD są równoległe do rzutni, a boki AD i BC tworzą z rzutnią
kąt 60o.
d'
D''
D'
C'
60°
A'
B'
Przykład II
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze
swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego
podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
A'
B'
A
D
Przykład II
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze
swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego
podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
D
A'
B'
A
D
Przykład II
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze
swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego
podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
D
D'
C'
A'
B'
A
D
Przykład II
Ostrosłup o podstawie prostokątnej i o równych krawędziach bocznych ma na rzutni jedną ze
swych większych ścian bocznych. Wykreślić rzut prostokątny tego ostrosłupa, gdy boki jego
podstawy mają długości 3j i 4j, a krawędzie boczne 5j.
W'
D
D'
C'
A'
B'
A
D
AKSONOMETRIA
Metodę kreślenia rzutów, w której korzysta się ze współrzędnych rzutowanych
punktów, nazywamy aksonometrią, a uzyskane tą metodą punkty i figury nazywamy
rzutami aksonometrycznymi (aksonometriami) tych punktów i figur.
Na rzutni Ba, którą nazywamy rzutnią aksonometryczną, przyjmujemy dowolne trzy
osie xa, ya i za przecinające się w jednym punkcie Oa (osie aksonometryczne). Osie
aksonometryczne opatrujemy dowolnymi dodatnimi liczbami 8x, 8y i 8z, które
nazywamy skrótami zmiany długości (stosunkami skrótów) dla kierunków
odpowiednich osi. Uwaga: mogą być równieŜ wydłuŜenia.
Osie aksonometryczne xa, ya i za oraz stosunki skrótów aksonometrycznych 8x, 8y i 8z
tworzą układ aksonometrycznych Oaxayaza; 8x, 8y, 8z.
AKSONOMETRIA cd
Jeśli punkt A(ax, ay, az) ma współrzędne ax, ay, az w pewnym przestrzennym układzie
współrzędnych Oxyz, to w danym układzie aksonometrycznym Oaxayaza; 8x, 8y, 8z
punkt ten ma współrzędne aksonometryczne 8xax, 8yay, 8zaz.
za
8z
Aa
8zaz
8xax
ya
Axa
8yay
8y
Axy
xa
8x
UKŁADY AKSONOMETRYCZNE
Izometria wojskowa
Aksonometria (dimetria)
prawieprostokątna
z
1:1
z
1:1
0
0
x
1:1
y
1:1
y
1:2
x
1:1
UKŁADY AKSONOMETRYCZNE
Dimetria (perspektywa)
kawalerska lewoskrętna
Dimetria (perspektywa)
kawalerska prawoskrętna
z
1:1
z
1:1
135°
0
135°
y
2:3
(1:2)
x
1:1
x
1:1
45°
y
2:3
(1:2)
225°
0
Przykład
z
1:1
Wa
Aa= 0
h
Ba
x
1:1
Da
y
1:1
Ca
SPRZĘśONE UKŁADY AKSONOMETRYCZNE
Układy aksonometryczne sprzęŜone tworzone są w wyniku przesunięcia układu
aksonometrycznego xayaza w kierunku dodatnich wartości osi za oraz symetrycznego
odbicia względem prostej prostopadłej do osi za w wyniku czego otrzymujemy układ
x’ay’az’a. Oba układy tworzą układ sprzęŜony, w którym osie za oraz z’a pokrywają się, a
skróty odpowiadających sobie osi są jednakowe.
z°=z°°
y°°
y°
x°°
R
n
R
n
x°
Przykład
z°=z°°
y°°
x°°
x°
y°