Wyznaczanie wykresów momentów gnących

Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących
Algorytm rozwiązania zadnia:
1. Wyznaczenie wartości reakcji w podporach – układ płaski dowolny a więc trzy
równania:
lub
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=0
=0
=0
=0
=0
=0
Znaki momentów określamy zgodnie z zasadą wskazówek zegara czyli:
Obciążenie ciągłe zamieniamy na siłę wypadkową Q=q*L gdzie L= długość odcinka belki, na którym działa
obciążenie ciągłe.
2. Podział belki na przedziały (granice przedziałów ustalamy w miejscu przyłożenia siły,
momentu lub reakcji a także na początku i na końcu obciążenia ciągłego).
3. Dla każdego przedziału układamy równanie momentów (względem miejsca odcięcia).
Znaki momentów określamy zgodnie z zasadą „wyginania belki” czyli:
x
x
Wypadkową z obciążenia ciągłego wyznaczamy z przedziału o długości X (NIE Z CAŁOŚCI):
Q=q*x
Mg=-Q*0.5x=-0.5*q*x2
Q
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
Strona 1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
grudzień 2011
Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących
Dla obciążenia ciągłego wyznaczamy współrzędną wierzchołka paraboli xw. Jeżeli xw mieści w granicach
przedziału to obliczamy wartość momentu dla wierzchołka paraboli Mg(xw). Jeżeli xw nie mieści się w
granicach danego przedziału to łączymy otrzymane punkty na granicach przedziału kawałkiem paraboli.
Uwaga.
Jedynie w miejscu przyłożenia momentu M na wykresie momentów gnących może być skok wartości (na
granicy przedziałów wartość momentu gnącego jest różna z lewej strony i z prawej). W każdym innym
przypadku wartości z lewej i prawej strony granicy przedziału muszą być jednakowe.
Przykład
Dane:
q=1kN/m
M=1kNm
q
A
M
P
P= 1kN
B
L= 1m
1. Uwolnienie od więzów i obliczenie
reakcji w podporach A i B.
=0 →
A
P
Q
M
=0 →
B
+
=0
−
+
=0
Ponieważ RBX = 0 to w dalszych obliczeniach
RBY będzie oznaczane jako RB
=0 → − ∙ −
=0
∙ −
+
∙4
lub
=0 → − ∙5 −
=0
∙4 +
∙3 −
Gdzie Q=q*2l
Po rozwiązaniu układu równań
RA = 0
RB = 1
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
Strona 2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
grudzień 2011
Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących
2. Podział belki na przedziały
Przedział 1, 2 i 3 będą liczone od lewej strony,
a przedział 4 od prawej strony.
q
P 1
2
3
M
4
3. Równanie momentów dla pierwszego
przedziału:
=
q
∙
Mg1(0)=0
P
M
/
Mg1(l)=Pl=1
4. Równanie momentów dla drugiego
przedziału:
Q2
P
=
∙(
+ )+
∙
−
=
∙(
+ )+
∙
−
qdzie Q2=qx2, a więc
M
1.5
Mg2(0)=1
1
2
2
/
/
Mg2(l) =1
0
Wierzchołek paraboli:
l
(
)′ = +
=
−
∙
=1
=0
Wierzchołek paraboli znajduje się we
współrzędnej x2=1 i ma wartość:
Mg2(1) =1,5
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
Strona 3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
grudzień 2011
Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących
5. Równanie momentów dla trzeciego przedziału:
=
∙(
+ 3 )+
∙(
+2 )−
∙(
=
∙(
+ 3 )+
∙(
+2 )−
∙2 ∙(
gdzie Q =q*2l
P
M
Q
Mg3(0)=1
+ )/
+ )/
Mg3(l) =0
6. Równanie momentów dla czwartego
przedziału (od prawej strony):
=
Mg4(0)=0
P
∙
/
Mg4(l) =1
M
7. Rysowanie wykresu sił tnących
(pochodne momentów gnących dla
odpowiednich przedziałów):
=(
=(
=(
)′ =
)′ =
(0) = 1 ;
)′ =
= −(
=1
+
+
−
∙
(2 ) = −1
−
)′ = −
/
∙ 2 = −1
= −1
(w czwartym przedziale zmieniamy znak
na przeciwny ponieważ liczymy go od
prawej do lewej)
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
Strona 4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
grudzień 2011