Teoria NP-zupełności. Problem decyzyjny należy do klasy P

Teoria NP-zupełności. Problem decyzyjny należy do klasy P

WYKŁAD :
Teoria NP-zupełno ci.
Problem decyzyjny nale y do klasy P
(Polynomial), je eli mo e by rozwi zany w
czasie conajwy ej wielomianowym przez
algorytm A dla DTM.
(przynale no ta jest zachowana równie dla innych
realistycznych modeli obliczeniowych takich jak RAM,
RASP)
Przykłady: wersje decyzyjne wyznaczania maksymalnego
elementu zbioru, najkrótszej cie ki w grafie itp.
Problem decyzyjny nale y do klasy NP
(Nondeterministic Polynomial), je eli mo e
by rozwi zany w czasie conajwy ej
wielomianowym przez algorytm A dla NDTM
(algorytm składa si z kroku ”odgadywania”
rozwi zania i kroku sprawdzania).
Przykłady: spełnialno (SAT), wersje decyzyjne problemu
pokrycia zbioru (MINIMUM SET COVER), kliki (CLIQUE),
najdłu szej cie ki w grafie, komiwoja era (TSP) itp.
Czy P NP ? Chocia nie udało si
przeprowadzi dowodu zakładamy, e nie !
Poj cie NP-zupełno ci
Transformacj wielomianow problemu P2
do problemu P1 (co zapisujemy P2 P1)
nazywamy funkcj f : D P2 D P1 , która
spełnia warunki:
1. dla ka dego przypadku problemu I 2 D P2
odpowied jest TAK dla przypadku problemu I 1 D P1 odpowied tak e jest TAK;
2. czas obliczania funkcji f przez DTM dla
ka dego przypadku problemu I 2 D P2 jest
ograniczony od góry przez wielomian N I 2 .
Mówimy, e problem decyzyjny P1 jest
NP-zupełny, je li P1 NP i dla ka dego
innego problemu decyzyjnego P2 NP,
zachodzi P2 P1.
Z powy szych definicji wynika, e klasa P
jest podklas wła ciw klasy NP, a ponadto
klasy problemów P i NP-zupełnych s
rozł czne.
Dowodzenie NP-zupełno ci
1. relacja pomi dzy problemami transformacja wielomianowa (przechodnia)
2. relacja pomi dzy problemem a klas
zło ono ci - zupełno
Dwa kroki dowodu:
a) pokazanie, e D P NP ;
b) pokazanie wielomianiowej transformacji
przypadku znanego problemu NP-zupełnego
do D P
( trzy podstawowe techniki: ograniczenie,
lokalna zamiana i projektowanie cz ci
składowych).
Przykład (technika: ograniczenie)
NAJDŁU SZA CIE KA
Dane: Graf G(V,E) oraz liczba naturalna
K |V|.
Pytanie: Czy G zawiera cie k prost
zawieraj c conajmniej K kraw dzi ?
Dowód NP-zupełno ci:
a) Moduł generuj cy NDTM generuje
sekwencj wierzchołków (wyrocznia
odgaduje rozwi zanie).
DTM sprawdza w czasie wielomianowym czy
|V| K i czy kolejne wierzchołki s poł czone
kraw dziami. St d P1 NP .
b) Jako P2 wybieramy problem CIE KI
HAMILTONA. Aby P2 P1, ograniczamy P1
do przypadków dla których zachodzi
K |V| 1.
Poj cie silnej NP-zupełno ci
Dla niektórych ”liczbowych” problemów
NP-zupełnych mo na skonstruowa tzw.
algorytmy pseudowielomianowe, których
funkcja zło ono ci czasowej jest ograniczona
od góry przez wielomian zale cy zarówno
od rozmiaru danych wej ciowych N I jak i od
maksymalnej warto ci wyst puj cych w tym
problemie liczb Max I .
Przykład: problem PLECAK, programowanie
dynamiczne.
Dla dowolnego problemu decyzyjnego P i
dowolnego wielomianu p okre lonego dla
liczb całkowitych, niech P p oznacza
podproblem otrzymany przez ograniczenie
D P tylko do tych przypadków problemu, dla
których Max I
p N I . Zatem P p nie jest
problemem liczbowym.
Problem decyzyjny P jest silnie NP-zupełny,
je li nale y do NP i istnieje wielomian p
okre lony dla liczb całkowitych , dla którego
P p jest NP-zupełny.
Problemy silnie NP-zupełne:
a) NP-zupełne problemy nieliczbowe;
b) NP-zupełne problemy liczbowe, takie jak:
KOMIWOJA ER, TRÓJPODZIAŁ.
Dla wykazania silnej NP-zupełno ci
problemu P wystarcza znale wielomian p,
dla którego problem P p jest NP-zupełny.
Dla omini cia tej trudno ci wprowadzono
poj cie transformacji pseudowielomianowej.
Transformacj pseudowielomianow
problemu P2 do problemu P1 (co zapisujemy
P2 P1) nazywamy funkcj f : D P2 D P1 ,
która spełnia warunki:
1. dla ka dego przypadku problemu I 2 D P2
odpowied jest TAK dla f I 2 odpowied
tak e jest TAK;
2. funkcja f mo e by obliczona przez DTM w
czasie ograniczonym od góry przez
wielomian zale ny od dwóch zmiennych
Max 2 I 2 i N 2 I 2 ;
3. istnieje wielomian q 1 taki, e dla ka dego
I 2 D P2 , q 1 N 1 f I 2
N2 I2 ;
4. istnieje wielomian dwóch zmiennych q 2
taki, e dla ka dego I 2 D P2 ,
Max 1 f I 2
q 2 Max 2 N 2 , N 2 I 2 .
Ró nice w stosunku do transformacji
wielomianowej:
- funkcja f nie musi by obliczona w czasie
wielomianowym;
- rozmiar przypadku nie zmaleje wykładniczo;
- najwi ksza warto liczbowa w danych nie
wzro nie wykładniczo.
Je eli problem P2 jest silnie NP-zupełny,
P1 NP oraz istnieje pseudowielomianowa
transformacja problemu P2 do P1, to P1 jest
silnie NP-zupełny.
Analogia: Teoria P-zupełno ci.
Problemy dopuszczalne, wysoce
równoległe i inherentnie sekwencyjne
Problem jest dopuszczalny (feasible), je li
mo e by rozwi zany przez algorytm
równoległy o asymptotycznej zło ono ci
czasowej i liczbie procesorów rzedu n O 1
(klasa P).
Problem jest dopuszczalny wysoce
równoległy, je li mo e by rozwi zany przez
algorytm równoległy o asymptotycznej
zło ono ci czasowej log O 1 i liczbie
procesorów rzedu n O 1 (klasa NC - wzamian
za wielomianow liczb procesorów
osi gamy podwielomianowy (podliniowy)
czas oblicze ).
Problem P jest inherentnie sekwencyjny gdy
jest dopuszczalny, ale nie posiada
dopuszczalnego wysoce równoległego
algorytmu (klasa P-zupełna, niemo liwy
kompromis liczba procesorów/czas).
Czy istniej problemy inherenie
sekwencyjne? Czy P NC ?
Przykłady: algorytmy arłoczne (wybór
dwóch dru yn piłkarskich, PLECAK wybieramy elementy z max stosunkiem
warto /rozmiar, szeregowanie zada w
systemie wieloprocesorowym - LPT)
Poj cie P-zupełno ci
Przykład: CIRCUIT VALUE PROBLEM (CVP)
Dowodzenie P-zupełno ci
1. relacja pomi dzy problemami transformacja wielomianowa (przechodnia)
2. relacja pomi dzy problemem a klas
zło ono ci - zupełno