kurs podstaw biofizyki - e

Transkrypt

Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
URS
ODSTAW
IOFIZYKI
VER
K
B
P
. 2.1
dla studentów Wychowania Fizycznego
i Fizjoterapii
Wrocław, listopad 2004
1
Sławomir Winiarski
SPIS TREŚCI:
1. MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH...........................................................................................4
WIELKOŚCI FIZYCZNE I ICH JEDNOSTKI .............................................................................. 4
KINEMATYKA RUCHU POSTĘPOWEGO I RUCHU PO OKRĘGU ................................................ 5
1.2.1.
Ruch postępowy (liniowy)...............................................................................6
1.1.
1.2.
1.2.2.
Rzut ukośny. ...................................................................................................8
1.2.3.
Ruch obrotowy................................................................................................9
2. DYNAMIKA RUCHU PROSTOLINIOWEGO .......................................................................11
2.1.
ŚRODEK MASY ................................................................................................................. 11
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
PĘD PUNKTU MATERIALNEGO. ......................................................................................... 12
ZASADY DYNAMIKI NEWTONA ........................................................................................ 12
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU. .......................................................................................... 12
PRACA I ENERGIA ............................................................................................................ 13
2.5.1.
2.5.2.
2.5.3.
2.5.4.
2.5.5.
2.6.
3.
Praca mechaniczna ........................................................................................13
Energia potencjalna.......................................................................................14
Energia kinetyczna ........................................................................................14
Moc ..............................................................................................................14
Zasada zachowania energii............................................................................15
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ......................................................................................... 15
2.6.1.
Moment siły ..................................................................................................16
2.6.2.
Moment pędu ................................................................................................16
2.6.3.
Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego .........................................16
2.6.4.
Zachowanie momentu pędu...........................................................................17
2.6.5.
Moment bezwładności...................................................................................17
2.6.6.
Ruch obrotowo-postępowy............................................................................18
MECHANIKA PŁYNÓW..................................................................................................20
CIŚNIENIE I GĘSTOŚĆ ....................................................................................................... 20
3.1.1.
Ciśnienie hydrostatyczne...............................................................................21
3.1.
4.
3.1.2.
Ciśnienie atmosferyczne................................................................................21
3.1.3.
Prawo Pascala ...............................................................................................21
3.1.4.
Prawo Archimedesa ......................................................................................22
3.1.5.
Ogólny opis przepływu płynów.....................................................................22
3.1.6.
Równanie Bernoulliego .................................................................................24
3.1.7.
Dynamiczna siła nośna..................................................................................24
3.1.8.
Siła oporów aerodynamicznych .....................................................................25
FALA AKUSTYCZNA (DŹWIĘKOWA) .............................................................................26
4.1.
4.2.
4.3.
5.
NATĘśENIE I POZIOM NATĘśENIA DŹWIĘKU;................................................................... 27
ZAŁAMANIE I ODBICIE FALI DŹWIĘKOWEJ ....................................................................... 28
ZJAWISKO DOPPLERA ...................................................................................................... 30
TERMODYNAMIKA .......................................................................................................30
5.1.
5.2.
GAZ DOSKONAŁY ............................................................................................................ 30
TEMPERATURA, RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO ................................................ 31
2
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.
Sławomir Winiarski
Zerowa zasada termodynamiki ......................................................................31
Kinetyczna interpretacja temperatury ............................................................31
Równanie stanu gazu doskonałego ................................................................31
Pomiar temperatury, skale temperatur ...........................................................32
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
EKWIPARTYCJA ENERGII .................................................................................................. 32
PIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI .............................................................................. 33
CIEPŁO WŁAŚCIWE........................................................................................................... 34
BILANS CIEPLNY .............................................................................................................. 34
ZASADA BILANSU CIEPLNEGO: ......................................................................................... 35
PROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE, CYKL CARNOTA ......................................... 35
ENTROPIA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI................................................................. 35
ENTROPIA ........................................................................................................................ 36
5.10.1. Entropia a nieuporządkowanie.......................................................................37
5.11. STANY RÓWNOWAGI, ZJAWISKA TRANSPORTU ................................................................. 37
6.
5.11.1. Stany równowagi fazowej .............................................................................37
5.11.2. Zjawiska transportu.......................................................................................38
ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM ................................................................................39
6.1.
ELEKTROSTATYKA .......................................................................................................... 40
6.1.1.
Spoczywający ładunek elektryczny ...............................................................40
6.2.
ELEKTRODYNAMIKA........................................................................................................ 40
6.2.1.
6.2.2.
6.2.3.
6.2.4.
6.2.5.
6.2.6.
6.3.
REZONANS MAGNETYCZNY.............................................................................................. 45
6.3.1.
6.4.
7.
Rodzaje prądu ...............................................................................................41
Charakterystyka prądu elektrycznego ............................................................41
Prąd zmienny, impedancja (zawada) układu RLC:.........................................43
Transport jonów w błonach i potencjały błonowe. .........................................43
Wpływ prądu stałego na organizm.................................................................44
Elektroterapia w „pigułce” ............................................................................44
Moment magnetyczny ...................................................................................45
POLE ELEKTROMAGNETYCZNE ......................................................................................... 45
6.4.1.
Powstawanie światła laserowego...................................................................47
PROMIENIOWANIE CIEPLNE.........................................................................................49
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
PRAWO PROMIENIOWANIA KIRCHHOFFA .......................................................................... 50
PRAWO PROMIENIOWANIA PLANCKA ............................................................................... 50
PRAWO PRZESUNIĘĆ WIENA: ........................................................................................... 51
PRAWO PROMIENIOWANIA STEFANA – BOLTZMANNA:..................................................... 51
TERMOGRAFIA................................................................................................................. 52
10.1.
10.2.
10.3.
ALFABET GRECKI. ........................................................................................................... 53
WYBRANE STAŁE FIZYCZNE ............................................................................................. 53
LITERATURA.................................................................................................................... 53
8. PROMIENIOWANIE NIEJONIZUJĄCE (W PRZYGOTOWANIU):............................52
9. PROMIENIOWANIE JONIZUJĄCE: (W PRZYGOTOWANIU) ..................................52
10.
UZUPEŁNIENIA....................................................................................................53
3
Sławomir Winiarski
Biofizyka jest nauką „fizycznych aspektów biologii”, włączając w to zastosowanie praw
fizyki i techniki do opisu procesów zachodzących w Ŝywych organizmach (w szczególności
człowieku). Działy fizyki w niniejszych materiałach (tj. mechanika ciał stałych, cieczy i
gazów, akustyka, termodynamika, elektryczność i magnetyzm, promieniowanie ciał oraz
elementy fizyki współczesnej) zostały dobrane w taki sposób aby w moŜliwie uproszczony
sposób wyjaśnić niektóre zjawiska fizyczne zachodzące w organizmie człowieka. Niniejsze
materiały mają stanowić jedynie pomocnicze źródło wiedzy do poznawanych zagadnień,
dlatego uprzejmie zachęca się czytelnika do sięgnięcia równieŜ do innych pozycji
literaturowych w szerokim wachlarzu ofert dostępnych na rynku wydawniczym.
autor
1. MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się opisem ruchu ciał materialnych lub ich
części wynikający z ich wzajemnych oddziaływań oraz badaniem stanu równowagi pomiędzy
nimi. WyróŜnia się mechanikę klasyczną (opartą na teorii Isaaka Newtona) oraz mechanikę
relatywistyczną (uwzględniającą efekty przewidywane przez teorię względności Alberta
Einsteina). Mechanikę dzieli się na kinematykę i kinetykę (dynamikę):
Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się geometrycznym (matematycznym)
opisem ruchu ciał bez analizowania sił, które ten ruch wywołały.
Kinetyka (teŜ dynamika) dział mechaniki badający ruch wywołany działaniem na układ
określonych sił.
1.1. W IELKOŚCI FIZYCZNE I ICH JEDNOSTKI
Prawa fizyki wyraŜają związki między róŜnymi wielkościami fizycznymi. Prawa te
formułowane są w postaci równań matematycznych wyraŜających ścisłe ilościowe relacje
między tymi wielkościami, a to wiąŜe się zawsze z pomiarami określającymi liczbowo
stosunek danej wielkości do przyjętej jednostki .
Wiele z wielkości fizycznych jest współzaleŜnych. Na przykład prędkość jest długością
podzieloną przez czas, gęstość masą podzieloną przez objętość itd. Dlatego z pośród
wszystkich wielkości fizycznych wybieramy pewną ilość tak zwanych wielkości
podstawowych, za pomocą których wyraŜamy wszystkie pozostałe wielkości nazywane
wielkościami pochodnymi. Z tym podziałem związany jest równieŜ wybór jednostek.
Jednostki podstawowe wielkości podstawowych są wybierane (ustalane), a jednostki
pochodne definiuje się za pomocą jednostek podstawowych.
Aktualnie obowiązującym w Polsce układem jednostek jest układ SI (Systeme
International d'Unites). Uklad SI ma siedem jednostek podstawowych i dwie uzupełniające
niezbędne w sformułowaniach praw fizyki. Wielkości podstawowe i ich jednostki są
zestawione w tabeli 1.1 poniŜej.
Definicje jednostek podstawowych są związane albo ze wzorcami jednostek albo z
pomiarem. Przykładem jednostki związanej ze wzorcem jest masa. Obecnie światowym
wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo – irydowy przechowywany w
Międzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sevres (Francja). Natomiast przykładem jednostki
związanej z pomiarem jest długość. Metr (m) definiujemy jako długość drogi przebytej w
próŜni przez światło w czasie 1/299792458 s.
4
Sławomir Winiarski
Oprócz jednostek w fizyce posługujemy się pojęciem wymiaru jednostki danej wielkości
fizycznej. Wymiarem jednostki podstawowej jest po prostu ona sama. Natomiast dla
jednostek pochodnych wymiar jest kombinacją jednostek podstawowych (w odpowiednich
potęgach). Na przykład jednostka siły ma wymiar kg.m/s2 wynikający ze wzoru F = ma.
Niektóre jednostki pochodne mają swoje nazwy tak jak jednostka siły - niuton.
Tabela 1-1 Wielkości podstawowe, uzupełniające i ich jednostki w układzie SI.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Wielkość
Długość
Masa
Czas
Ilość materii (substancji)
NatęŜenie prądu elektrycznego
Temperatura termodynamiczna
Światłość
Kąt płaski
Kąt bryłowy
Jednostka
metr
kilogram
sekunda
mol
amper
kelwin
kandela
radian
steradian
Symbol
m
kg
s
mol
A
K
cd
rad
sr
Wreszcie, oprócz jednostek podstawowych i pochodnych posługujemy się takŜe
jednostkami wtórnymi , które są ich wielokrotnościami. WyraŜa się je bardzo prosto poprzez
dodanie odpowiedniego przedrostka określającego odpowiednią potęgę dziesięciu, która jest
mnoŜnikiem dla jednostki (patrz tabela 1.2).
Tabela 1-2 Wybrane przedrostki jednostek wtórnych.
Przedrostek
tera
giga
mega
kilo
hekto
decy
centy
mili
mikro
nano
piko
femto
Skrót
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
f
MnoŜnik
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
1.2. KINEMATYKA RUCHU POSTĘPOWEGO I RUCHU PO OKRĘGU
Do określenia połoŜenia wybranego ciała lub układu ciał uŜywamy układów odniesienia.
Zwróćmy uwagę na to, Ŝe ruch tego samego ciała widziany z róŜnych układów odniesienia
moŜe być róŜny. W szczególności moŜna wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie
porusza się. Oznacza to, Ŝe ruch jest pojęciem względnym.
Ponadto, w naszych rozwaŜaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu
materialnego: Punkt materialny jest to punktowy model rzeczywistego ciała obdarzony
masą, którego rozmiary moŜna zaniedbać.
5
Sławomir Winiarski
Rzeczywiste ciała mają zawsze skoń czoną objętość, ale dopóki rozpatrujemy ich ruch
postępowy (ciała nie obracają się, ani nie wykonują drgań) to z dobrym przybliŜeniem
moŜemy je traktować jako punkty materialne. To przybliŜenie moŜe być z powodzeniem
stosowane do opisu ruchu obiektów o róŜnej wielkości, zarówno "małych" cząsteczek, jak i
"duŜ ych" planet.
1.2.1. Ruch postępowy (liniowy)
Jest to ruch wzdłuŜ linii prostej (1 stopień swobody=1DOF).
JeŜeli ciało porusza się ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością) i jeŜeli w pewnej chwili
t0 znajdowało się w połoŜeniu x0 to po czasie t znajdzie się w połoŜeniu x danym wzorem:
x(t ) = x0 + v ⋅ (t − t 0 )
(1)
Dwa przykłady zaleŜności między połoŜeniem x i czasem t pokazano na rysunku poniŜej
dla dwóch ciał (np. pojazdów). Jak wynika z powyŜ szego wzoru nachylenie wykresu x(t)
przedstawia prędkość danego ciała. RóŜne nachylenia wykresów x(t) odpowiadają więc
róŜnym prędkościom. Prędkość v (wektor) moŜe być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje
kierunek ruchu. Wektor v dodatni - ruch w kierunku rosnących x, ujemny to ruch w kierunku
malejących x.
Rysunek 1. Przykład ruchu postępowego. Jednowymiarowy ruch mierzony
względem startu drugiego (2) ciała. Pomimo, Ŝe w chwili początkowej (t=0s)
pierwsze ciało było dwa metry za drugim, zdąŜyło go wyprzedzić (miało
większą prędkość) i jako pierwsze dotarło do mety (ośmiometrowej).
Prędkość definiujemy jako zmianę połoŜenia ciała w jednostce czasu. W kinematyce
rozróŜnia się pomiędzy prędkością średnią a prędkością chwilową.
Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania prędkościomierza zmieniają się i nie
moŜemy mówić o "jednej" stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w kaŜdej chwili jest inna.
Ograniczając się do bardzo małych wartości róŜnic x–x0=∆x) czyli równieŜ bardzo małego
przedziału czasu ∆t=t–t0 (chwili). Prędkość chwilową w punkcie x otrzymamy gdy nasze
przedziały czasowe ∆t dąŜą do zera (małe odstępy czasu):
∆s def ds
=
t
dt
∆
∆t →0
vch. = lim
( 2)
Jak widzimy prędkość chwilowa jest z definicji pierwszą pochodną drogi po czasie.
Przy szacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowości często nie jesteśmy w stanie
przewidzieć wszystkich parametrów podróŜ y wpływających na prędkość takich jak natęŜenie
ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym itp. Posługujemy się
wtedy pojęciem prędkości średniej:
6
Sławomir Winiarski
Prędkość średnia – stosunek przyrostu drogi do przyrostu czasu (czasami stosunek
całkowitej drogi do całkowitego czasu):
sk − s p
∆s
=
∆t
tk − t p
v śr. =
(3)
gdzie indeksami k i p oznaczono stany koń cowe i początkowe ruchu.
Przyspieszenie. Przyspieszeniem nazywamy tempo zmiany prędkości. RozróŜnia się
pomiędzy przyspieszeniem chwilowym i średnim.
Przyspieszenie chwilowe jest pierwszą pochodną prędkości po czasie (drugą pochodną
drogi po czasie):
a ch . =
∆v
∆t
lim
∆t → 0
def
=
dv
d 2s
=
dt
dt 2
( 4)
Prędkość średnia dotyczy skoń czonych przedziałów i wyraŜa się wzorem:
a śr. =
∆v v k − v p
=
tk − t p
∆t
(5)
Ruch jednostajny, to ruch ze stałą prędkością. v = const. i zerowym przyspieszeniem: a=0.
Wartość drogi w danym momencie t moŜna obliczyć ze wzoru (1-1), otrzymując:
s (t ) = s 0 + v ⋅ t , gdzie s0 jest początkową wartością przebytej drogi.
Ruch jednostajnie zmienny. Ruch ten, ze względu na niezerową wartość współczynnika
przyspieszenia, dzielimy na ruch jednostajnie przyspieszony (a>0) i ruch jednostajnie
opóźniony (a<0). Stąd, jeŜeli a≠0, wartość prędkości w dowolnej chwili czasu t obliczyć
moŜemy ze wzoru (1-2): v(t ) = v 0 + a ⋅ t , natomiast drogę obliczymy całkując równanie (1-1):
s(t ) = s0 + v0 ⋅ t +
1
a ⋅t2 ,
2
gdzie s0 i v0 są początkowymi wartościami drogi i prędkości. W
poniŜszej tabeli znajduje się podsumowanie i zestawienie wzorów na przyspieszenie,
prędkość i drogę dla róŜnych typów ruchów:
Tabela 1-3 Rodzaje ruchów – podsumowanie
rodzaj ruchu
prędkość
v(t)=v=const.
przyspieszenie
a=0
droga
s (t ) = s 0 + v ⋅ t
v
a
s
v>0
v>0
ruch jednostajny
s0
s0=0
t
v<0
t
t
v<0
a=const. i
a>0 –> przyspieszony
a<0 –> opóźniony
ruch jednostajnie
zmienny
a
v(t ) = v 0 + a ⋅ t
s (t ) = s 0 + v 0 ⋅ t +
1
a ⋅t2
2
s
v
a>0
s0
a>0
a>0
v0
v0=0
s0=0
a<0
t
t
a<0
t
a<0
ruch
niejednostajnie
zmienny
a ≠const. i
a>0 – przyspiesz.
a<0 – opóźniony.
v(t ) = ∫ a(t ) ⋅ dt
s(t ) = ∫ v(t ) ⋅ dt = ∫∫ a(t ) ⋅ dt
7
Sławomir Winiarski
1.2.2. Rzut ukośny.
Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony
przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się poruszają się po torze
krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie prędkości i połoŜenia rzuconego ciała w
dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu.
JeŜeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem
grawitacyjnym g (g≈10m/s2). MoŜemy więc zastosować równania dla ruchu jednostajnie
zmiennego. PoniewaŜ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ
współrzędnych tak, Ŝe x będzie współrzędną poziomą, a y pionową. Ponadto, przyjmijmy, Ŝe
początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało oraz, Ŝe
prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi x
(rysunek poniŜej).
ZauwaŜmy, Ŝe rzut (np. pokazany z prawej strony rzut piłką tenisową) rozłoŜyć moŜemy
na dwa ruchy: ruch jednostajny względem osi podłuŜnej (x) oraz ruch jednostajnie zmienny
względem osi pionowej (y). Dla składowych poziomej i pionowej prędkości zapisać moŜemy:
v x (t ) = v0 x = v0 cos α
( 6)
v y (t ) = v 0 x − gt = v0 sin α − gt
a znając prędkości obliczyć moŜemy przemieszczenia odpowiednio poziome i pionowe:
x (t ) = v 0 cos α ⋅ t
y (t ) = v 0 x t −
1 2
1
gt = v 0 sin α ⋅ t − gt 2
2
2
(7)
Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej
y(x). Równanie y(x) moŜemy obliczyć eliminując czas t z tych równań . Z zaleŜności x(t)
obliczamy t, a następnie wstawiamy do równania y(t), które przyjmuje postać
y ( x) = tg α ⋅ x −
g
2v02
cos α
2
⋅ x2
( 8)
Jest to parabola z ramionami skierowanymi w dół (rysunek poniŜej).
8
Sławomir Winiarski
Z powyŜ szych równań łatwo pokazać, Ŝe:
a) maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się ciało wynosi:
v 2y
hmax =
2g
=
v02 sin 2 θ
2g
(9)
b) całkowity czas ruchu:
t =2⋅
vy
= 2⋅
g
v 0 sin θ
g
(10)
c) zasięg rzutu (maksymalny dystans):
z = v x t = v 0 cos θ ⋅ 2
v 0 sin θ v 02 sin( 2θ )
=
g
g
(11)
PowyŜ sze wzory przydatne są do określenia zasięgu, oraz maksymalnej wysokości rzutów
w lekkoatletyce.
1.2.3. Ruch obrotowy.
RozwaŜać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością (liniową) po okręgu o
promieniu R. Prędkość kątowa (obrotowa) zdefiniowana jest jako zmiana kąta do zmiany
czasu.
Prędkość kątowa średnia wyraŜa się wzorem:
ω śr =
∆α
∆t
(12)
dα
dt
(13)
natomiast prędkość kątowa chwilowa wzorem:
ω ch =
i jak widzimy jest to pierwsza pochodna kąta po czasie.
Na zasadzie analogii pomiędzy ruchem obrotowym i liniowym zauwaŜymy, Ŝe
przyspieszenie chwilowe kątowe jest pierwszą pochodną prędkości kątowej po czasie:
ε ch =
dω
dt
(14)
Związek prędkości liniowej i kątowej moŜna wyprowadzić, w prosty sposób, przy
wsparciu następującym rysunkiem:
s
R
α
2
R
s
2
v P’
v
R
P
α
R
Wyobraźmy sobie, Ŝe punkt materialny (reprezentujący np. młot z sytuacji z prawej strony)
przemieścił się z punktu P do punktu P’.
9
Sławomir Winiarski
ZałóŜmy równieŜ, Ŝe przemieszczenie s było nieskoń czenie małe (rysunek).
Prowadząc dwusieczną kąta α obliczmy sinus α/2 powstałego w ten sposób trójkąta
prostokątnego:
s
s
2
sin
=
=
2
R
2R
α
.
Skorzystajmy z tego, Ŝe kąt α jest nieskoń czenie małym kątem (dla małych kątów sinz≈z),
dostaniemy: sin α ≈ α = s , a stąd: s= α.R.
2
2
2R
Przekształcając dalej moŜemy otrzymać związek pomiędzy prędkością liniową a kątową:
v =ω⋅R
(15)
oraz pomiędzy przyspieszeniem liniowym a kątowym:
a =ε ⋅R
(16)
Przy analizie ruchu po okręgu dobrze jest wspomnieć o następujących parametrach:
Okres – czas pełnego obiegu (kąt α zmienia się wtedy o 2π).
Częstotliwość – odwrotność okresu: f = 1
(17)
T
Tabela 4 Niektóre analogie pomiędzy ruchem postępowym a obrotowym
Ruch postępowy
1. r. zmienny
a ≠0
* a>0 r.przysp.
* a<0 r opóźn.
2. r. jednostajnie
zmienny
a=const.
a = a(t)
ε = ε(t)
v(t ) = ∫ a (t ) ⋅ dt
ω (t ) = ∫ ε (t ) ⋅ dt
s (t ) = ∫ v (t ) ⋅ dt
α (t ) = ∫ ω (t ) ⋅ dt
a(t) = a0
ε(t) = ε0
ω (t ) = ω 0 + εt
v(t ) = v 0 + at
a ⋅t2
s (t ) = s 0 + v 0 t +
2
a(t) = 0
3. r. jednostajny
a=0
Ruch obrotowy
α (t ) = α 0 + ω 0 t +
ε ⋅t 2
v (t ) = v 0
ε(t) = 0
ω (t ) = ω 0
s (t ) = s 0 + v 0 t
α (t ) = α 0 + ω 0 t
2
10
Sławomir Winiarski
2. DYNAMIKA RUCHU PROSTOLINIOWEGO
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał pod działaniem sił. Do tego celu słuŜą róŜne
rodzaje równań ruchu w zaleŜności od modelu zastosowanego. WyróŜnia się dynamikę
punktu materialnego, bryły sztywnej, aerodynamikę i hydrodynamikę.
2.1. ŚRODEK MASY
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. obdarzone masą cząstki
bezwymiarowe (o zerowej objętości) co wystarczało w przypadku ruchu postępowego ciał bo
ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała są układami
ogromnej liczby atomów, a ich ruch moŜe być bardzo skomplikowany. Ciało moŜe wirować
lub drgać, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne połoŜenie. Przykład
takiego ruchu jest przedstawiony na rysunku-animacji poniŜej.
Przykład: RozwaŜamy układ dwóch róŜnych mas m1 i m2 pokazanych na rysunku:
0
X1
X2
X
Rys. . Środek masy układu dwóch mas m1 i m2 o współrzędnych
odpowiednio: x1, x2.
PołoŜenie środka masy tego układu (x-owa współrzędna osiowa) definiujemy jako:
.
PołoŜenie środka masy układu punktów materialnych wyznaczamy jak zatem średnią
waŜoną, przy czym masa tych punktów jest czynnikiem waŜącym przy tworzeniu średniej.
Przez analogię dla układu n cząstek (punktów materialnych) współrzędna x środka masy
jest dana zaleŜnością:
gdzie suma mas poszczególnych punktów układu jest całkowitą masą układu: Σmi = M.
Postępując w ten sam sposób moŜemy wyznaczyć pozostałe współrzędne y, z. W wyniku
otrzymujemy trzy równania skalarne, które moŜemy zastąpić jednym równaniem:
gdzie r jest uogólnioną współrzędną: r = {x, y, z}
ZauwaŜmy, Ŝe środek masy układu punktów materialnych zaleŜy tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zaleŜy od wyboru układu odniesienia.
Dla ciał o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym.
Ruch środka masy: Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób,
jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań
działały.
Ma śr.m. =
∑F = F
wypadkowa
11
Sławomir Winiarski
Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, Ŝe nawet ciała materialne będące układami
złoŜonymi z duŜej liczby punktów materialnych moŜemy w pewnych sytuacjach traktować
jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest środek masy.
To twierdzenie obowiązuje dla kaŜdego układu punktów materialnych. W szczególności
układ moŜe być ciałem o budowie ciągłej (np. ciało stałe). Wtedy przy obliczeniach środka
masy sumowanie Σ zastępujemy całkowaniem ∫. Układ moŜe teŜ być zbiorem cząstek, w
którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Pojęcie środka masy jest bardzo
uŜyteczne np. do obliczania energii kinetycznej cząsteczek, wypadkowej siły, pędu, itp.
2.2. PĘD PUNKTU MATERIALNEGO.
Jest to iloczyn masy tego punktu oraz jego prędkości. Podobnie jak prędkość pęd jest
jednostką wektorową (posiada wartość, kierunek i zwrot).
r
r
p = m⋅v
(18)
2.3. ZASADY DYNAMIKI NEWTONA1
Trzy podstawowe prawa fizyczne mechaniki, których treść jest następująca:
1. JeŜeli na punkt materialny (p.m.) nie działa siła (lub działające siły równowaŜą się), to
ciało to spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
2. JeŜeli na punkt materialny działa niezerowa siła, to ciało porusza się ruchem
przyspieszonym (lub opóźnionym). Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do
(19)
siły zgodnie ze wzorem: F = m ⋅ a ,
gdzie stała proporcjonalności m jest masą przyspieszanego p.m.
3. JeŜeli jeden punkt materialny działa na drugi p.m. siłą F1, to ten drugi działa na
pierwszy z tą samą siłą ale o przeciwnym zwrocie: F2 = –F1.
Znana jest jeszcze inna postać drugiej zasady dynamiki. Przekształćmy równanie F=ma.
dv d (mv) dp
=
=
, przy załoŜeniu o stabilności masy w czasie.
Otrzymamy: F = m ⋅ a = m ⋅
dt
dt
dt
dp
F=
(20)
Czyli:
dt
2.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU.
JeŜeli na układ ciał nie działają siły zewnętrzne (F=0) (lub się one równowaŜą), to w myśl
drugiej zasady dynamiki: dp = 0 , a to implikuje, Ŝe dp=0 czyli pęd układu pozostaje stały.
dt
jezeli F = 0, to p = const.
(21)
Analogicznie posługując się zasadą zachowania pędu moŜna wytłumaczyć na przykład
zjawisko odrzutu występujące przy strzelaniu z broni palnej. Zjawisko odrzutu ma jednak
waŜne praktyczne znaczenie. Zostało wykorzystane w silnikach odrzutowych i rakietowych,
w których wyrzucane spaliny nadają samolotowi (rakiecie) przeciwnie skierowany pęd.
Zjawisko to jednak róŜni się od opisanych powyŜ ej, bo w przeciwień stwie do układów gdzie
masa elementów składowych pozostawała stała masa wyrzucanych spalin i masa rakiety
zmieniają się.
1
Sir Isaac Newton (1643-1727)
12
Sławomir Winiarski
Wiemy juŜ, Ŝe jeŜeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru to
spełniona jest zasada zachowania pędu. W takim układzie mogą jednak działać siły
wewnętrzne, na przykład siły występujące przy zderzeniach między cząsteczkami gazu. I
właśnie dlatego moŜemy skorzystać z zasady zachowania pędu do opisu zderzeń .
2.5. PRACA I ENERGIA
Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest
konieczna dla wszelkich rozwaŜań zarówno technologicznych, ekonomicznych,
ekologicznych jak i społecznych. śeby się o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak istotną
pozycją w budŜecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na energię
(zakupy Ŝ ywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu). Z energią
związana jest najwaŜniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada
ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej będziemy się
odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących róŜnych zagadnień fizyki. W
mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał,
stanowi alternatywę do stosowania zasad dynamiki Newtona.
2.5.1. Praca mechaniczna
W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza się pod wpływem stałej siły
F. Traktując przesunięcie s jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt i
kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, moŜemy zdefiniować pracę W.
Praca mechaniczna W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły
F i wektora przesunięcia s
r
r
W = F o s = Fs cos α ,
gdzie α jest kątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, Ŝe kąt α moŜe
być róŜny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu
materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (np. cięŜar, tarcie). Ale nawet gdy
działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi poruszać się w kierunku jej działania np. siła
grawitacji w rzucie ukośnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład.
Przykład: Ciało o masie m ( na przykład sanki) jest ciągnięte po poziomej powierzchni
stałą siłą F (rysunek poniŜej), a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt α z poziomem. Praca
jaką wykonał człowiek ciągnący to ciało na drodze s jest zgodnie z równaniem (7.1) równa
Fscosα . ZauwaŜmy, Ŝe pracę wykonuje tylko składowa Fs = Fcosα styczna do przesunięcia
s. Natomiast składowa pionowa Fsinα działa w górę zmniejszając nacisk ciała na
powierzchnię.
Ciało o masie m ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F tworzącą kąt
α z poziomem.
13
Sławomir Winiarski
Praca moŜe przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy α < 90°, jak i ujemne gdy
α > 90°. W omawianym przykładzie, poza siłą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia
kinetycznego T (rysunek 7.1) przeciwstawiająca się ruchowi (α = 180°). Praca wykonana
przez siłę tarcia jest ujemna W = T⋅ s = Ts cos180° = -Ts. W szczególności praca moŜe być
równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia (α = 90°, cos90° =
0).
Przykładem moŜe być praca dla siły dośrodkowej. Przyspieszenie dośrodkowe jest
prostopadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje pracy. Rozpatrzmy jeszcze raz
powyŜ szy przykład ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało porusza się ze stałą
prędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, Ŝe wtedy Fwyp = 0. W kierunku poziomym
Fwyp = Fcosa − T = 0, zatem "dodatnia" praca wykonana przez człowieka jest równa co do
wartości bezwzględnej "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę tarcia.
2.5.2. Energia potencjalna
Przy podnoszeniu w górę (ze stałą prędkością) ciała o masie m na wysokość h zauwaŜmy,
Ŝe w trakcie podnoszenia ciała człowiek działa siłą F równą cięŜarowi ale przeciwnie
skierowaną, więc "dodatnia" praca W = mgh wykonana na drodze h przez siłę F (człowieka)
jest równa co do wartości "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę cięŜkości.
Ep=mgh.
(22)
Pracę tą nazywamy energią potencjalną Ep.
Poprzez związek energii potencjalnej z wysokością, moŜemy stwierdzić, Ŝe energia
potencjalna, to energia ciała na jakiejś wysokości.
2.5.3. Energia kinetyczna
Rozpatrzmy jeszcze raz ruch ciała pod wpływem stałej, niezrównowaŜonej siły F i
obliczmy pracę jaką wykonuje ona na drodze s. Stałość siły oznacza, Ŝe ruch odbywa się ze
stałym przyspieszeniem a. Zakładamy ponadto, Ŝe kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa
się z kierunkiem przesunięcia s. Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego moŜemy napisać:
at 2
2
v = v 0 + at
s = v0t +

v - v0

 a=
t

i
s=
v - v0
t
2
(23)
Wykonana praca jest zatem równa:
v - v0 v - v0
mv 2 mv 02
W = Fs = ma ⋅ s = m
t=
−
t
2
2
2
(24)
i jest równa przyrostowi tzw. energii kinetycznej: W = ∆Ek.
Energią kinetyczną Ek nazywamy połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości ciała
o masie m. Energia kinetyczna jest energią ciała w ruchu.
Ek =
mv 2
2
(25)
Z twierdzenia o pracy i energii wynika, Ŝe jednostki pracy i energii są takie same.
Jednostki: Jednostką pracy i energii jest w układzie SI dŜul (J); 1J = 1N·m. W fizyce
atomowej powszechnie uŜywa się jednostki elektronowolt (eV); 1eV = 1.6·10-19 J.
2.5.4. Moc
Z punktu widzenia zastosowań praktycznych często istotnym jest nie to ile energii moŜna
uzyskać ze źródła ale to jak szybko moŜna ją uzyskać (zamienić w uŜyteczną postać).
14
Sławomir Winiarski
Na przykład, waŜnym parametrem samochodu, istotnym przy wyprzedzaniu, jest to jak
szybko samochód przyspiesza tzn. jak szybko silnik wykonuje pracę związaną z
rozpędzaniem samochodu. Inny przykład to, gdy chcemy zlecić komuś pracę do wykonania.
Bierzemy wtedy pod uwagę nie tylko koszty ale i czas wykonania zlecenia (pracy).
Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w jakim
została ona wykonana (moc mechaniczna średnia).
Psr . =
∆W
∆t
(26)
Moc chwilowa określa natomiast szybkość wykonywania pracy, bo jest pochodną pracy
po czasie:
Pchw. =
dW
dt
(27)
Moc jest parametrem, który mierzy takŜe tempo przemiany (przekazywania) energii.
Praca obliczona dla stałej siły F przyjmuje dodatkową postać: P = W / t = F . s / t = F . v
P = F . v.
(28)
Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych
powszechnie stosowaną jednostką mocy jest kilowat (kW), a jednostką energii elektrycznej
(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).
2.5.5. Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, Ŝe dla ciała podlegającego działaniu siły
zachowawczej, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała.
Em = Ek + Ep = constans
(29)
Podaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała, ale ta zasada
jest bardziej ogólna i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. Układy
odosobnione to takie, na które nie działają siły zewnętrzne (spoza układu). W takich układach
suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez względu na
oddziaływania w nich zachodzące.
Siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą
rozpraszającą). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze "straconą" energią mechaniczną. Okazuje
się, Ŝe zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną U, która objawia się wzrostem
temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewnętrznej ∆U jest równa rozproszonej
energii mechanicznej.
Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii wewnętrznej
w układzie odosobnionym nie zmienia się. Mamy więc zasadę zachowania energii całkowitej.
Inaczej mówiąc energia moŜe być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie moŜe być
wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.
Ec = Ek + Ep + ∆U = constans.
(30)
2.6. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Bryła sztywna jest to wyidealizowany obiekt fizyczny, w którym odległości pomiędzy jego
punktami nie ulegają zmianie.
Jak wynika z naszego codziennego doświadczenia w ruchu obrotowym waŜna jest nie
tylko wartość siły, ale to gdzie i pod jakim kątem jest ona przyłoŜ ona. Na przykład, drzwi
najłatwiej jest otworzyć przykładając siłę na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym
do płaszczyzny drzwi. Siła przyłoŜona wzdłuŜ płaszczyzny drzwi jak i siła przyłoŜona w
miejscu zawiasów nie pozwalają na ich obrót.
15
Sławomir Winiarski
2.6.1. Moment siły
Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu
postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy, skręcający) Μ . JeŜeli siła F jest
przyłoŜona w pewnym punkcie to moment siły Μ względem tego punktu jest definiowany
jako:
r
r
r
M =r×F
(31)
gdzie wektor r reprezentuje połoŜenie punktu względem wybranego inercjalnego układu
odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której:
a) wartość wynosi:
M = r.F.sin(α) = R.F.
(32)
Wielkość R = r.sin(α) nazywamy ramieniem siły. (Z równania wynika, Ŝe tylko
składowa siły prostopadła do ramienia F⊥ = Fsinθ wpływa na moment siły.)
b) kierunek jest prostopadły do wektora wodzącego r i wektora siły F (tzn. do płaszczyzny
wyznaczonej przez r i F), a
c) zwrot określa reguła „śruby prawoskrętnej” (lub reguła „trzech palców”).
2.6.2. Moment pędu
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu.
Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako:
r
r
r
L=r×p
(33)
gdzie p jest pędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego połoŜenie względem
wybranego inercjalnego układu odniesienia. Sama wartość wektora L, z definicji iloczynu
wektorowego wynosi:
L = r.p.sin(α).
34
Istnieje bezpośrednia zaleŜność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. śeby ją
wyprowadzić zróŜniczkujmy obie strony równania:
(35)
PoniewaŜ wektory v oraz p są zawsze równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy
zeru. Otrzymujemy więc zaleŜność, która będzie inną postacią drugiej zasady dynamiki w
ruchu obrotowym:
r
r
dL
M=
dt
2.6.3.
(36)
Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego
a) Drugie prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
Wypadkowy moment siły działający na punkt materialny jest równy prędkości zmian
momentu pędu. (równanie wyŜej)
Jest to sformułowanie drugiej zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego. Równanie na M jest
analogiczne do odpowiedniego równania na F dla ruchu postępowego.
Analogicznie moŜemy sformułować pierwszą zasadę dynamiki ruchu obrotowego:
b) Pierwsze prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
16
Sławomir Winiarski
Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem obrotowym jednostajnym.
c) Trzecie prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
JeŜeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siły z jakim działa ciało drugie na ciało
pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z jakim ciało pierwsze działa
na drugie.
2.6.4. Zachowanie momentu pędu
Dla układu n cząstek moŜemy zsumować momenty sił działające na poszczególne punkty
materialne, otrzymując:
r
r
M wypadkowy =
dLwypadkowy
(37)
dt
JeŜeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub wypadkowy moment sił
zewnętrznych jest równy zeru) to całkowity moment pędu układu pozostaje stały:
gdy Mwypadkowy=0, to: L=constans.
(38)
2.6.5. Moment bezwładności
Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała sztywne.
Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową ω
wokół stałej osi obrotu w układzie środka masy. ZauwaŜmy, Ŝe chociaŜ wszystkie punkty
mają te samą prędkość kątową ω to punkty znajdujące się w róŜnych odległościach od osi
obrotu mają róŜną prędkość liniową v. Prędkość i -tego punktu o masie ∆mi wynosi vi = ri ω
gdzie ri jest odległością od osi obrotu.
Obliczamy teraz wartość momentu pędu L tego ciała:
(39)
Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako:
(40)
dla punktowego (tzw. dyskretnego) rozkładu masy, oraz dla rozkładu ciągłego:
(41)
Zwróćmy uwagę, Ŝe moment bezwładności (I) zaleŜy od masy oraz odległości do osi
obrotu i określa sposób rozmieszczenia masy względem osi obrotu dla obracającego się ciała.
MoŜemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności:
(42)
a poniewaŜ zgodnie z równaniem M = dL/dt = d(I ω)/dt = I ε
.
M = I . ε. ,
.
(43)
gdzie M jest momentem siły, ε – przyspieszeniem kątowym.
Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała:
(44)
17
Sławomir Winiarski
czyli:
(45)
Zestawmy teraz odpowiednie wielkości obliczone dla ruchu obrotowego z ich
odpowiednikami dla ruchu postępowego (tabela poniŜej).
Tabela 5. Zestawienie wielkości opisujących ruch postępowy i ruch obrotowy
Ruch postępowy
druga zasada dynamiki
pęd / moment pędu
inna postać drugiej zasady
dynamiki
energia kinetyczna
.
Ruch obrotowy
F=m a
M=I.ε
p = m .v
L=I.ω
r
r
dp
F=
dt
Ek =
mv 2
2
r
r
dL
M=
dt
Ek =
Iω 2
2
Z tego porównania widać, Ŝe moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do
masy m w ruchu postępowym. Zwróćmy uwagę, Ŝe w przeciwień stwie do masy moment
bezwładności zaleŜy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych
ciał sztywnych są podane w tabeli poniŜej:
Ciało
moment bezwładności I
Obręcz, pierścień o promieniu R, względem osi obręczy
MR2
KrąŜek, walec względem osi walca
½ MR2
Pręt o długości L, względem osi symetrii prostopadłej do pręta
1/12 ML2
Pełna kula o promieniu R, względem średnicy
2/5 MR2
Czasza kulista o promieniu R, względem średnicy
2/3 MR2
Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłuŜ yć się twierdzeniem
Steinera. Podaje ono zaleŜność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej
osi, a momentem bezwładności I0 tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek
masy (tzw. osi centralnej) i równoległej do pierwszej. Związek ten wyraŜa się zaleŜnością:
I = I 0 + Md 2
(46)
gdzie d jest odległością między osiami, a M jest masą obracającego się ciała.
2.6.6.
Ruch obrotowo-postępowy
W przeciwień stwie do ruchu obrotowego względem nieruchomej osi obrotu w przypadku
toczenia występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego spróbujemy opisać
toczenie jako złoŜenie ruchu postępowego i obrotowego. W tym celu prześledźmy ruch walca
o promieniu R pokazany na rysunku:
Rysunek 2. Toczenie (c) jako złoŜenie ruchu postępowego (a) i obrotowego (b).
18
Sławomir Winiarski
W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi
prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym wokół środka masy S, rysunek (b), przeciwległe
punkty poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c)
pokazano wynik złoŜenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).
Zwróćmy uwagę, Ŝe podstawa walca (punkt A styczności z podłoŜem) w kaŜdej chwili
spoczywa (prędkość chwilowa vA = 0). Natomiast prędkość liniowa punktów S i B jest
proporcjonalna do ich odległości od punktu A (punkt B w odległości 2R ma prędkość
dwukrotnie większą niŜ punkt S w odległości R). Jeszcze pełniej widać to na rysunku 11.6
gdzie narysowane są prędkości chwilowe kilku punktów na obwodzie toczącego się walca.
Rysunek 3. Toczenie się walca jako obrót wokół punktu A.
Widać, Ŝe prędkość kaŜdego z tych punktów jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z
podstawą A i proporcjonalna do odległości tego punktu od A. Takie zachowanie jest
charakterystyczne dla ciała wykonującego ruch obrotowy względem nieruchomej osi.
Oznacza to, Ŝe opisywany walec obraca się wokół punktu A, a co za tym idzie, Ŝe moŜemy
toczenie opisywać równieŜ wyłącznie jako ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej
przez punkt A styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.
W celu zilustrowania równowaŜności obu opisów obliczymy teraz energię kinetyczną
walca o masie m toczącego się z prędkością v. Najpierw potraktujemy toczenie jako złoŜenie
ruchu postępowego i obrotowego względem środka masy. Energię kinetyczną obliczamy jako
sumę energii ruchu postępowego i obrotowego:
(47)
Ruch ciała będący złoŜeniem ruchu postępowego środka masy i obrotowego względem osi
przechodzącej przez środek masy jest równowaŜny ruchowi obrotowemu wokół osi
przechodzącej przez punkt styczności ciała z powierzchnią, po której się ono toczy.
19
Sławomir Winiarski
3. MECHANIKA PŁYNÓW
Powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji,
która moŜe płynąć rozumiemy zarówno ciecze jak i gazy. Płyny, w odróŜnieniu od ciał
sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, łatwo zmieniają swój kształt, a w przypadku
gazów przyjmują objętość równą objętości naczynia. Mówimy, Ŝe płyny nie mają spręŜystości
kształtu, a mają spręŜystość objętości. Dlatego rozwiązanie zagadnień z mechaniki płynów
wymaga posługiwania się nowymi pojęciami takimi jak ciśnienie i gęstość.
3.1. CIŚNIENIE I GĘSTOŚĆ
RóŜnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe jest związana z tym, Ŝe
w cieczy siły występują tylko przy zmianie objętości, a nie jak w ciałach stałych przy ich
deformacji (zmianie kształtu). W związku z tym w cieczy siła powierzchniowa, zwana siłą
parcia, musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu podczas gdy w ciele stałym moŜe
mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie moŜe równowaŜ yć sił stycznych (warstwy
płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego moŜe zmieniać kształt i płynąć. W związku z tym
będziemy opisywać siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego
następująco:
Ciśnienie definiujemy jako: stosunek siły parcia (F) działającej na jednostkę powierzchni
do wielkości tej powierzchni (S).
p=
F parcia
S
(48)
Ciśnienie jest wywierane zarówno na ścianki naczynia jak i na dowolne przekroje płynów
zawsze prostopadle do tych ścianek i przekrojów.
Ciśnienie jest wielkością skalarną. Jednostką ciśnienia jest pascal (Pa); 1 Pa = 1 N/m2.
Inne stosowane jednostki to bar (1 bar = 105 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), milimetr
słupka rtęci (760 mm Hg = 1atm).
Do opisu płynów stosujemy równieŜ pojęcie gęstości ρ wyraŜonej jako:
masa
m
ρ=
=
(49)
objetosc V
Gęstość płynów zaleŜy od wielu czynników takich jak temperatura, czy ciśnienie. W
tablicy przedstawiony jest zakres gęstości spotykanych w przyrodzie:
Tabela 6. >Od najmniejszych do największych gęstości<.
Materiał
przestrzeń międzygwiezdna
najlepsza próŜnia laboratoryjna
powietrze (1 atm 0°C)
powietrze (50 atm 0°C)
drewno
Lód (0°C)
Woda destylowana
Woda morska
Ziemia: skorupa
Ziemia: rdzeń
Ziemia: wartość średnia
białe karły
jądro uranu
ρ [kg/m3]
10−18 - 10−21
10−17
1.3
6.5
600-900
917
998
1025
2800
9500
5520
108 - 1015
1017
20
Sławomir Winiarski
3.1.1. Ciśnienie hydrostatyczne
Równanie p = F/S opisywało ciśnienie wywierane przez płyn na powierzchnię, która go
ogranicza. MoŜemy takŜe mówić o ciśnieniu wewnętrznym płynu (tzw. ciśnienie
hydrostatyczne). W tym celu rozpatrzmy element płynu w kształcie cienkiego dysku
znajdującego się na głębokości h pod powierzchnią płynu pokazany na rysunku. Grubość
dysku wynosi dh, a powierzchnia podstawy wynosi S.
Rysunek 4. Siły działające na element cieczy znajdujący się na głębokości h.
Masa takiego elementu wynosi ρSdh a jego cięŜar ρgSdh. Pamiętajmy, Ŝe siły działające na
element są w kaŜdym punkcie prostopadłe do powierzchni. Siły poziome wywołane jedynie
przez ciśnienie płynu równowaŜą się. Siły pionowe są wywoływane nie tylko przez ciśnienie
płynu ale teŜ przez jego cięŜar. PoniewaŜ płyn jest nieruchomy więc wypadkowa siła
działająca na element płynu jest równa zeru.
Ciśnienie hydrostatyczne zmienia się z głębokością płynu. Powodem jest cięŜar warstwy
płynu leŜącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy róŜnicę ciśnień . Wielkość ρg
nazywamy cięŜarem właściwym płynu. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze są
praktycznie nieściśliwe) więc moŜemy obliczyć całkowite ciśnienie cieczy na głębokości h,
otrzymując (wzór na całkowite ciśnienie hydrostatyczne na głębokości h):
p cal.hydro. = p 0 + ρ wody ⋅ g ⋅ h
(50)
gdzie p0 jest ciśnieniem na powierzchni cieczy (h=0). Zazwyczaj jest to ciśnienie
atmosferyczne (przyjmuje się ciśnienie standardowe: p0=1013hPa) . Równanie powyŜ sze nie
tylko pokazuje, Ŝe ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale teŜ, Ŝe jest jednakowe dla punktów
o tej samej głębokości, a nie zaleŜy od kształtu naczynia (paradoks hydrostatyczny).
ZałoŜenie o stałej gęstości ρ nie jest jednak prawdziwe dla gazów gdy mamy do czynienia
ze znaczną róŜnicą wysokości (np. gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się
wtedy znacznie i zmienia się teŜ ρ.
3.1.2. Ciśnienie atmosferyczne.
Do obliczenia całkowitego ciśnienia atmosferycznego na wysokości h (ponad poziomem
morza) stosować moŜemy następujący wzór:
pcal.atmo. = p0 ⋅ exp( −C ⋅ h) ≅ p0 − ρ powietrza ⋅ g ⋅ h
(51)
gdzie: po jest ciśnieniem standardowym, natomiast C=0,116km-1 jest stałą. Eksponenta
exp(x), (lub ex) jest funkcją wykładniczą. Ze wzoru tego widzimy, Ŝe ciśnienie atmosferyczne
maleje wykładniczo wraz z wysokością i z dobrym przybliŜeniem (dla małych wysokości) da
się zastąpić funkcją liniową.
3.1.3. Prawo Pascala
Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na
kaŜdą część płynu oraz na ścianki naczynia. (rozchodzi się jednakowo we wszystkich
kierunkach przestrzeni)
21
Sławomir Winiarski
Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa.
3.1.4. Prawo Archimedesa
Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie to płyn ten
wywiera ciśnienie na kaŜdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała.
Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i nazywa się siłą wyporu (lub siłą
Archimedesa). Gdy przyjmiemy przykładowo, Ŝe w cieczy zostało zanurzone ciało w
kształcie walca o powierzchni podstawy równej S (tak jak na rysunku) to wypadkowa siła
działająca na to ciało jest związana z róŜnicą ciśnień na głębokościach h1 i h2 odpowiednio
nad i pod walcem.
Rysunek 5. Walec o powierzchni podstawy S zanurzony w płynie.
Siła działająca na walec jest równa cięŜarowi cieczy wypartej przez ten walec. ZauwaŜmy,
Ŝe ta siła nie zaleŜy od kształtu ciała, a tylko od jego objętości.
Podsumowując, prawo Archimedesa moŜna streścić zdaniem:
„Ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą (wyporu)
równą cięŜarowi wypartego przez to ciało płynu.” Siła wyporu natomiast zaleŜy od gęstości
płynu, oraz objętości części zanurzonej ciała:
Fwyporu = m plynu ⋅ g = ρ plynu ⋅ V zan. ⋅ g
(52)
gdzie mp jest masą płynu, ρp. jego gęstością, natomiast Vz jest objętością części zanurzonej
ciała.
Na kaŜde zanurzone w płynie ciało działają siła wyporu i siła cięŜkości. Dla ciała o masie
m i objętości V całkowicie zanurzonego w płynie wypadkowa tych dwóch sił wynosi
Fwypadkowa = Fwyporu − Fciezkosci = ρ plynuVg − ρ cialaVg = Vg ( ρ plynu − ρ ciala )
(53)
gdzie ρplynu jest gęstością płynu, a ρciala średnią gęstością ciała. Widzimy, Ŝe zwrot siły
wypadkowej zaleŜy od róŜnicy gęstości płynu i ciała.
Na przykład ciało zanurzone w cieczy o gęstości ρ < ρ1 tonie, a dla gęstości ρ > ρ1 pływa
częściowo zanurzone.
3.1.5. Ogólny opis przepływu płynów
Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu czyli zajmiemy się dynamiką płynów. Znane są
dwa podejścia do opisu ruchu płynu. MoŜemy albo zająć się opisem ruchu poszczególnych
cząsteczek płynu albo opisywać gęstość płynu i jego prędkość w kaŜdym punkcie przestrzeni
w funkcji czasu.
Na wstępie poznamy ogólne pojęcia charakteryzujące przepływ.
• Przepływ moŜe być ustalony (laminarny) lub nieustalony. Ruch płynu jest ustalony, gdy
prędkość płynu v w dowolnie wybranym punkcie jest stała w czasie tzn. kaŜda cząsteczka
przechodząca przez dany punkt zachowuje się tak samo. Warunki takie osiąga się przy
niskich prędkościach przepływu.
22
Sławomir Winiarski
• Przepływ moŜe być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy, gdy w Ŝadnym
punkcie cząsteczka nie ma wypadkowej prędkości kątowej.
• Przepływ moŜe być ściśliwy lub nieściśliwy. Przepływ jest nieściśliwy gdy gęstość płynu
jest stała. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy. RównieŜ przepływ gazu moŜe być
w pewnych warunkach nieściśliwy. Przykładem moŜe tu być ruch powietrza względem
skrzydeł samolotu podczas lotu z prędkością mniejszą od prędkości dźwięku.
• Przepływ moŜe być lepki lub nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest odpowiednikiem
tarcia w ruchu ciał stałych. Charakteryzuje opór płynów przeciw płynięciu pod działaniem
sił zewnętrznych. Lepkość jest istotną cechą wielu produktów na przykład smarów
ZałoŜenie: W naszych rozwaŜaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych,
bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich !!!
W przepływie ustalonym v jest stała w czasie w danym punkcie. Oznacza to, Ŝe kaŜda
cząstka przechodząca przez dowolny punkt ma taką samą prędkość np. v1. Tak samo jest w
kolejnym punkcie gdzie kaŜda cząstka ma prędkość v2. Dotyczy to wszystkich punktów.
Oznacza to, Ŝe wystarczy prześledzić tor jednej cząstki, a będziemy znali tor kaŜdej cząstki
przechodzącej przez dany punkt. Tor tej cząstki nazywamy linią prądu (rysunek). Linia prądu
jest równoległa do prędkości płynu. śadne linie prądu nie mogą się przecinać bo istniałaby
niejednoznaczność w wyborze drogi przez cząstkę (przepływ nie byłby ustalony).
JeŜeli wybierzemy pewną skoń czoną liczbę linii prądu to taką wiązkę nazywamy strugą
prądu. Brzegi składają się z linii prądu a poniewaŜ linie prądu są równoległe do prędkości
więc płyn nie przepływa przez brzegi strugi. Płyn wchodzący jednym koń cem strugi musi
opuścić ją drugim tak jak w rurce. Na rysunku poniŜej prędkość cząstek w punkcie P1 wynosi
v1, a pole przekroju strugi S1. W punkcie P2 mamy odpowiednio prędkość v2 i pole przekroju
S2.
W czasie ∆t cząstka płynu przebywa odległość równą v∆t. Masa płynu przechodzącego
, gdzie S1v1∆t stanowi objętość elementu płynu.
przez S1 w czasie ∆t wynosi:
Analogicznie masa płynu przepływającego przez powierzchnię S2 w czasie ∆t jest równa:
PoniewaŜ płyn jest nieściśliwy więc jego gęstość jest taka sama w punkcie P1 i P2. Ponadto
między tymi punktami płyn nie moŜe opuścić strugi więc strumienie mas przepływające przez
obie powierzchnie muszą być sobie równe. Zatem
lub
(54)
23
Sławomir Winiarski
Otrzymany związek nosi nazwę równania ciągłości (lub prawa przepływu strugi).
Wynika z niego między innymi, Ŝe
Prędkość płynu nieściśliwego przy ustalonym przepływie jest odwrotnie proporcjonalna do
pola przekroju strugi.
Linie prądu muszą się zagęszczać w węŜszej części a rozrzedzać w szerszej. To znaczy,
rzadko rozmieszczone linie oznaczają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto
obszary wysokiej prędkości płynu.
3.1.6.
Równanie Bernoulliego
RozwaŜmy, pokazany na rysunku, nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu w
strudze. Płyn na rysunku przemieszcza się w stronę prawą. W czasie ∆t powierzchnia S1
przemieszcza się o odcinek v1∆t. Analogicznie powierzchnia S2 przemieszcza się o odcinek
v2∆t. Na powierzchnię S1 działa siła F1 = p1S1, a na powierzchnię S2 siła F2 = p2S2.
Rysunek 6. Struga płynu (gazu lub cieczy) przepływa w taki sposób, Ŝe
zmienia się wysokość przepływu, oraz prędkość przepływu (bo zmienia się
średnica strugi). Musi mieć to oczywiście wpływ na zmianę ciśnienia, jakie
zmierzymy (tzw. ciśnienie punktowe), ale w przewidywalny sposób (por.
prawo Bernoulliego).
Dla tej strugi moŜna pokazać, Ŝe:
(55)
(56)
lub
Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i
nieściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. WyraŜa fakt, Ŝe z
przepływem płynu związane jest (oprócz ciśnienia statycznego i hydrostatycznego) ciśnienie
dynamiczne. Wynika z niego, Ŝe: suma trzech ciśnień: statycznego (teŜ punktowego),
hydrostatycznego (związanego z wysokością przepływu) i dynamicznego (związanego z
prędkością przepływu) nie zmienia się. Przepływ cieczy w strudze moŜe być wywołany
róŜnicą ciśnień na koń cach strugi lub róŜnicą poziomów tych koń ców.
3.1.7.
Dynamiczna siła nośna
W odróŜnieniu od statycznej siły nośnej, którą jest siła wyporu działającą zgodnie z
prawem Archimedesa na przykład na balon czy statek, dynamiczna siła nośna wywołana jest
ruchem ciał w płynie na przykład na skrzydła samolotu czy śmigła helikoptera.
24
Sławomir Winiarski
Rysunek 7. Przykład opływu powietrza ponad wybrane przeszkody.
Na rysunku poniŜej pokazane są schematycznie linie prądu i ruch cząstek powietrza wokół
skrzydła samolotu. Samolot wybieramy jako układ odniesienia i analizujemy ruch powietrza
względem skrzydła.
Rysunek 8. Powietrze przepływając przez skrzydło (o wypukłym ku górze
profilu i ustawionym pod kątem natarcia) jest kierowane nad jego górną
powierzchnię, dlatego pokonując dłuŜszą drogę musi pokonać ją szybciej
(v1>v2). Wraz ze wzrostem prędkości zwiększa się ciśnienie dynamiczne i
obniŜa ciśnienie punktowe (statyczne). W rezultacie powstaje siła nośna
chcąca wyrównać ciśnienia i unosząca skrzydło do góry.
Analizując linie prądu zauwaŜymy, Ŝe ze względu na ustawienie skrzydła (tak zwany kąt
natarcia) oraz jego asymetryczny profil (górna powierzchnia bardziej wypukła) linie prądu
nad skrzydłem są rozmieszczone gęściej niŜ pod skrzydłem co oznacza, Ŝe prędkość v1
powietrza ponad skrzydłem jest większa niŜ prędkość v2 pod skrzydłem. Widzimy, ponadto Ŝe
cząstki powietrza przelatujące nad skrzydłem pokonują, w tym samym czasie, dłuŜszą drogę
niŜ cząstki przelatujące pod skrzydłem co równieŜ oznacza, Ŝe mają większą prędkość.
Prowadzi to do wniosku, zgodnie z prawem Bernoulliego, Ŝe ciśnienie nad skrzydłem jest
mniejsze od ciśnienia pod skrzydłem i Ŝe otrzymujemy wypadkową siłę nośną F skierowaną
ku górze. Wniosek ten wynika równieŜ wprost z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Wektor
prędkości va powietrza zbliŜającego się do skrzydła jest poziomy podczas gdy powietrze za
skrzydłem jest skierowane na ukos w dół (prędkość vb ma składową pionową). Oznacza to, Ŝe
skrzydło pchnęło powietrze w dół więc w reakcji powietrze pchnęło skrzydło do góry.
W naszych rozwaŜaniach pominęliśmy siłę oporu powietrza tak zwaną siłę oporu
czołowego. W warunkach rzeczywistych siła nośna jest wypadkową przedstawionej powyŜ ej
siły parcia wynikającej z asymetrycznej budowy skrzydła i siły oporu czołowego. Przy
konstrukcji skrzydeł jak i śmigieł staramy się zminimalizować opór czołowy.
Ta sama siła oporu czołowego wpływa znacząco na zuŜycie paliwa w samochodach. Dlatego
tak wielką wagę konstruktorzy przywiązują do optymalizacji kształt nadwozia samochodów.
3.1.8. Siła oporów aerodynamicznych
Na kaŜde ciało poruszające się w płynie działa siła oporu czołowego skierowana
przeciwnie do wektora prędkości v.
25
Fop =
1
ρ ⋅ CS ⋅ v 2
2
Sławomir Winiarski
(57)
gdzie ρ jest gęstością płynu, C jest współczynnikiem kształtu, a S – powierzchnią efektywną
(czołową)
Powierzchnia czołowa S i współczynnik kształtu C moŜna dość łatwo wyznaczyć dla brył
o prostych kształtach (np. dla kuli o promieniu R mamy S= πR2 i C≈0,5). Jednak w przypadku
ciała człowieka wygodniej jest wyznaczyć doświadczalnie cały iloczyn C.S dla róŜnych
pozycji. PoniŜszy rysunek przedstawia wyniki takich pomiarów przeprowadzonych w tunelu
aerodynamicznym na osobie o długości ciała 1,8 m i masie 71,8 kg.
Przykład 1: siła oporu powietrza, którą musi pokonać sprinter.
V = 10 m/s
CS= 0,84m2
F= 0,5*!,3*102*0,84 = 54,6 [N]
Przykład 2: siła oporu wody, którą musi pokonać pływak.
V = 2 m/s
CS=O,11 m2
F=0,5*1000*22*0,11 = 220 [N]
4. FALA AKUSTYCZNA (DŹWIĘKOWA)
Dźwiękiem nazywamy falę mechaniczną przenoszoną przez drgania cząsteczek ośrodka
poprzez naprzemienne ich zagęszczanie i rozrzedzanie (fala ciśnień ). Dźwięki rozchodzą się
zarówno w ośrodkach gazowych, płynnych i stałych. Nie rozchodzą się natomiast w próŜni!
Parametry bezpośrednio charakteryzujące falę to jej prędkość propagacji (v), jej
częstotliwość (f), długość fali (λ) i amplituda (a) oraz natęŜenie (I). Dodatkowo fale dzieli się
na okresowe lub nieokresowe.
Jeśli fala jest okresowa to jej powierzchnia falowa (o tej samej fazie) porusza się jedna za
drugą w stałych odległościach wzajemnych. Odległość taką nazywa się długością fali, λ,
(zob. rysunek poniŜej) a okres, T, jest czasem przebycia jednej takiej długości fali:
T =
λ
(58)
v
Częstotliwością, f, natomiast określa się liczbę pełnych cykli fali do czasu wykonania tych
cykli albo odwrotność okresu (jeden cykl przez czas trwania tego cyklu):
n 1
=
(59)
t T
Łącząc dwa powyŜsze wzory moŜemy otrzymać wzór wiąŜący częstotliwość i długość fali
postaci:
f =
26
Sławomir Winiarski
1 v
=
(60)
T λ
Amplituda fali zdefiniowana została jako maksymalne wychylenie od wartości średniej.
Dla fali sinusoidalnej (rysunek) jest to połowa wychylenia pomiędzy jej kolejnymi
ekstremami (maksimum - minimum).
f =
λ
v
a
a
x
a
Rysunek 9. Propagacja okresowej fali sinusoidalnej z prędkością v w
kierunku x. λ jest długością fali, a – jej amplitudą
Ze względu na to, Ŝe dla ucha ludzkiego słyszalne są tylko dź więki z przedziału od ok.
20Hz do ok. 20kHz (20 000Hz) fale dźwiękowe dzielimy na trzy główne kategorie:
infradźwięki (poniŜej 20 Hz) dźwięki słyszalne i ultradźwięki (powyŜej 20kHz).
8
Ultradźwięki powyŜej 100MHz (10 Hz) nazywa się czasami hiperdźwiękami.
Infradźwięki są generowane przez źródła o duŜych rozmiarach (towarzyszą trzęsieniom
ziemi, wyładowaniom atmosferycznym, itp.). Infradźwięki są słabo tłumione w skorupie
ziemskiej i w wodzie i mogą się rozchodzić na znaczne odległości. Przy odpowiednim
poziomie ciśnienia akustycznego mogą oddziaływać powodując zaniepokojenie i nudności.
Ultradźwięki wytwarza i umie odbierać wiele zwierząt (psy, koty, delfiny, nietoperze),
występują jako składowe drgań wytwarzanych przez naturalne źródła (wichury, wodospady,
wyładowania atmosferyczne). Sztucznie, ultradźwięki generowane są najczęściej poprzez
elektryczne pobudzanie do drgań kryształu kwarcu (odwrotny efekt piezoelektryczny). Ze
względu na silną zaleŜność właściwości rozchodzenia się ultradźwięków w danym ośrodku od
jego budowy, słuŜą one do badania struktury róŜnych ciał, m.in. organizmów Ŝ ywych (tzw.
ultrasonografia). Zogniskowanych wiązek ultradźwięków uŜ ywa się do odrywania ciał stałych
z bardziej elastycznego podłoŜa (usuwanie kamienia nazębnego, rozbijanie kamieni
nerkowych, oczyszczanie powierzchni metali przed lutowaniem itd.). Energia drgań
ultradźwięków moŜe być teŜ wykorzystana do rozpylania aerozoli i emulsji, a nawet do
spawania!
4.1. NATĘśENIE I POZIOM NATĘśENIA DŹWIĘKU;
Poza widmem częstotliwości dźwięki charakteryzuje się podając jego natęŜenie (lub
poziom natęŜenia). NatęŜenie dźwięku (inaczej natęŜenie akustyczne) zdefiniowane jest jako
średnia moc dźwięku (P) (energia w jednostce czasu) przypadająca na jednostkę powierzchni
ustawionej prostopadle do kierunku ruchu fali, S┴ :
I=
E
P
=
t ⋅ S⊥ S⊥
(61)
2
2
Jednostką podstawową natęŜenia dźwięku jest W/m (wat na metr ).
Ze względu na ‘logarytmiczną’ charakterystykę ucha ludzkiego w akustyce stosuje się
wielkość podobną do natęŜenia dźwięku, tzw. poziom natęŜenia dźwięku, Λ (lambda).
-12
Zdefiniowany jest on jako stosunek danego dźwięku I do tzw. dźwięku odniesienia I0=10
2
W/m przyjętego za dźwięk porównawczy. Związek pomiędzy natęŜeniem i jego poziomem
jest następujący:
27

I
 I0
Λ = 10 ⋅ log 
Sławomir Winiarski




(62)
i podawany jest w decybelach (1dB=10 beli).
Rysunek 10. „Logarytmiczna” charakterystyka ucha ludzkiego. Człowiek
słyszy dźwięki z przedziału od ok. 20 Hz (0,02 kHz) do 20 kHz o
odpowiednim poziomie natęŜenia.
Głośność dźwięku charakteryzuje subiektywne odczuwanie natęŜenia dźwięku przez
człowieka (stanowi podstawę dla zróŜnicowań dynamiki, czyli siły brzmienia w utworze
muzycznym). Głośność zaleŜy od natęŜenia i częstotliwości dźwięku. Przy stałym natęŜeniu
jako najgłośniejsze odbierane są dźwięki o częstotliwości 3-4 kHz, zaś jako najmniej głośne
dźwięki o częstotliwości poniŜej 100 Hz oraz powyŜej 10000 Hz (por. rysunek powyŜ ej).
4.2. ZAŁAMANIE I ODBICIE FALI DŹWIĘKOWEJ
Prędkość rozchodzenia się fali akustycznej w danym ośrodku zaleŜy od własności tego
ośrodka. Prędkości dźwięków w róŜnych ośrodkach zestawione zostały w tabeli poniŜej:
Tabela 7. Zestawienie prędkości fali dźwiękowej w róŜnych ośrodkach.
Prędkość [m/s]
Ośrodek
o
powietrze (w 0 C)
powietrze (w 20 oC)
woda (5 oC)
woda (15 oC)
lód
tkanka tłuszczowa
tkanka mięśniowa
tkanka kostna
szkło
stal
331
343
1400
1450
3230
1480
1570
3360
5100-5640
5800
Podczas zmiany ośrodka zmieniają się warunki propagacji fali, zmienia się takŜe prędkość
tej fali. Sytuacji tej towarzyszy efekt odbicia i załamania fali.
Wyobraźmy sobie, Ŝe na granicę dwóch ośrodków pada fala akustyczna z prędkością v1
(rysunek).
28
v1
Sławomir Winiarski
v1
α α
ośrodek 1
ośrodek 2
β
v2
Pewna część tej fali ulegnie odbiciu od granicy ośrodków (przy czym kąt odbicia jest
równy kątowi padania), natomiast część wiązki padającej ulegnie załamaniu (ugięciu) i
wniknie do ośrodka drugiego.
Dla fali załamanej spełnione jest prawo załamania (prawo Snelliusa2)
n2 /1 =
sin α v1
=
,
sin β v 2
(63)
które mówi, Ŝe: stosunek sinusa kąta padania (α) do sinusa kąta załamania (β) równy jest
stosunkowi prędkości fali w tych ośrodkach.
Stosunek sinusów tych kątów (lub analogicznie stosunek prędkości w ośrodkach)
wyznacza tzw. współczynnik załamania ośrodka drugiego względem pierwszego (ozn. n2/1)
ZauwaŜmy, Ŝe moŜliwe są dwie sytuacje:
a) jeśli fala dźwiękowa pada z ośrodka szybkiego do wolnego (tzn. v1>v2, np. ze szkła do
powietrza), to z prawa załamania otrzymujemy, Ŝe (sinα/sinβ)>1, czyli α>β. Jest to
sytuacja przedstawiona na rysunku powyŜej;
b) jeśli fala dźwiękowa pada z ośrodka wolnego do szybkiego (tzn. v1<v2, np. z
powietrza do szkła), to z prawa załamania otrzymujemy, Ŝe (sinα/sinβ)<1, czyli α<β.
Jest to sytuacja, która wymaga osobnego przeanalizowania;
Sytuacja b): ZałóŜmy, Ŝe fala dźwiękowa przechodzi z ośrodka wolnego do szybkiego (tzn.
v1<v2). Przeanalizujemy teraz co będzie się działo z promieniem załamanym, podczas
zwiększania kąta padania (rysunek).
α gr
ośrodek 1
ośrodek 2
β
Na początku (linia ciągła) wiemy, Ŝe kąt załamania β>α. Dalsze zwiększanie kąta padania
(linia kreskowana) spowoduje, Ŝe kąt załamania zwiększy się jeszcze bardziej. ZauwaŜmy, Ŝe
dalsze zwiększanie kąta padania doprowadzi do sytuacji takiej, Ŝe kąt załamany będzie równy
90o, czyli fala dźwiękowa nie wniknie juŜ do ośrodka drugiego.
2
Snell (Snellius) Willebrord van Roijen (1591–1626) holenderski astronom i matematyk
29
Sławomir Winiarski
Kąt padania, dla którego kąt załamania jest prosty nosi nazwę kąta granicznego (αgr.) i
został zaznaczony na rysunku. Propagację fali pod kątem większym od kąta granicznego
nazywa się całkowitym wewnętrznym odbiciem (c.w.o.).
Warunkiem zaistnienia c.w.o. jest zatem, aby fala przechodziła z ośrodka wolnego (o
mniejszej gęstości) do szybkiego (o większej gęstości) tzn.: v1<v2 lub v1/v2<1. ZauwaŜmy,
Ŝe dla padania pod kątem granicznym α=αgr. z prawa załamania otrzymamy:
n2 / 1 =
sin α sin α gr.
=
= sin α gr.
sin β
sin 90 o
(64)
4.3. ZJAWISKO DOPPLERA
Z efektem Dopplera3 mamy do czynienia, gdy źródło fali dźwiękowej lub jego odbiornik
poruszają się względem siebie. Obserwuje się wtedy rozbieŜność pomiędzy częstotliwością
wysłanego dźwięku a jego wartością zarejestrowaną.
W ogólnym przypadku, gdy nadajnik (źródło) zbliŜa się z prędkością vn do odbiornika
zbliŜającego się z prędkością vo, jeśli przez fn oznaczymy częstotliwość fali nadanej, to
częstotliwość fali odebranej (fo) moŜna obliczyć ze wzoru:
fo = fn ⋅
v + vo
,
v − vn
(65)
gdzie v jest prędkością dźwięku w ośrodku (najczęściej w powietrzu).
Uwaga 1: Wzór ten dotyczy sytuacji, gdy źródło i odbiornik poruszają się w tym samym
kierunku (po tej samej prostej).
Uwaga 2: Gdyby nadajnik lub odbiornik oddalały się od siebie naleŜy zmienić znak
wartości jego prędkości w powyŜ szym wzorze.
5. TERMODYNAMIKA
Termodynamika zajmuje się właściwościami cieplnymi i przemianami energetycznymi
układów makroskopowych, zaniedbując (w odróŜnieniu od mechaniki statystycznej)
mikroskopową budowę ciał tworzących układ. Gdybyśmy chcieli ściśle określić stan fizyczny
układu zawierającego ogromną liczbę cząsteczek, na przykład porcji gazu, to musielibyśmy
znać stan kaŜdej cząsteczki oddzielnie to znaczy musielibyśmy podać połoŜenie kaŜdej
cząsteczki, jej prędkość oraz siły nań działające. Takie obliczenia ze względu na duŜą liczbę
cząsteczek są niemoŜliwe. Okazuje się jednak, Ŝe posługując się metodami statystycznymi
(rachunkiem prawdopodobień stwa) moŜemy znaleźć związki między wielkościami
mikroskopowymi
(dotyczącymi
poszczególnych
cząsteczek),
a
wielkościami
makroskopowymi opisującymi cały układ.
Chcąc opisać gaz jako całość moŜemy więc badać jedynie wielkości makroskopowe takie
jak ciśnienie, temperatura czy objętość bez wdawania się w zachowanie poszczególnych
cząsteczek.
5.1. GAZ DOSKONAŁY
Rozpocznijmy nasze rozwaŜania od definicji wyidealizowanego gazu doskonałego.
Zrobimy to podając następujące załoŜenia dotyczące cząsteczek gazów:
3
Doppler, Christian Johann (1803–1853) austriacki fizyk
30
Sławomir Winiarski
Cząsteczki gazu doskonałego traktujemy jako: punkty materialne (objętość cząsteczek
gazu jest o wiele mniejsza niŜ objętość zajmowana przez gaz i dlatego z dobrym
przybliŜeniem przyjmujemy, Ŝe ich objętość jest równa zeru); W gazie doskonałym zderzenia
z innymi cząsteczkami oraz ze ściankami naczynia są spręŜyste i dlatego całkowita energia
cząsteczek jest równa ich energii kinetycznej; energia potencjalna jest stale równa zeru (nie
ma przyciągania ani odpychania pomiędzy cząsteczkami).
5.2. TEMPERATURA, RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO
5.2.1.
Zerowa zasada termodynamiki
Potocznie temperaturę rozumiemy jako miarę ciepłoty układu. Za pomocą dotyku,
moŜemy np. stwierdzić, które z dwóch ciał jest cieplejsze. Mówimy o nim, Ŝe ma wyŜszą
temperaturę. MoŜemy równieŜ stwierdzić, Ŝe gdy dwa ciała o róŜnych temperaturach
zetkniemy ze sobą (i odizolujemy od innych) to po dostatecznie długim czasie ich
temperatury wyrównają się. Mówimy wtedy, Ŝe te ciała są w równowadze termicznej ze
sobą. Formułujemy teraz postulat nazywany zerowa zasadą termodynamiki:
„JeŜeli ciała 1 i 3 są w równowadze termicznej, a takŜe ciała 2 i 3 są w równowadze
termicznej to ciała 1 i 2 są w tej samej równowadze termicznej”
Jako kryterium równowagi cieplnej między ciałami wprowadzamy pojęcie temperatury.
Umawiamy się, Ŝe układom fizycznym, które mogą być jednocześnie ze sobą w stanie
równowagi cieplnej, przypisujemy tę samą temperaturę.
5.2.2.
Kinetyczna interpretacja temperatury
Teraz gdy zapoznaliśmy się z pojęciem temperatury poznamy jej definicję na gruncie teorii
kinetycznej, czyli przy podejściu mikroskopowym.
Temperaturę bezwzględną definiujmy jako wielkość wprost proporcjonalną do średniej energii
kinetycznej cząsteczek.
(66)
Czynnik (2/3k) jest współczynnikiem proporcjonalności. Wartość stałej k, zwanej stałą
Boltzmana, wynosi k = 1.38·10−23 J/K. Z tej definicji wynika, Ŝe średnie energie kinetyczne
ruchu postępowego (na cząsteczkę) dla dwu kontaktujących się gazów są równe.
5.2.3.
Równanie stanu gazu doskonałego
Równanie stanu gazu doskonałego (Clapeyrona4) jest postaci :
(67)
PoniewaŜ przy opisie własności gazów wygodnie jest posługiwać się liczbą moli n to
równanie stanu gazu często przedstawia się w postaci poniŜszej:
(68)
gdzie stała R = 8.314·J/mol K jest uniwersalną stałą gazową związaną ze stałą Boltzmana i
liczbą Avogadra NAv relacją R = kNAv . Stała Avogadra NAv = 6.023·1023 1/mol, określa liczbę
cząsteczek w jednym molu.
Przypomnijmy, Ŝe 1 mol jest ilością materii układu zawierającego liczbę cząsteczek równą
liczbie atomów zawartych w 0.012 kg węgla 12C (równą NAv).
4
Benoit Pierre Clapeyron [czyt. Klaperą] (1799–1864);
31
Sławomir Winiarski
Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyrona
na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcześniej przez innych badaczy:
•
prawa Boyle'a-Mariotte'a, które stwierdza, Ŝe w stałej temperaturze iloczyn ciśnienia i objętości
danej masy gazu jest stały pV = const. (przemiana izotermiczna);
•
prawa Charlesa, które mówi, Ŝe przy stałej objętości gazu stosunek ciśnienia i temperatury
danej masy gazu jest stały p/T = const.(przemiana izochoryczna);
•
prawa Gay-Lussaca, które stwierdza, Ŝe dla stałego ciśnienia stosunek objętości do
temperatury danej masy gazu jest stały V/T = const (przemiana izobaryczna);
Clapeyron podsumował te wyniki podając ogólną zaleŜność:
(69)
zgodną z równaniem stanu dla gazu doskonałego mówiące, Ŝe: iloczyn ciśnienia i objętości i
podzielny przez temperaturę nie zmienia się podczas przemiany termodynamicznej gazu
doskonałego. Równanie to opisuje równieŜ z dobrym przybliŜeniem rozrzedzone gazy
rzeczywiste (w tym powietrze).
5.2.4.
Pomiar temperatury, skale temperatur
śeby wyznaczyć temperatur ę na podstawie definicji musielibyśmy wyznaczyć energię
kinetyczną cząsteczek gazu co jest bardzo trudne. Ale moŜemy się posłuŜ yć równaniem stanu
gazu doskonałego. Łatwo bowiem jest zmierzyć iloczyn pV na przykład dla gazu pod stałym
ciśnieniem lub przy stałej objętości. Termometr gazowy słuŜ ył przez wiele lat jako wzorzec
temperatury. Za jego pomocą określono doświadczalnie punkty odniesienia, takie jak na
przykład punkt wrzenia wody, dla praktycznych pomiarów temperatur. W praktyce w
powszechnym uŜyciu jest skala Celsjusza. W tej skali temperatura równowagi wody i lodu
wynosi 0° C, a temperatura równowagi wody i pary wodnej wynosi 100° C. Natomiast w
fizyce stosujemy bezwzględną termodynamiczną skalę temperatur nazywaną skalą Kelvina5.
Jednostką temperatury bezwzględnej jest kelwin (K). PoniewaŜ w obu skalach Kelvina i
Celsjusza róŜnica pomiędzy temperaturą zamarzania i wrzenia wody wynosi 100 stopni więc
wielkość stopnia jest taka sama w obu skalach.
Między temperaturą w skali Celsjusza tC a temperaturą w skali bezwzględnej T zachodzi
związek:
(70)
5.3. EKWIPARTYCJA ENERGII
Wiemy juŜ, Ŝe w równowadze termodynamicznej średnie energie kinetyczne ruchu
postępowego wszystkich cząsteczek są równe. Powstaje pytanie czy cząsteczka moŜe
gromadzić energię w innej postaci niŜ energia ruchu postępowego?
Odpowiedź jest twierdząca: jeŜeli tylko cząsteczka nie ma kształtu kulki (cząsteczka
jednoatomowa), a ma pewną strukturę wewnętrzną to moŜe wirować i drgać. Przykładowo,
dwuatomowa cząsteczka w kształcie hantli (rysunek) będzie się obracać po zderzeniu z inną
cząsteczką.
5
Thomson William, lord Kelvin (1824–1907)
32
Sławomir Winiarski
Dwuatomowa cząstka w kształcie hantli o dwóch rotacyjnych stopniach swobody.
Na podstawie mechaniki statystycznej moŜna pokazać, Ŝe gdy liczba punktów
materialnych jest bardzo duŜa i obowiązuje mechanika Newtonowska to:
Dostępna energia rozkłada się w równych porcjach na wszystkie niezaleŜne sposoby, w jakie
cząsteczka moŜe ją absorbować.
Twierdzenie to nosi nazwę zasady ekwipartycji energii.
KaŜdy z tych sposobów absorpcji energii nazywa się stopniem swobody i jest równy
liczbie niezaleŜnych współrzędnych potrzebnych do określenie połoŜenia ciała w przestrzeni.
MoŜemy więc zasadę ekwipartycji energii wyrazić innymi słowami:
Średnia energia kinetyczna na kaŜdy stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek.
(71)
Odpowiada to trzem stopniom swobody poniewaŜ potrzebujemy trzech współrzędnych (x,
y, z) do określenia połoŜenia środka masy cząsteczki. Stąd średnia energia przypadająca na
jeden stopień swobody wynosi ½kT na cząsteczkę.
Dla cząsteczek obracających się potrzeba dodatkowych współrzędnych do opisania ich
obrotu więc mamy dodatkowe stopnie swobody. O ile dla N cząsteczek nie obracających się
całkowita energia wewnętrzna U jest energią kinetyczną ruchu postępowego
(72)
to dla cząstek wieloatomowych, które mogą obracać się swobodnie we wszystkich trzech
kierunkach (wokół osi x, y, z)
(73)
Natomiast dla cząstki dwuatomowej (hantli pokazanej na rysunku)
(74)
W tym przypadku mamy tylko dwa rotacyjne stopnie swobody bo moment bezwładności
względem osi hantli (oś x) jest znikomo mały.
Zwróćmy uwagę, Ŝe mówimy tu o energii "ukrytej" (wewnętrznej) cząstek, a nie o energii
makroskopowej (związanej z przemieszczaniem masy). O energii wewnętrznej mówiliśmy
przy zasadzie zachowania energii (energia indywidualnych cząstek nie zawarta w energii
kinetycznej czy potencjalnej ciała jako całości). Energię wewnętrzną oznacza się zazwyczaj
przez U i takie oznaczenie będziemy dalej stosować.
5.4. PIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI
33
Sławomir Winiarski
W mechanice rozwaŜaliśmy zmiany energii mechanicznej układu będące wynikiem pracy
wykonanej przez siły zewnętrzne. W przemianach termodynamicznych moŜliwy jest inny (nie
mechaniczny) sposób przekazywania energii. Gdy dwa układy o róŜnych temperaturach
zetkniemy ze sobą to ciepło Q przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego.
Zgodnie z zasadą zachowania energii:
„Energia wewnętrzna układu ∆U (suma energii kinetycznej i potencjalnej atomów i
cząsteczek) moŜe być zmieniana tylko poprzez wykonywanie pracy W przez układ (lub nad
układem) lub poprzez pobranie (lub oddanie) ciepła Q”
∆U = W + Q
(75)
Jest to sformułowanie pierwszej zasady termodynamiki. W tym zapisie mamy rozdzieloną
energię ciała na część makroskopową (energię mechaniczną) i mikroskopową (energia
wewnętrzną). Widzimy, Ŝe zmiana energii wewnętrznej związana jest z ciepłem pobieranym
(Q>0) lub oddawanym (Q<0) przez układ oraz z pracą wykonaną przez układ (W<0) lub nad
układem (W>0).
Pamiętamy, Ŝe w mechanice praca sił zachowawczych wykonana nad punktem
materialnym poruszającym się między dwoma punktami zaleŜała tylko od tych punktów, a nie
od łączącej je drogi. W termodynamice stwierdzamy, Ŝe :
Zmiana energii wewnętrznej układu, przy przejściu pomiędzy dwoma stanami, zaleŜy
wyłącznie od tego jaki jest stan początkowy i końcowy przejścia.
Oznacza to, Ŝe chociaŜ Q i W z osobna zaleŜą od drogi przejścia to U ma określoną
wartość niezaleŜną od sposobu przejścia układu do stanu koń cowego. Taką wielkość fizyczną
(funkcję tego typu), która charakteryzuje stan układu, i której wartości nie zaleŜą od sposobu
w jaki układ został do danego stanu doprowadzony nazywamy funkcją stanu.
5.5. CIEPŁO WŁAŚCIWE
Ciepło właściwe substancji definiujemy jako:
∆Q
(76)
m ⋅ ∆T
czyli ilość ciepła, którą trzeba dostarczyć do jednostki masy, Ŝeby spowodować jednostkową
zmianę jej temperatury.
Gdy masę wyraŜamy w kilogramach to mówimy o cieple właściwym wagowym, a gdy
wyraŜamy ją w molach to mamy do czynienia z molowym ciepłem właściwym.
cw =
5.6. BILANS CIEPLNY
Energie cieplną (Ciepło) przepływającą w momencie zmiany temperatury określa związek:
(
)
Q = m ⋅ cw ⋅ Tk − T p = m ⋅ c w ⋅ ∆T
(77)
gdzie: m – masa, cw – ciepło właściwe, ∆T – róŜnica temperatur (koń cowa - początkowa).
Qpf = ± m.L
(78)
gdzie: m – masa, L – ciepło przemiany fazowej na kg masy ciała i określa ilość ciepła
(pobranego lub oddanego) potrzebnego na przeprowadzenie określonej przemiany fazowej.
Uwaga: Umowa: ciepło pobrane „+”, ciepło oddane „–”
Ciepło przemiany fazowej – Qpf:
34
Sławomir Winiarski
5.7. ZASADA BILANSU CIEPLNEGO:
Dla układu zamkniętego (bezstratnego, izolowanego adiabatycznie) całkowita suma ilości
ciepła przekazanego przez ciała jest równa zero:
Q1 + Q2 + ... + Qn = 0
(79)
Q1 + Q2 + ... + Qn = ∆E
(80)
a dla układu otwartego:
gdzie: ∆E jest sumą strat (∆E<0) lub zysków (∆E>0) energetycznych z otoczenia.
5.8. PROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE, CYKL CARNOTA
Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego spręŜania gazu. W pierwszym, tłok
przesuwamy bardzo szybko i czekamy aŜ ustali się równowaga z otoczeniem. W czasie
takiego procesu ciśnienie i temperatura gazu nie są dobrze określone bo nie są jednakowe w
całej objętości.
W drugim tłok przesuwamy bardzo powoli tak, Ŝe ciśnienie i temperatura gazu są w kaŜdej
chwili dobrze określone. PoniewaŜ zmiana jest niewielka to gaz szybko osiąga nowy stan
równowagi. MoŜemy złoŜ yć cały proces z ciągu takich małych przesunięć tłoka i wtedy
podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. JeŜeli będziemy zmniejszać nasze
zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym wszystkie stany pośrednie
(pomiędzy początkowym i koń cowym) są stanami równowagi.
Pierwszy proces nazywamy procesem nieodwracalnym, a proces drugi procesem
odwracalnym.
Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomocą bardzo małej zmiany otoczenia moŜna wywołać
proces odwrotny do niego tzn. przebiegający po tej samej drodze w przeciwnym kierunku bez zmian w
otoczeniu.
Przykładem cyklu odwracalnego jest cykl Carnota. Jest to bardzo waŜny cykl odwracalny
poniewaŜ wyznacza granicę naszych moŜliwości zamiany ciepła na pracę.
Pewna ilość ciepła Q została zamieniona na pracę W. MoŜemy powtarzać ten cykl
uzyskując potrzebną ilość pracy. Takie urządzenie nazywamy silnikiem cieplnym.
Sprawność η silnika cieplnego definiujemy jako:
(81)
Część pobranego ciepła Q1 jest w silniku zamieniana na pracę W, a część oddawana jako
ciepło Q2. Sprawność termodynamiczną określa się takŜe jako: stosunek pracy wykonanej
(W) przez dany układ do całkowitej energii cieplnej (Q) zuŜytej przezeń do jej wykonania i
podaje w procentach:
praca wykonana W
η=
=
⋅100%
(82)
cieplo pobrane
Q
5.9. ENTROPIA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
Zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, Ŝe w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego część
pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o niŜszej temperaturze i w konsekwencji ta
ilość ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy moŜna skonstruować
urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pracę? Moglibyśmy
wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskoń czone) ilości ciepła
zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowanie słoneczne.
35
Sławomir Winiarski
Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie
termodynamiki. PoniŜej podane zostały równowaŜne sformułowania tej zasady
NiemoŜliwa jest przemiana, której jedynym wynikiem byłaby zamiana na pracę ciepła
pobranego ze źródła mającego wszędzie jednakową temperaturę.
Oznacza to, Ŝe nie moŜemy zbudować doskonałego silnika cieplnego, bo nie moŜemy
wytwarzać pracy pobierając jedynie ciepło z jednego zbiornika bez oddawania pewnej ilości
ciepła do zbiornika zimniejszego.
śadna cyklicznie pracująca maszyna nie moŜe bez zmian w otoczeniu przenosić w sposób
ciągły ciepła z jednego ciała do drugiego o wyŜszej temperaturze.
Wiemy, z doświadczenia, Ŝe ciepło przepływa od ciała cieplejszego do ciała zimniejszego.
śeby zmienić ten kierunek musi zostać wykonana praca przez czynnik zewnętrzny. Nie moŜna
więc zbudować doskonałej maszyny chłodzącej, która bez dodatkowych efektów
(wydatkowania pracy z zewnątrz) przenosiłaby w sposób ciągły ciepło z ciała zimniejszego
do cieplejszego.
śadna cykliczna maszyna cieplna pracująca pomiędzy temperaturami T1 i T2 nie moŜe
mieć sprawności większej niŜ (T1 − T2)/T1.
Oznacza to, Ŝe Ŝadna maszyna cieplna nie moŜe mieć sprawności większej od sprawności
silnika Carnota.
5.10. ENTROPIA
Zerowa zasada termodynamiki wiąŜe się z pojęciem temperatury. Pierwsza zasada
termodynamiki wiąŜe się z pojęciem energii wewnętrznej. Natomiast drugą zasadę
termodynamiki wiąŜemy z pojęciem entropii.
Druga zasada termodynamiki mówi, Ŝe:
W układzie zamkniętym entropia S nie moŜe maleć.
dS ≥ 0.
(83)
Entropia S jest termodynamiczna funkcją stanu, zaleŜy tylko od początkowego i
koń cowego stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami. Entropia jest
funkcją określoną dla stanu równowagi, taką Ŝe dla procesu odwracalnego:
dQ
(84)
dS =
T
gdzie dQ jest ciepłem dostarczanym do układu w procesie odwracalnym.
Z tego punktu widzenia szczególnie interesujące są procesy adiabatyczne nie związane z
przepływem ciepła pomiędzy układem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym dQ = 0, więc
dla procesu odwracalnego dS = 0. Oznacza to, Ŝe:
Entropia układu izolowanego adiabatycznie, w którym zachodzą procesy odwracalne, jest
stała. Jednocześnie moŜna pokazać, Ŝe dla procesu adiabatycznego nieodwracalnego,
entropia układu rośnie.
MoŜna uogólnić zasadę wzrostu entropii na układy nieizolowane adiabatycznie to znaczy
takie, które wymieniają ciepło z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz układ i otoczenie razem
jako jeden "większy" układ ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy
(85)
36
Sławomir Winiarski
gdzie dSo jest zmianą entropii otoczenia. Zmienia się więc entropia naszego układu i
otoczenia. JeŜeli proces jest odwracalny to podczas przenoszenia ciepła dQ z otoczenia do
naszego układu entropia otoczenia maleje o dQ/T, a entropia układu rośnie o tę samą wartość
dQ/T, więc całkowita zmiana entropii jest równa zeru.
Zatem posługując się entropią (zgodnie z drugą zasadą termodynamiki) moŜemy
stwierdzić czy dany proces moŜe zachodzić w przyrodzie.
5.10.1.
Entropia a nieuporządkowanie
Entropię układu moŜna opisać na gruncie mechaniki statystycznej. W takim podejściu
entropia jest miarą nieuporządkowania układu cząstek. Zgodnie z drugą zasadą
termodynamiki dla procesów zachodzących w przyrodzie entropia układu (wraz z
otoczeniem) rośnie to znaczy, Ŝe rośnie równieŜ nieuporządkowanie (układu wraz z
otoczeniem). Oznacza to, Ŝe im większy jest stan nieporządku (połoŜeń i prędkości cząstek) w
układzie tym większe jest prawdopodobień stwo, Ŝe układ będzie w tym stanie.
Z definicji entropia układu jest równa:
(86)
gdzie, k jest stałą Boltzmana, a w –prawdopodobień stwem, Ŝe układ znajdzie się w danym
stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów).
Podsumowując, w ujęciu termodynamicznym stan równowagi odpowiada stanowi o
największej entropii, a w ujęciu statystycznym jest stanem najbardziej prawdopodobnym.
5.11. STANY RÓWNOWAGI, ZJAWISKA TRANSPORTU
5.11.1.
Stany równowagi fazowej
W dotychczasowych naszych rozwaŜaniach posługiwaliśmy się pojęciem stanu
równowagi układu, czyli stanu, w którym Ŝaden z parametrów potrzebnych do
makroskopowego opisu układu nie zaleŜy od czasu. Zajmowaliśmy się procesami, które
zaczynały się jednym stanem równowagi, a koń czyły innym stanem równowagi.
Dla układu jednorodnego (przykładowo gazu) w stanie równowagi do jego opisu wystarcza
znajomość dwu podstawowych parametrów stanu na przykład ciśnienia i objętości. Opis
komplikuje się gdy mamy układ niejednorodny na przykład ciecz w równowadze z parą. Dla
danej temperatury stan równowagi tego układu jest moŜliwy przy róŜnych objętościach
układu (od objętości zaleŜy ilość fazy ciekłej i gazowej). Natomiast temperatura i ciśnienie
przestają być niezaleŜne. W kaŜdej temperaturze równowaga jest moŜliwa tylko przy
określonym ciśnieniu (pary nasyconej). Przy wyŜszym istnieje tylko ciecz, przy niŜszym para.
Podobnie ciecz i ciało stałe mogą istnieć w równowadze tylko w temperaturze topnienia,
która jest funkcją ciśnienia. Wreszcie ciało stałe współistnieje w równowadze z parą
nasyconą, której ciśnienie jest funkcją temperatury. Krzywe równowagi pokazane na rysunku:
Krzywe równowagi fazowej dla układu niejednorodnego. Obszar I - ciało
stałe, obszar II - ciecz, obszar III - gaz
37
Sławomir Winiarski
Literą a oznaczona jest krzywa równowagi ciało stałe - ciecz (związek temperatury
topnienia z ciśnieniem). Krzywa a' przedstawia tę zaleŜność dla kilku nietypowych substancji,
które przy topnieniu zmniejszają objętość na przykład dla lodu. Krzywa b + b' pokazuje
zaleŜność ciśnienia pary nasyconej od temperatury. Odcinek b' to krzywa równowagi ciało
stałe - para, a odcinek b to krzywa równowagi ciecz - para. Krzywa równowagi ciecz - para
koń czy się w punkcie krytycznym K. Dla temperatury wyŜszej od temperatury punktu
krytycznego K zanika róŜnica pomiędzy fazą ciekłą i gazową. Dlatego warunkiem skroplenia
gazu jest ochłodzenie go poniŜej jego temperatury krytycznej.
Punkt P, w którym łączą się krzywe nazywamy punktem potrójnym. W tym punkcie
mogą znajdować się w równowadze wszystkie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to
ciśnieniu p = 610.6 Pa i T = 273.16 K (0.01 °C).
5.11.2.
Zjawiska transportu
Znajomość dochodzenie układów do stanów równowagi jest równie waŜna jak znajomość
ich własności w stanach równowagi, a kaŜdy układ pozostawiony samemu sobie przez
dostatecznie długi czas dochodzi do stanu równowagi.
Teraz zapoznamy się z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodzą gdy układy
dąŜą do stanów równowagi. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem
(transportem) materii, energii, pędu lub ładunku elektrycznego. Wszystkie te zjawiska
transportu opisujemy w pierwszym przybliŜeniu za pomocą takiego samego równania
róŜniczkowego, które przedstawia propagację (rozprzestrzenianie się) pewnej wielkości
fizycznej j mającą na celu osiągnięcie równowagi
(87)
W tym równaniu j jest gęstością strumienia wielkości fizycznej ϕ, a K jest stałą
charakteryzującą daną sytuację fizyczną. Stałą K wiąŜemy z właściwościami
mikroskopowymi rozpatrywanego układu statystycznego. Są to tak zwane współczynniki
transportu.
Omówimy teraz krótko wybrane zjawiska transportu:
1) Dyfuzja w gazie, czyli przenoszenie cząstek (masy) w kierunku obszarów o mniejszej
koncentracji n (dąŜenie do wyrównania koncentracji). Równanie (16.31) nosi teraz nazwę
równania dyfuzji i ma postać
(88)
gdzie jD jest gęstością strumienia cząstek, dn/dx jest róŜnicą stęŜeń występującą na odległości
dx, a D współczynnikiem dyfuzji. Równanie to znane jest pod nazwą prawa Ficka. PoniewaŜ
dyfuzja jest przenoszeniem cząstek (z miejsc o większym stęŜeniu do miejsc o mniejszym
stęŜeniu) więc mamy do czynienia z transportem masy.
2) Przewodnictwo cieplne czyli transport energii cieplnej (ciepła) – zjawisko polegające
na samorzutnym wyrównywaniu się temperatury w całym układzie bez Ŝadnych
makroskopowych ruchów materii. Transport energii cieplnej zachodzi najszybciej w
metalach, a najwolniej w gazach. Miarą szybkości przewodnictwa cieplnego jest
współczynnik przewodnictwa cieplnego κ, występujący w równaniu transportu ciepła:
(89)
38
Sławomir Winiarski
gdzie jQ jest gęstością strumienia ciepła, dT/dx jest róŜnicą temperatur w warstwie ciała o
grubości dx, a κ jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. Równanie to znane jest pod
nazwą prawa Fouriera.
3) Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie ładunku elektrycznego w wyniku ruchu
elektronów lub dziur elektronowych (dąŜenie do wyrównania potencjałów elektrycznych).
Równanie, zwane prawem Ohma, ma postać
(90)
gdzie dV/dx jest róŜnicą potencjałów (napięciem) pomiędzy punktami przewodnika odległymi
o dx, σ przewodnością elektryczną, ρ opornością właściwą, a E natęŜeniem pola
elektrycznego.
4) Transport pędu czyli zjawisko lepkości jest procesem wyrównywania prędkości
poruszających się warstw płynu w cieczach rzeczywistych. Jako dobry przykład zjawiska
lepkości moŜna wyobrazić sobie doświadczenie przedstawione na poniŜszym rysunku.
v>0
x
v=0
Na rysunku przedstawiona jest ciecz pomiędzy dwoma równoległymi płytkami odległymi
o x. Niech płytka górna porusza się ze stałą prędkością równolegle do powierzchni cieczy,
natomiast dolna będzie nieruchoma. Wskutek działania sił międzycząsteczkowych górna
warstwa cieczy zacznie się poruszać wraz z płytką z tą samą prędkością. Pomiędzy tą
warstwą, a warstwą leŜącą poniŜej utworzy się róŜnica prędkości (/ pędu). JeŜeli w wyniku tej
róŜnicy prędkości wytworzą się między warstwami napręŜenia styczne (ścinające), nastąpi
przesunięcie warstwy drugiej. Ciecz taką nazywamy lepką, a przepływ takich warst płynu,
przepływem laminarnym.
Dla tzw. cieczy newtonowskiej napręŜenie styczne (ττ, stosunek ∆F/∆S siły wzajemnego
oddziaływania stycznego dwóch płaskich warstw płynu do pola powierzchni kaŜdego z nich )
jest proporcjonalne do zmiany pędu i wyraŜa się wzorem:
dv
v
=η
dx
x
gdzie η jest współczynnikiem tarcia wewnętrznego (lepkości)
Uwaga: wszystkie współczynniki transportu zaleŜą od temperatury!
τ = −η
(91)
6. ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM
Elektromagnetyzm, to dział fizyki badający współzaleŜności zjawisk magnetycznych i
elektrycznych (powstawanie pola magnetycznego wywołane przepływem prądu
elektrycznego, indukcja elektromagnetyczna, zachowanie się przewodników w polu
magnetycznym itp.).
39
Sławomir Winiarski
Początek elektromagnetyzmowi dały prace H.Ch. Oersteda (odkrycie powstawania pola
magnetycznego wokół przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny, 1820), J.B. Biota i
F. Savarta. Dalsze etapy jego rozwoju wyznaczają m.in. badania A.M. Ampere'a, M.
Faradaya i J.C. Maxwella.
6.1. ELEKTROSTATYKA
Elektrostatyka, to część elektrodynamiki klasycznej dotycząca zagadnień związanych z
statycznymi polami elektrycznymi i spoczywającymi ładunkami elektrycznymi.
6.1.1. Spoczywający ładunek elektryczny
Na spoczywający ładunek działają siły elektrostatyczne
pochodzące od innych ładunków. Dwa ładunki róŜnoimienne
(patrz rysunek) przyciągają się elektrostatyczną siłą
Coulomba równą co do wartości:
1
F1 = F2 =
+
—
F1
F2
q1q 2
( 92)
4πε 0ε r r 2
Pole elektryczne, jakie powstaje pomiędzy tymi ładunkami równe jest natęŜeniu pola
działającego na ładunek próbny pochodzące od ładunku q:
F
1
q
=
E=
(93)
q0 4πε 0ε r r 2
Pole jednorodne powstające pomiędzy okładkami naładowanego kondensatora6 jest
róŜnicą potencjałów (napięciem) pomiędzy jego okładkami podzieloną przez odległość tych
okładek:
ϕ1 − ϕ 2
U
(94)
d
d
Pojemność takiego kondensatora (kondensatora płaskiego) wyraŜa się wzorem:
Q
S
C = = ε 0ε r ,
(95)
U
d
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem zgromadzonym na płytkach kondensatora, er
przenikalnością elektryczną warstwy izolującej kondensator, S powierzchnią okładek
kondensatora.
E=
=
6.2. ELEKTRODYNAMIKA
Elektrodynamika zajmuje się uporządkowanym ruchem (przepływem) ładunków, czyli
prądem elektrycznym. Ciała, w których istnieją ładunki swobodne (tzw. nośniki prądu
elektrycznego) mogące się swobodnie poruszać pod wpływem przyłoŜonego, zewnętrznego
pola, nazywa się przewodnikami, natomiast ciała, które nie posiadają swobodnych nośników
nazywa się izolatorami.
kondensator elektryczny – układ dwóch lub więcej przewodników (okładki) odizolowanych od
siebie próŜnią lub dielektrykiem (warstwa izolująca) posiadający własność gromadzenia ładunków
elektrycznych pod wpływem przyłoŜonego napięcia elektrycznego U. Przykładając napięcie do
okładek kondensatora powodujemy ładowanie kondensatora polegające na przemieszczeniu z jednej
okładki ładunków jednego znaku na drugą i stworzeniu róŜnicy potencjałów.
6
40
Sławomir Winiarski
Istnieje grupa ciał zmieniająca właściwości przewodzenia pod wpływem warunków
zewnętrznych (np. temperatury) są to tzw. półprzewodniki. Do przewodników zalicza się
przede wszystkim metale (np. srebro, miedź, aluminium) ale i ciecze (elektrolity7), do
izolatorów zalicza się gazy, oraz ciała stałe (tj. woda destylowana, oleje, smary, guma, szkło,
papier, drewno). Do najczęściej wykorzystywanych półprzewodników moŜna zaliczyć krzem,
german, arsen.
6.2.1.
Rodzaje prądu
Prąd elektryczny, pod względem natęŜenia, dzieli się na prąd stały i prąd zmienny. Prąd
stały płynie w stałym kierunku i ma stałe natęŜenie. Prąd zmienny ma zaleŜne od czasu,
zmienne natęŜenie i oscyluje ono wokół wartości średniej. Czas powtórzenia oscylacji
nazywa się okresem, natomiast liczbę okresów w jednej sekundzie nazywa się
częstotliwością.
Prąd zmienny ma naturę falową. Drgające cząsteczki wpływają na ruch następnych
poruszają się w sposób uporządkowany w tej samej fazie drgań . Długość fali związana jest z
okresem drgań zaleŜnością: λ=cT=1/f , podobnie jak przy falach mechanicznych. Znaczy to,
Ŝe im większa częstotliwość drgań prądu tym krótsza jest długość fali. Od czasu trwania
okresu i wysokości amplitudy fali (/natęŜenia) zaleŜy działanie draŜniące prądu.[]
Występujący w sieci elektrycznej prąd zmienny o częstotliwości 50Hz musi być zmieniony
(zmodulowany) zanim zostanie zastosowany w elektroterapii. Po przepuszczeniu takiego
prądu przez prostownik (filtr) zostaje z niego tylko jedna połówka (dodatnia lub ujemna) –
prostowanie jednokierunkowe. Podczas prostowania całkowitego następuje ‘odbicie’
ujemnych wartości prądu tak, Ŝe prąd wyjściowy ma dwukrotnie większą częstotliwość (czyli
w naszym przyp. 100Hz). Częstotliwość fal moŜna modulować zmieniając ilość połówek fali
przechodzących przez prostownik.
Prądy wykorzystywane w elektrolecznictwie moŜna podzielić na prądy:
1. małej częstotliwości (od 0Hz do 1kHz) + prąd galwaniczny (wyk. w galwanizacji,
elektrolizie, jonoforezie, kąpielach elektryczno-wodnych )
2. średniej częstotliwości (od 1kHz do 100kHz) – prądy zmienne, interferencyjne,
modulowane średniej częstotliwości;
3. wysokiej częstotliwości (od 500kHz do 5000MHz) – fale krótkie (o długości λ=11m),
fale decymetrowe (λ=0,7m), mikrofalowe (λ=0,125m);
(
Kontynuacja, patrz rozdział: Elektrolecznictwo)
6.2.2. Charakterystyka prądu elektrycznego
Prąd elektryczny moŜna scharakteryzować za pomocą podania następujących parametrów:
NatęŜenie prądu, I, jest miarą ilości elektryczności (ładunku) przepływającej przez
przekrój jakiegoś przewodnika w ciągu sekundy. W układzie jednostek SI wyraŜa się w
amperach [A]:
I=
∆q
∆t
(96)
elektrolitami nazywamy przewodniki elektryczne zawierające ruchome jony. Są nimi najczęściej
roztwory wodne soli, kwasów i zasad oraz roztopione kryształy jonowe (np. soli kuchennej). Pod
wpływem pola elektrycznego dysocjują na jony (np. kwas siarkowy na kationy wodorkowe i aniony
reszt kwasowych);
7
41
Sławomir Winiarski
Gęstość prądu elektrycznego, j oznacza stosunek natęŜenia prądu (I) do wielkości
powierzchni, przez który ten prąd przepływa (S):
I
j=
(97)
S
W medycynie zabiegowej wartość gęstości prądu elektrycznego podaje się w miliamperach
na centymetr2 [mA/cm2].
Gęstość prądu jest związana z wartością pola elektrycznego (E) poprzez wzór:
j =σ ⋅ E
(98)
gdzie σ – przewodnictwo właściwe (przewodność) wyraŜone w (Ωm)-1.
Opór elektryczny, R, na jaki natrafia przepływający prąd zaleŜy od kształtu (długości l i
przekroju S) i właściwości elektrycznych (oporności właściwej ρ) przewodnika:
l
R= ρ⋅
,
(99)
S
gdzie oporność właściwa jest odwrotnością przewodności właściwej: ρ=1/σ
σ i wyraŜona
.
jest w tzw. omometrach (Ω m).
Przewodnictwo elektryczne – to odwrotność oporu elektrycznego:
1
1
κ=
[ = S]
(100)
Ω
R
i wyraŜone jest w simensach (ozn. S)
Jak juŜ wspomniano opór (/oporność) właściwy charakteryzuje właściwości elektryczne
materiału przewodnika i tak:
dla ρ < 10-6 Ωm materiałem jest przewodnik;
dla 10-6Ωm>ρ<108Ωm materiałem jest półprzewodnik;
dla ρ > 108Ωm materiałem jest izolator;
Pomiędzy natęŜeniem przepływającego prądu przez przewodnik (I) a spadkiem napięcia na
tym przewodniku (U) zachodzi liniowa zaleŜność, zwana prawem Ohma :
U =R⋅I
[V = Ω . A]
(101)
gdzie stała proporcjonalności R nazywana jest oporem elektrycznym (in. rezystancją).
Prawo Ohma mówi, Ŝe, w stałej temperaturze, natęŜenie prądu (I) jest wprost
proporcjonalne do spadku napięcia na przewodniku (U), a stałą proporcjonalności jest
opór elektryczny R;
Prawo Ohma dotyczy prądu stałego i prądu zmiennego niskoczęstotliwościowego. Nie jest
spełnione natomiast dla prądu zmiennego (wysokoczęstotliwościowego).
Skóra ludzka (naskórek) posiada pewien (stosunkowo duŜy) opór elektryczny oraz opór
pojemnościowy. MoŜna ją traktować jako izolator. Opór całkowity skóry zmniejsza się wraz
ze wzrostem częstotliwości impulsów elektrycznych.
W układach elektrycznych oporniki (odbiorniki elektryczne) moŜna łączyć w obwodach
szeregowo (koniec poprzedniej części jest początkiem nowej części) lub równolegle
(osobno łączy się wejścia odbiorników i ich wyjś cia). ZaleŜności pomiędzy natęŜeniami,
spadkami napięć i opornościami przedstawione zostały w tabeli poniŜej:
42
Sławomir Winiarski
Tabela 8. RóŜnice pomiędzy połączeniem szeregowym (nierozgałęzionym) a
równoległym (rozgałęzionym). W połączeniu szeregowym prąd płynący
przez kaŜdy rezystor ma taką samą wartość, natomiast suma spadków napięć
na kaŜdym rezystorze równa jest całkowitem spadkowi napięcia w obwodzie.
Dla połączenia równoległego napięcia na poszczególnych rezystorach są
sobie równe i równe spadkowi napięcia w całym układzie, natomiast prąd
rozgłęzia się na sumaryczne składowe.
POŁĄCZENIE
NATĘśENIE
NAPIĘCIE
OPÓR ZASTĘPCZY
I=I1=I2=...=IN
U=U1+U2+...+UN
R=R1+R2+...+RN
I=I1+I2+...+IN
U=U1=U2=...=UN
1 1 1
1
= + + ...+
R R1 R2
RN
szeregowe
R1
R2
RN
równoległe
R1
R2
RN
Praca prądu elektrycznego jest to iloczyn spadku napięcia na odbiorniku i przenoszonego
ładunku:
W =U ⋅Q =U ⋅ I ⋅t
(102)
i wyraŜa się najczęściej w dŜulach lub w elektronowoltach8 [1eV = 1,6.10-19 J].
Moc prądu elektrycznego, to stosunek średniej pracy prądu elektrycznego ∆W
wykonywanej w odcinku czasu ∆t:
∆W
P=
=U ⋅I
(103)
∆t
6.2.3. Prąd zmienny, impedancja (zawada) układu RLC:
Impedancja (zawada) układu zawierającego opornik (rezystor), solenoid (zwojnica, cewka)
i kondensator, to inaczej opór zastępczy takiego układu i wyraŜa się wzorem:

Z = R 2 +  ωL −

1 

Cω 
2
(104)
gdzie: R-opór omowy, L-indukcyjność solenoidu, C-Pojemność kondensatora, natomiast ωczęstotliwość kołowa (częstość) i ma związek z częstotliwością poprzez wzór: .ω = 2π.f .
6.2.4. Transport jonów w błonach i potencjały błonowe.
Pole elektryczne, E, przenoszące jony przez błonę komórkową wyraŜa się podobnym wzorem
jak pole elektryczne wewnątrz kondensatora:
Um
,
(105)
d
gdzie: Um – spoczynkowy potencjał membranowy (błonowy) – określa róŜnicę potencjałów
elektrycznych pomiędzy wnętrzem i zewnętrzem komórki;
E=
8
jeden elektronowolt (1eV) jest to praca potrzebna na przeniesienie elementarnego ładunku
elektrycznego przez róŜnicę potencjałów równą 1V.
43
Sławomir Winiarski
d – grubość błony komórkowej;
Wartości potencjałów spoczynkowych dla niektórych komórek przedstawione zostały w
poniŜszej tabeli:
Rodzaj komórki
Potencjał spoczynkowy
Akson kałamarnicy
- 70 mV
Komórka mięśniowa
- 90 mV
Erytrocyt
- 10 mV
Neuron kota
- 80 mV
6.2.5. Wpływ prądu stałego na organizm
Ciało człowieka pod względem elektrycznym składa się z układu szeregowo lub
równolegle połączonych komórek, tkanek, elektrolitów o róŜnym przewodnictwie
elektrycznym. Tkanki i płyny ustrojowe wykazują róŜnice w przewodnictwie elektrycznym,
które zaleŜą przede wszystkim od uwodnienia i nasycenia (stęŜenia) elektrolitów. Największe
przewodnictwo elektryczne wykazuje płyn mózgowo-rdzeniowy, później w kolejności
malejącej: osocze krwi, krew, mięśnie, wątroba, mózg, tkanka łączna, tkanka kostna. W
zabiegach elektroleczniczych naleŜy pamiętać o słabym przewodnictwie skóry (duŜa
oporność). Prąd przepływa zawsze drogą o najmniejszym oporze elektrycznym. [].
Przepływowi przez tkanki towarzyszy szereg zjawisk elektrochemicznych (elektroliza),
elektrokinetycznych (elektroforeza i elektroosmoza) i elektrotermicznych (prawo Joule’aLenza) scharakteryzowanych pokrótce poniŜej:
Elektroliza – rozpad elektrolitu na jony pod wpływem przepływu prądu elektrycznego,
połączony z odkładaniem się substancji na elektrodach;
Elektroforeza - ruch ładunków elektrolitu (zawiesiny lub cieczy) pod wpływem
przyłoŜonego zewnętrznego pola elektrycznego (cząstki obdarzone ładunkiem ujemnym
poruszają się w kierunku elektrody dodatniej (katody), dodatnim – w stronę anody);
Elektroosmoza – ruch jonów przez przegrodę (lub kapilarę) pod wpływem przyłoŜonego
zewnętrznego pola elektrycznego;
Prawo Joule’a - Lenza – prawo określające ilość ciepła wydzielającą się w przewodniku
(tkance) o oporze R przy przepływie prądu o natęŜeniu I w ciągu czasu t:
Q = I 2 Rt
6.2.6.
Elektroterapia w „pigułce”
Prąd elektryczny wykorzystywany w fizjoterapii moŜna podzielić na:
Prąd stały.
Galwanizacja, to uŜycie w zabiegu prądu stałego;
Jontoforeza (inaczej: jontogalwanizacja), to zabieg polegający na
wprowadzeniu do ciała pacjenta, przy pomocy prądu galwanicznego,
leczniczo działających jonów. Zabieg ten moŜe być wykonywany z
zastosowaniem wanny (komory) napełnionej wodą lub roztworem
leków (kąpiele wielokomorowe);
(106)
natęŜenie prądu, I
I=const.
czas, t
44
Prądy
impulsowe
małej
częstotliwości (prądy o róŜnym
kształcie impulsu, to między
innymi prądy: A–prostokątne,
B–trójkątne, C–trapezowe, D–
faradyczne, E–neofaradyczne,
F–diadynamiczne);
I
A)
t
I
D)
t
I
Sławomir Winiarski
B)
I
C)
t
I
E)
t
I
F)
t
t
Prądy średniej częstotliwości (głównie prądy o modulowanej amplitudzie);
Prądy o duŜej częstotliwości (stosowane np. w diatermii - ze względu na częstotliwość
impulsów rozróŜniamy: diatermię długofalową, krótkofalową i mikrofalową).
6.3. REZONANS MAGNETYCZNY
Zjawisko rezonansu magnetycznego występuje podczas absorpcji (pochłaniania) fali
elektromagnetycznej przez substancję umieszczoną w tym polu. Za rezonansowe pochłanianie
energii odpowiedzialne są cząstki posiadające tzw. moment magnetyczny.
6.3.1. Moment magnetyczny
Moment magnetyczny, jest to wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca stan
magnetyczny (namagnesowanie) cząstek elementarnych. JeŜeli w jednorodnym polu
magnetycznym, o indukcji magnetycznej B, znajdzie się elektron, jądro atomowe, atom, lub
dowolne ciało makroskopowe (czyli cząstki obdarzone momentem magnetycznym pm), to
będzie nań działał pewien skręcający, obrotowy moment siły.
Wokół przewodnika, w którym płynie prąd powstaje
I pm
wirowe pole magnetyczne, którego linie sił leŜą w
płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika (rysunek), przy
czym kołowy przewodnik z prądem (dolny zwój na rysunku)
B
zachowuje się jak dipol magnetyczny (magnes sztabkowy) i
posiada dwa bieguny magnetyczne. Moment magnetyczny
B
pm
kołowego przewodnika z prądem określa wzór: pm=I.S, gdzie
I jest natęŜeniem prądu płynącego w przewodniku, S
powierzchnią zawartą w obwodzie prądu.
Moment magnetyczny jest wielkością wektorową, którego kierunek i zwrot określa „reguła
śruby prawoskrętnej”. Jednostką momentu magnetycznego jest A.m2 [amper.metr2].
Naładowane cząstki elementarne wprawione w ruch oraz prądy elektryczne są źródłem
pola magnetycznego. Jego główne źródła to:
przewodniki z prądem (elektromagnesy);
orbitalny ruch elektronów w atomach;
obracające się cząstki elementarne (protony, neutrony);
6.4. POLE ELEKTROMAGNETYCZNE
Pole elektromagnetyczne jest polem, za pośrednictwem którego następuje wzajemne
oddziaływanie obiektów fizycznych o właściwościach elektrycznych i magnetycznych (np.
spoczywających lub będących w ruchu naładowanych cząstek elektrycznych, dipoli
magnetycznych).
45
Sławomir Winiarski
W kaŜdym punkcie pola e.m. określone są wektory natęŜenia pola elektrycznego E i pola
magnetycznego H, indukcji pola elektrycznego D i pola magnetycznego B. Wektory te
określają wartość wypadkowej siły elektromagnetycznej, jaka działa na ładunek (próbny)
umieszczony w tym polu (tzw. siła Lorentza9):
v
r
r
r
F = q ⋅ E + q ⋅v × B
(107)
gdzie: q- punktowy ładunek próbny, v- jego prędkość. Pierwszy człon równania określa
wkład pola elektrycznego, drugi pola magnetycznego. Siła Lorentza powoduje zakrzywienie
toru ruchu ładunku. W polu elektrycznym znika drugi człon (B=0), a w polu magnetycznym –
pierwszy. Siła Lorentza ma wtedy charakter siły dośrodkowej, torem ruchu cząstki jest wtedy
okrąg o promieniu r:
r=
mv
q⋅B
(108)
Pole elektromagnetyczne rozprzestrzenia się od źródła ze skoń czoną prędkością, której
wartość w danym ośrodku wynosi:
c
v=
,
(109)
µrε r
gdzie c jest prędkością światła w próŜni, a ośrodek scharakteryzowany jest za pomocą dwóch
stałych parametrów: względnej przenikalności magnetycznej εr i względnej przenikalności
magnetycznej µr.
Rysunek 11. Widmo promieniowania elektromagnetycznego.
9
Lorentz, Hendrik Antoon (1853–1928) fizyk holenderski
46
Sławomir Winiarski
Wysyłane przez słoń ce promieniowanie elektromagnetyczne rozciąga się od
promieniowania γ (gamma) przez promieniowanie rentgenowskie, nadfioletowe, widzialne i
podczerwone, aŜ do fal radiowych (patrz rysunek). Składa się ono w ok. 40% z
promieniowania widzialnego, w ok. 60% promieniowania podczerwonego i ok. 2-3%
promieniowania nadfioletowego. Do ziemi dociera zaledwie 30% promieniowania
słonecznego. Reszta absorbowana jest przez atmosferę ziemską.
KaŜdy element światła słonecznego wywiera biologicznie istotny wpływ na organizm
człowieka Światło widzialne polepsza samopoczucie i jest źródłem radości. Światło
czerwone (650nm) wywiera pobudzający wpływ na psychikę człowieka, łagodzi podraŜnienia
skóry powstające np. podczas przedawkowania promieni UV. Światło niebieskie (400nm)
działa uspokajająco i zmniejsza ból. Stosuje się je do naświetleń miejscowych przy krwawych
wysiękach w stawach, po urazach, w nerwobólach, świądzie, zapaleniu Ŝył, zaburzeniach
krąŜenia, cukrzycy, odmroŜeniach.
6.4.1. Powstawanie światła laserowego
Według teorii budowy atomu Bohra10: w centrum atomowym znajduje się dodatnie
naładowane jądro atomowe wokół którego „krąŜą” ujemnie naładowane elektrony w takiej
liczbie, aby wypadkowy ładunek atomu był równy zero. Liczne poziomy energetyczne w
atomach i cząsteczkach pozwalają elektronom na przejścia między-orbitalne.
Promień n-tej orbity Bohra dany jest przez wyraŜenie:
rn =
h 2ε 0
πme
2
⋅ n 2 = r1 ⋅ n 2 ,
(110)
natomiast energia n-tego poziomu zaleŜnością:
En = −
me 4
8h 2ε 02
⋅
1
n
2
= − E1 ⋅
1
n2
,
(111)
gdzie: h=6,62.10-34J.s jest stałą Plancka, m i e=1.6·10-19C są odpowiednio masą i ładunkiem
elektronu, r1=0,0503 nm i E1=–13.6 eV odpowiednio promieniem i energią na pierwszej
orbicie elektronowej, ε0 = 8.854·10-12C2/(Nm2) przenikalnością elektryczną próŜni, natomiast
n numeruje kolejne poziomy (orbity) elektronowe i nazywane jest główną liczbą kwantową.
Elektron przeskakując z jednego poziomu na drugi wypromieniowuje lub pochłania kwant
energii (tzw. foton, por. rysunek poniŜej). Kwant energii to najmniejsza porcja energii jaką
niesie ze sobą foton i równa jest róŜnicy energii pomiędzy poziomami atomu:
∆E = h ⋅ f = E n+1 − E n
(112)
gdzie. f jest częstotliwością fali świetlnej (kwantu promieniowania).
10
Niels Bohr (1885–1962) fizyk duński
47
pompowanie optyczne
STAN WZBUDZONY
Sławomir Winiarski
3
wiatło
laserowe
2
ś
STAN PODSTAWOWY
1
ENERGIA
3+
Rys. . Schemat trójpoziomowy stanów energetycznych jonów Cr w
rubinie. W skutek oświetlenia rubinu światłem zielonym jony zostają
wzbudzone do pasma 3 (pompowanie optyczne), z którego przechodzą
bezpromieniście na poziom 2. Gdy gęstość energii promieniowania
pompującego jest dostatecznie duŜa poziom 2 moŜe przekroczyć liczbę
atomów obsadzających poziom 1 (tzw. inwersja obsadzeń). Fotony
emitowane podczas przejścia ze stanu 2 do stanu o niŜszej energii 1
wymuszają podobne przejścia w innych atomach (emisja wymuszona) i
dochodzi do mnoŜenia fotonów (tzw. akcja lawinowa)
Promieniowanie takie, znalazło zastosowanie w tzw. laserach11.
Wymieńmy podstawowe cechy światła laserowego:
1) monochromatyczność (jednobarwność) mówi o tym, Ŝe światło laserowe ma prawie
jednakową długość fali (lub częstotliwość widmową), czyli lasery pracujące w zakresie
światła widzialnego mają jednobarwną wiązkę świetlną;
2) koherencja (inaczej: spójność) oznacza ciągłość falowych wiązek świetlnych oraz
zgodność ich fazy;
3) kolimacja (równoległość) oznacza, Ŝe promieniowanie takie ma małą rozbieŜność
kątową (kąt rozbieŜności mniejszy nawet od 10-5 rad);
4) duŜa intensywność (gęstość mocy promieniowania = moc promieniowania na
jednostkę powierzchni) ze względu na krótki czas trwania impulsu moŜe dochodzić
nawet do kilku MW/cm2(megawatów/centymetr2);
Bardzo mała rozbieŜność wiązki laserowej, duŜa gęstość promieniowania, oraz jej
spójność i monochromatyczność sprawiły, Ŝe lasery znalazły wiele zastosowań we
współczesnych dziedzinach medycyny (przede wszystkim onkologii, chirurgii i dermatologii).
LASER – z jęz. ang. Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (wzmocnienie światła
przez wymuszoną emisję promieniowania)
11
48
Sławomir Winiarski
Rys . Typy niektórych laserów uŜywanych w medycynie. Za [Jaroszyk, 1993]
7. PROMIENIOWANIE CIEPLNE
Promieniowanie cieplne (in. termiczne), to promieniowanie elektromagnetyczne ciał
związane ze wzbudzaniem atomów, jonów lub cząsteczek do drgań związanych z ich ruchem
cieplnym. NatęŜenie i barwa światła wchodzącego w skład promieniowania cieplnego zaleŜą
od własności fizycznych ciała oraz jego temperatury. Wszystkie ciała o temperaturze wyŜszej
niŜ 0K12 są źródłem promieniowania (zwykle jest to promieniowanie tła) cieplnego. Ogólnie
promieniowanie cieplne staje się widoczne (leŜy w zakresie fal widzialnych), kiedy jego
temperatura przekroczy ok. 500oC. W tej temperaturze ciała mają barwę ciemno czerwoną, a
w miarę podgrzewania ich barwa zmienia się z jasno czerwonej, poprzez Ŝółte, zielone, białoniebieskie do niebieskiej.
Wielkością charakteryzującą promieniowanie jest tzw. zdolność emisyjna. Zdolność
emisyjna (strumień energii wysyłanej) jest wielkością charakteryzującą promieniowanie
cieplne emitowane przez dane ciało i równa jest mocy ∆P tego promieniowania wysyłanego z
jednostki powierzchni ∆S tego ciała, czyli:
def .
∆P
E
E( f ,T ) =
=
(113)
∆S t ⋅ ∆S
Podobnie definiuje się zdolność ciała do pochłaniania (absorpcji) fali elektromagnetycznej.
Zdolność absorpcyjna jest to stosunek mocy promieniowania pochłoniętego (∆P) przez
jednostkową powierzchnie tego ciała (∆S)
def .
∆P
E
A( f , T ) =
=
.
(114)
∆S t ⋅ ∆S
Zdolność emisyjna ciała rzeczywistego E(f,T), oraz zdolność absorpcyjna A(f,T) zaleŜą od
częstotliwości fali promieniowania f i temperatury T, składu chemicznego i stanu skupienia
danego ciała.
12
przypomnienie: 0K (zero bezwzględne) = –273oC
49
Sławomir Winiarski
Ciało, dla którego zdolność absorpcyjna niezaleŜnie od częstotliwości promieniowania jest
równe 1 (A=1, tzn. pochłania kaŜdą ilość promieniowania cieplnego) nazywamy ciałem
doskonale czarnym. Ciało nie absorbujące promieniowania niezaleŜnie od jego
częstotliwości, dla którego zdolność absorpcyjna jest równa 0 (A=0) nazywamy ciałem
białym. Są to skrajne, wyidealizowane przypadki, poniewaŜ wszystkie rzeczywiste ciała mają
zdolność absorpcyjną w przedziale: 0<A<1. Ciała rzeczywiste pod względem ich
charakterystyki promieniowania nazywamy ciałami kolorowymi.
Przykładem ciała doskonale czarnego moŜe być wnętrze światłoszczelnej
wnęki pokazanej na rysunku obok. Promieniowanie, które absorbuje ciało
doskonale czarne ulega rozproszeniu na wewnętrznych ściankach wnęki
tak, Ŝe na zewnątrz nie wydostaje się juŜ nic.
Ciało rzeczywiste będące w równowadze termodynamicznej z otoczeniem emituje taką
samą ilość promieniowania, co absorbuje z otoczenia. Promieniowanie takie nazywa się
promieniowaniem zrównowaŜonym.
Związek pomiędzy zdolnością emisyjną a zdolnością absorpcyjną ciała określa prawo
promieniowania Kirchhoffa.
7.1. PRAWO PROMIENIOWANIA KIRCHHOFFA
Prawo promieniowania Kirchhoffa stwierdza, Ŝe: stosunek zdolności emisyjnej (E) do
zdolności absorpcyjnej (A) jest dla wszystkich ciał jednakowy.
A( f , T )
ε ( f ,T ) =
(115)
E( f ,T )
Funkcja ε=ε(f,T) jest niezaleŜną od ciała uniwersalną funkcją temperatury i częstotliwości
promieniowania i nazywamy funkcją Kirchoffa lub zdolnością emisyjną ciała doskonale
czarnego.
Zdolność ciała do emisji promieniowania oraz do jego absorpcji są do siebie wprost
proporcjonalne: Ze stwierdzenia tego wynika, Ŝe ciało tym intensywniej promieniuje, im
intensywniej pochłania padające nań promieniowanie. Dlatego wskutek promieniowania
termicznego gorąca, czarna kawa szybciej stygnie niŜ gorąca, przeźroczysta woda (Im
ciemniejsze ciało, tym szybciej nagrzewa się i stygnie).
7.2. PRAWO PROMIENIOWANIA PLANCKA
Prawo promieniowania Plancka określa zaleŜność zdolności emisyjnej ciała doskonale
czarnego od częstotliwości f i jego temperatury T:
1
E ( f , T ) = C ⋅ h⋅ f / k ⋅T
,
(116)
e
−1
gdzie: stała C=2πhf3/c2, h jest stałą Plancka, c prędkością światła w próŜni, natomiast k stałą
Boltzmanna. Zdolność emisyjna opisana powyŜszą funkcją ma kształt jak na rysunku poniŜej.
50
Sławomir Winiarski
E(λ,T)
T4
T3
T2
T1
λ
λmax4 λmax1
Rys. . Zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego, E(f,T) zaleŜy od
częstotliwości fali elektromagnetycznej (lub długości fali, λ) oraz od
temperatury tego ciała. W miarę zwiększania temperatury moŜna zauwaŜyć
charakterystyczne przesunięcie maksimum promieniowania w kierunku
krótszych długości fal (większych częstotliwości). Linią przerywaną
zaznaczono zaleŜność maksymalnej długości fali, λmax , od temperatury
( prawo Wiena).
→
Wzór ( ) podany przez Plancka bardzo dobrze opisuje wyniki doświadczalne i nie da się
go wyprowadzić korzystając z praw fizyki klasycznej. Wzór opiera się na załoŜeniu, Ŝe atomy
i cząsteczki mogą wysyłać i pochłaniać promieniowanie tylko „porcjami” energetycznymi,
zwanymi kwantami energii. Prawo to stanowi fundament mechaniki kwantowej.
Z prawa promieniowania Plancka wynika prawo przesunięć Wiena.
7.3. PRAWO PRZESUNIĘĆ W IENA:
Prawo przesunięć Wiena orzeka, Ŝe maksymalna długość fali, odpowiadająca
maksymalnej emisji promieniowania ciała doskonale czarnego, jest odwrotnie proporcjonalna
do temperatury bezwzględnej ciała T:
b
λ MAX =
,
(117)
T
gdzie b=0,29.10-2 mK jest stałą Wiena.
Wzór ten orzeka, Ŝe ze wzrostem temperatury bezwzględnej ciała doskonale czarnego
maksymalna długość fali (odpowiadająca maksymalnej emisji) przesuwa się w kierunku
krótszych długości fal (większych częstotliwości), co przejawia się zmianą barwy
promieniującego ciała. Znając barwę świecącego ciała moŜna, przy pomocy prawa Wiena,
określić jego temperaturę i na odwrót.
7.4. PRAWO PROMIENIOWANIA STEFANA – BOLTZMANNA:
Prawo Stefana - Boltzmanna z kolei stwierdza, Ŝe całkowity strumień energii
promieniowania cieplnego (zdolność emisyjna) ciała doskonale czarnego jest proporcjonalny
do czwartej potęgi temperatury:
E (T ) = σ ⋅ T 4 ,
(118)
gdzie σ=5,67 10 [J/sm K ] jest stałą Stefana-Boltzmanna.
Prawo Stefana-Boltzmanna moŜna zastosować równieŜ dla ciał szarych oraz ciał
rzeczywistych. Dla ciał szarych i rzeczywistych stała proporcjonalności pomiędzy emitancją a
T4 wynosi: σ.A, gdzie A jest zdolnością absorpcyjną tego ciała:
.
-8
2
4
E (T ) = σA ⋅ T 4
(119)
51
Sławomir Winiarski
7.5. TERMOGRAFIA
Temperatura skóry człowieka jest waŜnym czynnikiem diagnostycznym pomagającym
ustalić stan pacjenta. Temperatura skóry jest bowiem wynikiem dynamicznej równowagi
cieplnej pomiędzy ciepłem dostarczanym na przemiany metaboliczne przez naczynia
krwionośne, przewodnictwo cieplne tkanek a ciepłem wypromieniowywanym do otoczenia
przez promieniowanie, przewodnictwo cieplne i konwekcję. Ogniska chorobowe powodują
zmianę temperatury tkanek, poniewaŜ wpływają one na wyŜej wymienione czynniki.
[Jaroszyk]
Najprostszym przyrządem diagnostycznym jest termometr, uŜyty po raz pierwszy ok. 1865
roku. Do urządzeń bardziej zaawansowanych naleŜy zaliczyć aparat termograficzny.
Aparat termograficzny reaguje na promieniowanie cieplne wysyłane przez ciało człowieka.
Najistotniejszym elementem termografu jest detektor promieniowania podczerwonego, który
przetwarza padające promieniowanie na proporcjonalny do jego mocy sygnał elektryczny,
który później jest wzmacniany i analizowany przez system przetworników.
8. PROMIENIOWANIE NIEJONIZUJĄCE (W PRZYGOTOWANIU):
9. PROMIENIOWANIE JONIZUJĄCE: (W PRZYGOTOWANIU)
52
Sławomir Winiarski
10. UZUPEŁNIENIA
10.1. ALFABET GRECKI.
α, Α
β, Β
γ, Γ
δ, ∆
ε, Ε
ζ, Ζ
η, Η
θ, Θ
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
dzeta
eta
theta
ι, Ι
κ, Κ
λ, Λ
µ, Μ
ν, Ν
ξ, Ξ
ο, Ο
π, Π
jota
kappa
lambda
mi
ni
ksi
omikron
pi
ρ, Ρ
σ, Σ
τ, Τ
υ, Υ
φ,ϕ; Φ
χ, Χ
ψ, Ψ
ω, Ω
rho
sigma
tau
ypsilon
fi
hi
psi
omega
10.2. W YBRANE STAŁE FIZYCZNE
Symbol Wartość
Wielkość
Prędkość światła w próŜni
c
2.9979·108 m·s-1
Przyspieszenie ziemskie
g
9,81 m.s-2
Przenikalność magnetyczna próŜni µ0
4π·10-7 H·m-1
Przenikalność elektryczna próŜni
8.8542·10-12 F·m-1
ε0
Stała Plancka
h
6.6262·10-34 J·s
Elektryczny ładunek elementarny
e
1.60219·10-19 C
Masa spoczynkowa elektronu
me
9.1095·10-31 kg
Masa spoczynkowa protonu
mp
1.6726485·10-27 kg
Masa spoczynkowa neutronu
mn
1.6749·10-27 kg
Stała Rydberga
R
1.0974·107 m-1
Liczba Avogadro
NA
6.0220·1023 mol-1
Jednostka masy atomowej
u
1.6606·10-27 kg
Stała Boltzmanna
k
1.3807·10-23 J·K-1
Stała Stefana-Boltzmanna
5.67031·10-8 W·m-2·K-4
σ
Stała gazowa
R0
8.3144 J·mol-1·K-1
Stała grawitacyjna
G
6.6720·10-11 N·m2·kg-2
10.3. LITERATURA
Literatura zalecana:
1. Bober T., Zalewski J. (2003) Biomechanika układu ruchu człowieka, AWF Wrocław
2. Miękisz S., Hendrich A. (red.) (1998) Wybrane zagadnienia z biofizyki
3. Resnick R., Halliday D. (1994) Fizyka. PWN, Warszawa
Literatura uzupełniająca:
4. Pilawski A. (red.) (1983) Podstawy biofizyki. PZWL, Warszawa
5. Kane J.W. i Sternheim M.M. (1988) Fizyka dla przyrodników. PWN, Warszawa
6. Glaser R. (1975) Wstęp do biofizyki. PZWL, Warszawa
7. Przestalski S. (1993) Fizyka z elementami biofizyki i agrofizyki. AWR, Wrocław
8. Ernst K. (1992) Fizyka sportu. PWN, Warszawa
9. Jaroszyk F. (1993) Biofizyka medyczna. Skrypt AM w Poznaniu.
53

kurs podstaw biofizyki - e

Transkrypt

Podobne dokumenty

USTAWA z dnia 26 stycznia 1984 r. Prawo prasowe. (Dz. U. z dnia 7

Rady dla nauczyciela, kiedy „klasa szaleje”

Wakacyjne zagro¿enia Czerwiec 2007

SPOSOBY SKUTECZNEGO POROZUMIEWANIA SIĘ Z DZIEĆMI

Trwałość pamięci

Kiedy podejrzewać ubytek słuchu u dzieci

Prawa dziecka - Biblioteka w Szkole

Zapal światło dla oszczędności

Biuletyn - Curiculum Vitae