Przykład 2.2.

Przykład 2.2 Belka wieloprzęsłowa II.
Dla statycznie wyznaczalnej belki wieloprzęsłowej, której sztywność zmienia się
odcinkowo, wyznaczyć zmianę kąta ugięcia (kąta obrotu przekroju poprzecznego) w
przegubie C i ugięcie w punkcie F.
Rys. 1. Schemat statyczny belki
I. Wyznaczenie zmiany kąta ugięcia w przegubie C.
Zmianę kąta ugięcia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze
wzoru
5 li
l
M M 1 ds
1 5 i M M1
∆θ C = ∑ ∫ zi zi i = ∑ ∫ zi zi dx
Ei J zi
E i =1 0 J zi
i =1 0
(1)
gdzie: ∆θ C = θ Cp − θ Cl - zmiana kąta ugięcia w przegubie C,
M zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
M 1zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od momentów jednostkowych, odpowiadających poszukiwanemu przemieszczeniu, przyłożonych do prętów przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko przegubu C,
li - długość i-tego przedziału belki o stałym module E.
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od obciążenia
zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla belki wyznaczamy reakcje podpór
∑M
∑M
∑P
∑M
ix
FG
F
= 0 → RG ⋅ 2l − q ⋅ 2l ⋅ l = 0 → RG = ql
7
11
= 0 → R D ⋅ 2l + RG ⋅ 5l − q ⋅ 3l ⋅ l = 0 → R D = ql
2
4
= 0 → HA = 0
CG
C
13
7
l + RG ⋅ 8l = 0 → RB = ql
2
8
5
∑ Piy = 0 → V A − RB + P − RD + 3q ⋅ l − RG = 0 → V A = 8 ql
A
= 0 → − M + RB ⋅ 2l − P ⋅ 3l + RD ⋅ 5l − 3q ⋅ l ⋅
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia zewnętrznego.
1
Rys. 3. Wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego.
2. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od momentów jednostkowych, odpowiadających poszukiwanej zmianie kąta ugięcia, przyłożonych do prętów
przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko przegubu C.
Rys. 4. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑M
∑M
∑P
∑M
1
ix
1 FG
F
= 0 → RG1 ⋅ l = 0 → RG1 = 0
1CG
C
= 0 → − RD1 ⋅ 2l + RG1 ⋅ 5l + 1 = 0 → RD1 =
1
2l
= 0 → H 1A = 0
1
A
= 0 → R B1 ⋅ 2l − 1 + 1 − RD1 ⋅ 5l + RG1 ⋅ l = 0 → RB1 =
∑ Piy1 = 0
1
→ V A1 − R1B + R1D − RG
= 0 → V A1 =
5
4l
3
4l
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 5. Wykres momentów gnących od momentów jednostkowych, odpowiadających
poszukiwanej zmianie kąta, przyłożonych do prętów przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko
przegubu C.
2
3. Obliczenie zmiany kąta ugięcia w przegubie C.
Całkę w przedziale 1 obliczymy mnożąc pole figury wykresu M 1g w przedziale 1 przez
rzędne w wykresach M g odpowiadające środkowi ciężkości figury wykresu M 1g w tym
przedziale. Pola powierzchni i odpowiadające im rzędne drugiego wykresu dla odciętej
odpowiadającej środkowi ciężkości figury pierwszego wykresu przedstawiono poniżej (patrz
rysunek 6).
1 3
3
1
1 5
5
A1 = ⋅ ⋅ 2l = l
η1 = ql 2
η 2 = ⋅ ql 2 = ql 2
2 2
2
4
3 4
12
Rys. 6. Wykresy momentów gnących w przedziale 1
Podobnie w przedziale 2 i 3.
Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i pamiętając o różnych sztywnościach belki w
poszczególnych przedziałach otrzymujemy
∆θ C =
1  1 1 3
1  11 ql 3
1 2 1 5 2 1 1 2
 2 1  1 1 3 2
  ⋅ ⋅ 2l ⋅  ql − ⋅ ql  + ⋅ ql ⋅ l ⋅ 1 + ⋅  + ⋅ ⋅ ql ⋅ 2l ⋅ ⋅ 1 =
E  2J  2 2
3 4
3  24 EJ
4
 2 4
 3 2  J 2 2
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zmiana kąta ugięcia w
przegubie C jest zgodna z założoną (Rys. 4).
II. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v punktu F.
Przemieszczenie pionowe wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru
5 li
vF = ∑ ∫
i =1 0
gdzie:
l
M zi M 1zi dsi 1 5 i M zi M 1zi
dx
= ∑∫
Ei J zi
E i =1 0 J zi
(3)
vF - pionowe przemieszczenie punktu F,
M zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
M 1zi - moment gnący w i-tym przedziale belki od pionowej siły jednostkowej, odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu, przyłożonej w punkcie F,
3
li - długość i-tego przedziału belki o stałym module E.
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonego w punkcie F.
Rys. 7. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑M
∑M
∑P
∑M
1
ix
∑P
1
iy
1 FG
F
= 0 → RG1 ⋅ l = 0 → RG1 = 0
1CG
C
= 0 → RD1 ⋅ 2l + RG1 ⋅ 5l − 1 ⋅ 3l = 0 → RD1 =
3
2
= 0 → H 1A = 0
1
A
= 0 → − 1 ⋅ 6l − RB1 ⋅ 2l + RD1 ⋅ 5l + RG1 ⋅ 8l = 0 → RB1 =
= 0 → − V A1 + RB1 + 1 − RD1 − RG1 = 0 → V A1 =
3
4
1
4
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 8. Wykres momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonej w punkcie F.
2. Obliczenie przemieszczenia pionowego vF punktu F.
Wartości całek w przedziale 4 (z uwagi na nieskończoną sztywność) i 5 (zerowe wykresy
momentów) są równe zeru. Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia
otrzymujemy
vF =
1  1 1 l
2 1 2 1 1
2 3 2  49ql 4
 1 2 1 5 2 1 l
⋅
⋅
−
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ql  =
2
l
ql
ql
l
ql
l
2
l



 J 2
E  2 J  2 2  4
3 4
3 4
3 2
 2 2

 48 EJ
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest
zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 7).
4