12 Wyznacznik i rząd macierzy

12
Wyznacznik i rząd macierzy
Definicja 12.1 Permutację σ ∈ Sn nazywamy permutacją parzystą (odpowiednio — nieparzystą), jeżeli zbiór inv (σ) = {(i, j) ; i < j oraz σ(i) > σ(j)}
ma parzystą (odpowiednio nieparzystą) liczbę elementów. Każdą parę elementów z powyższego zbioru nazywamy inwersją w permutacji σ.
Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę sgn σ równą 1, gdy permutacja
jest parzysta, zaś −1 gdy permutacja jest nieparzysta.
Definicja 12.2 Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij ] ∈ Mnn (F )
nazywamy liczbę
X
det A =
sgn σ a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) .
σ∈Sn
Przykład 12.3
1. n = 1:
det[a11 ] = a11
2. n = 2:
"
det
a11 a12
a21 a22
#
= a11 a22 − a12 a21
3. n = 3:


a11 a12 a13


det  a21 a22 a23  =a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31
a31 a32 a33
− a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
Stwierdzenie 12.4 Jeżeli A jest macierzą kwadratową, to det AT = det A.
Dowód: Niech A ∈ Mnn , B = [bij ] = AT . Wówczas bij = aji .
Zauważmy, że dla dowolnej dowolnej permutacji σ ∈ Sn zachodzi warunek sgn σ −1 = sgn σ. Istotnie, (i, j) ∈ inv σ wtedy i tylko wtedy, gdy
(σ(j), σ(i)) ∈ inv σ −1 , więc ilość inwersji w permutacji σ jest taka sama jak
ilość inwersji w permutacji σ −1 .
Ponadto dla dowolnej permutacji σ ∈ Sn spełniony jest warunek
aσ(1)1 · . . . · aσ(n)n = a1σ−1 (1) · . . . · anσ−1 (n) ,
bo permutacja jest bijekcją (oczywiście nie oznacza to równości czynników
w podanej kolejności).
1
Zatem
det AT =
X
sgn σ b1σ(1) · . . . · bnσ(n) =
σ∈Sn
=
X
X
sgn σ aσ(1)1 · . . . · aσ(n)n
σ∈Sn
sgn σ a1σ−1 (1) · . . . · anσ−1 (n)
σ∈Sn
=
sgn σ −1 a1σ−1 (1) · . . . · anσ−1 (n)
X
σ∈Sn
=
X
sgn τ a1τ (1) · . . . · anτ (n) = det A.
τ ∈Sn
Powyższy fakt wskazuje, że — mówiąc niezbyt precyzyjnie — twierdzenia
o wyznacznikach wyrażone w terminach wierszy są prawdziwe również w
sformułowaniu dla kolumn.
Stwierdzenie 12.5 Wyznacznik jest odwzorowaniem liniowym względem
dowolnego wiersza macierzy, tzn. jeżeli i = 1, . . . , n,




R1
R1
 .. 
 .. 
 . 
 . 

 R
 i−1

A =  Ri

 Ri+1

 ..
 .



 R

 i−1
 0

 , A =  Ri0



 Ri+1



 ..

 .
Rn




 ∈ Mnn (F ) oraz c, c0 ∈ F , to





Rn

R1
..
.




Ri−1


det  cRi + c0 Ri0


Ri+1


..

.







 = c det A + c0 det A0 .





Rn
Dowód: Niech B będzie macierzą, której wszystkie wiersze poza i–tym
są równe odpowiednim wierszom macierzy A jak i A0 , zaś jej i–ty wiersz jest
kombinacją liniową i–tego wiersza macierzy A oraz i–tego wiersza macierzy
A0 o współczynnikach a oraz a0 .
2
Wówczas
sgn σ a1σ(1) · . . . · caiσ(i) + c0 a0iσ(i) · . . . · anσ(n)
X
det B =
σ∈Sn
=c
X
sgn σ a1σ(1) · . . . · aiσ(i) · . . . · anσ(n)
σ∈Sn
+ c0
X
sgn σ a1σ(1) · . . . · a0iσ(i) · . . . · anσ(n)
σ∈Sn
=c det A + c0 det A0 .
Stwierdzenie 12.6 Jeżeli A = [aij ] ∈ Mnn (F ) jest macierzą diagonalną
(odpowiednio: górną trójkątną, dolną trójkątną) to jej wyznacznik jest iloczynem elementów głównej przekątnej:
det A = a11 a22 . . . ann .
Dowód: Rozumowanie przeprowadzimy dla macierzy górnej trójkątnej
(zawiera przypadek maceirzy diagonalnej).
Niech A = [aij ] ∈ Mnn będzie macierzą górną trójkątną, tzn. aij = 0 dla
i > j.
Każda nietożsamościowa permutacja przyjmueje dla pewnego argumentu
wartość mniejszą od tego argumentu. Istotnie, w przeciwnym przypadku
σ(n) = n i stosując indukcję wsteczną otrzymalibyśmy σ(i) = i dla i ∈
{1, . . . , n}.
Zatem dla każdej nietożsamościowej permutacji σ ∈ Sn otrzymujemy, że
iloczyn a1σ(1) · . . . · anσ(n) = 0. Ostatecznie
det A =
X
sgn σ a1σ(1) · . . . · anσ(n)
σ∈Sn
= sgn (id) a1id (1) · . . . · anid (n) = a11 · . . . · ann .
Twierdzenie 12.7 (Laplace’a) Niech A = [aij ] ∈ Mnn (F ), zaś dla i, j =
1, . . . n symbol Aij oznacza macierz (n − 1) × (n − 1) powstałą z macierzy A
przez skreślenie i–tego wiersza oraz j–tej kolumny. Wówczas dla dowolnego
i = 1, . . . , n zachodzi równość
det A =
n
X
(−1)i+j aij det Aij .
j=1
Do dowodu twierdzenia Laplace’a potrzebujemy dwóch lematów:
3
Lemat 12.8 Jeżeli σ ∈ Sn jest taką permutacją, że dla pewnych i, j =
1, . . . , n spełniony jest warunek σ(i) = j, to liczba inwersji w ciągu liczb
(σ(1), . . . , σ(i−1), σ(i+1), . . . , σ(n)) ma tę samą parzystość co liczba (# inv σ−
(i + j)).
Lemat 12.9 Niech n ∈ N. Niech dla k = 1, . . . , n funkcja tk : {1, . . . , n} \
{k} → {1, . . . , n − 1} będzie określona wzorem
(
tk (j) =
j
gdy j < k
j − 1 gdy j > k
Oznaczmy dla i, j = 1, . . . , n zbiór Zij = {σ ∈ Sn ; σ(i) = j}.
Wówczas dla dowolnych i, j funkcja przypisująca permutacji σ ∈ Zij
funkcję tj ◦ σ|{1,...,n}\{i} ◦ t−1
jest jest bijekcją zbioru Zij na Sn−1 .
i
Wniosek 12.10 Jeżeli A = [aij ] ∈ Mnn (F ), to dla dowolnego j = 1, . . . , n
zachodzi równość
n
det A =
X
(−1)i+j aij det Aij .
i=1
Definicja 12.11 Przedstawienie wyznacznika macierzy A = [aij ] ze stwierdzenia 12.7 (odpowiednio wniosku 12.10) nazywamy rozwinięciem Laplace’a
względem i–tego wiersza (odpowiednio j–tej kolumny).
Skalar (−1)i+j det Aij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu
aij w macierzy A.
Bezpośrednio z liniowości wyznacznika względem ustalonego wiersza (stw.
12.5) wynika
Wniosek 12.12 Pomnożenie wiersza macierzy kwadratowej przez skalar
niezerowy mnoży jej wyznacznik przez ten sam skalar.
Innymi słowy, dla A ∈ Mnn (F ), dowolnego k = 1, . . . , n oraz a ∈ F \ {0},
spełniony jest warunek det (rka (A)) = a det A.
Stwierdzenie 12.13 Zamiana dwóch wierszy w macierzy kwadratowej zmienia znak jej wyznacznika na przeciwny.
Innymi słowy, dla A ∈ Mnn (F ) i dowolnych k, l = 1, . . . , n, k 6= l, spełniony jest warunek det (skl (A)) = − det A.
Dowód:
Wniosek 12.14 Jeżeli dwa wiersze macierzy kwadratowej są równe, to wyznacznik tej macierzy jest równy 0.
4
Dowód: Jeżeli Rk = Rl dla pewnych k, l = 1, . . . , n, to ze stwierdzenia
12.13 wynika, że
det A = det(skl (A)) = − det A, co daje tezę.
Wniosek 12.15 Dodanie do jednego wiersza macierzy kwadratowej innego
wiersza pomnożonego przez skalar nie zmienia wyznacznika macierzy.
Innymi słowy, dla A ∈ Mnn (F), dowolnych
k, l = 1, . . . , n, k 6= l oraz
b
b ∈ F , spełniony jest warunek det pkl (A) = det A.
Dowód:
Na podstawie stwierdzenia 12.5 otrzymujemy

R1
..
.
R1

..

.




 R
k−1


det pbkl (A) = det  Rk + bRl

 Rk+1


..

.






 R

 k−1


 = det  Rk



 Rk+1




..


.
Rn

R1

..

.






 R

 k−1


+b det  Rl



 Rk+1




..


.
Rn
Rn
bo ostatnia macierz ma równy wiersz k–ty i l–ty.
Stwierdzenie 12.16 Jeżeli A ∈ Mnn , B ∈ Mmm , to
1.
"
det
A θ
X B
#
= det A det B
dla dowolnej macierzy X ∈ Mmn
2.
"
det
Y A
B θ
#
= (−1)mn det A det B
dla dowolnej macierzy Y ∈ Mnm .
Dowód:
Twierdzenie 12.17 (Cauchy’ego) Jeżeli A, B ∈ Mnn (F ), to
det(AB) = det A det B.
Dowód:
Niech
"
D=
A θ
−I B
#
Wówczas ze stwierdzenia 12.16(1) wynika, że det D = det A det B.
5







 = det A,





Niech macierz D0 będzie wynikiem dodania do (n + i)–ej kolumny macierzy D kombinacji liniowej b1i C1 + b2i C2 + . . . + bni Cn kolumn tej macierzy,
i = 1, . . . , n.
Wówczas z wniosku 12.15 i stwierdzenia 12.4 otrzymujemy, że det D0 =
det D.
Ponadto kolumny o numerach od 1 do n pozostają bez zmian, a pozostałe
wyrazy są równe
d0i,k
( P
n
dla 1 ¬ i ¬ n
dla n + 1 ¬ i ¬ 2n
j=1 aij bjk
=
0
Stąd i ze stwierdzenia 12.16(2) wynika, że
"
0
det A det B = det D = det D = det
A AB
−I θ
#
2
=(−1)n det(AB) det(−I) = (−1)n(n+1) det(AB) = det(AB).
Wniosek 12.18 Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to
1
.
det A
det A−1 =
Dowód:
Z twierdzenia Cauchy’ego
1 = det I = det AA−1 = det A det A−1 .
Stwierdzenie 12.19 Jeżeli det A 6= 0, gdzie A = [aij ] ∈ Mnn (F ), to A jest
macierzą nieosobliwą oraz
"
A−1
Dowód:
(−1)i+j det Aij
=
det A
T
#
 .
1¬i,j¬n
Załóżmy, że A = (R1 , . . . , Rn ).
Niech B =
h
(−1)i+j det Aij
det A
1¬i,j¬n
i
T
. Wówczas bjk =
(−1)j+k det Akj
.
det A
Je-
żeli C = AB, to dla i, k = 1, . . . , n otrzymujemy
cik =
n
X
Pn
aij bjk =
j+k a
ij
j=1 (−1)
det A
j=1
det Akj
.
Jeżeli i = k, to w liczniku wyrażenia cik występuje rozwinięcie Laplace’a
wyznacznika macierzy A względem i–tego wiersza.
6
Gdy i 6= k, to licznik wyrażenia cik wynosi 0, bo jest rozwinięciem Laplace’a wyznacznika macierzy (R1 , . . . , Rk−1 , Ri , Rk+1 , . . . , Rn ) (o równych
wierszach i–tym oraz k–tym) względem k–tego wiersza.
Zatem cik = δik , skąd AB = I.
Stwierdzenie 12.20 Macierz kwadratowa ma niezerowy wyznacznik wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiersze tworzą układ liniowo niezależny
Dowód: Niech R1 , . . . , Rn oznaczają wiersze macierzy A.
Załóżmy, że det A 6= 0 i przypuśćmy, że jeden z wierszy, np. Rk , jest
P
kombinacją liniową pozostałych: Rk = ni=1,i6=k ai Ri . Wówczas zgodnie ze
−ak−1
−ak+1
−an
1
wnioskiem 12.15 macierz p−a
k1 ◦ . . . ◦ pk,k−1 ◦ pk,k+1 ◦ . . . ◦ pkn (A) ma wyznacznik równy det A. Z drugiej strony jednak k–ty wiersz tej macierzy jest
zerowy, więc det A = 0; sprzeczność.
Załóżmy, że układ R = (R1 , . . . , Rn ) jest liniowo niezależny. Stanowi więc
on bazę przestrzeni F n . Oznaczmy przez M macierz przejścią od bazy R do
bazy kanonicznej E. Wówczas M AT = In , co z uwagi na nieosobliwość macierzy przejścia, twierdzenie Cauchy’ego, wniosek 12.18 i stwierdzenie 12.4
daje det A 6= 0.
Definicja 12.21 Rzędem macierzy nazywamy wymiar podprzestrzeni rozpiętej na jej wierszach. Rząd macierzy A oznaczamy przez r A.
Minorem stopnia k ­ 1 macierzy A ∈ Mmn (F ) nazywamy wyznacznik
każdej macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie m − k wierszy i
n − k kolumn.
Wniosek 12.22 Dla macierzy kwadratowej A ∈ Mnn (F ) równoważne są
warunki
1. r A = n.
2. det A 6= 0.
Stwierdzenie 12.23 Rząd macierzy jest równy najwyższemu stopniowi jej
niezerowego minora lub jest równy 0, gdy nie ma takiego minora.
Dowód: Niech A ∈ Mmn (F ). Oczywiście r A ¬ m. Ponieważ wiersze
macierzy A są wektorami z przestrzeni F n , więc także r A ¬ n.
Jeżeli wszystkie minory macierzy A, także te stopnia 1, są równe 0, to
A = θ i r A = 0.
Niech k ­ 1 będzie najwyższym stopniem niezerowego minora macierzy
A.
Niech M będzie macierzą k × k, która powstaje przez skreślenie pewnej
ilości wierszy i pewnej ilości kolumn z macierzy A, oraz taką że det M 6= 0.
Ze stwierdzenia 12.20 wynika, że wiersze macierzy M są liniowo niezależne.
Zatem wiersze macierzy A, które zawierają wiersze macierzy M są także
7
liniowo niezależne (zerowanie się współczynników kombinacji liniowej równej θ wynika już z równań zawierających wyrazy z kolumn zawierających
kolumny macierzy M ). Stąd r A ­ k.
Niech rA = r; wtedy r ¬ n. Załóżmy, że wiersze (Ri1 , . . . , Rir ) są liniowo
niezależne. Wybierzmy z bazy kanonicznej n−r wektorów, tak stanowiły one
wraz z (Ri1 , . . . , Rir ) bazę przestrzeni F n , każdy wektor ei znajdował się na
miejscu i–tym, a numery kolejnych wybranych wierszy macierzy A tworzyły
ciąg rosnący. Z tak uporządkowanych wierszy macierzy A oraz wektorów
bazy kanonicznej tworzymy macierz B.
Macierz B ma liniowo niezależne wiersze, więc det B 6= 0. Rozwijając
wyznacznik macierzy B kolejno względem wszystkich wierszy z bazy kanonicznej otrzymamy, że det B = det C, a macierz C powstaje z macierzy
o wierszach (Ri1 , . . . , Rir ) przez skreślenie n − r kolumn. Stąd det C jest
niezerowym minorem stopnia r macierzy A, zatem k ­ r A.
Wniosek 12.24 Rząd macierzy jest równy wymiarowi podprzestrzeni rozpiętej na jej kolumnach.
Dowód: Wymiar podprzestrzeni rozpiętej na kolumnach macierzy A
jest z definicji równy r AT . W macierzy AT minorami stopnia k są skalary
det M T , gdzie M jest taką macierzą k × k, dla której det M jest minorem
macierzy A. Teza wynika więc ze stwierdzeń 12.4 i 12.23.
Stwierdzenie 12.25 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
Dowód: Macierz skl (A) ma, z dokładnością do znaku, te same minory
ustalonego stopnia co macierz A, choć odpowiadają one innym skreśleniom
wierszy. Zatem najwyższy stopień niezerowego minora pozostaje bez zmian
i na mocy stwierdzenia 12.23 r (skl (A)) = r A.
Minory macierzy rka (A) są takie same jak minory macierzy A, o ile nie ma
w nich wiersza k–tego lub pomnożone przez a 6= 0, gdy wiersz k–ty zawierają.
Zatem najwyższy stopień niezerowego minora pozostaje bez zmian i na mocy
stwierdzenia 12.23 r (rka (A)) = r A.
Udowodnimy teraz, że operacja elementarna pbkl nie zmniejsza rzędu macierzy. Niech à będzie macierzą, której wyznacznik jest niezerowym minorem najwyższego stopnia w macierzy A = [aij ]1¬i¬m,1¬j¬n . Na mocy dowodu dla operacji zamiany wierszy oraz stwierdzenia 12.4 możemy przyjąć, że
à = [aij ]1¬i,j¬r .
Jeżeli k > r, to det à jest niezerowym minorem stopnia r macierzy
pbkl (A). Jeżeli 1 ¬ k, l ¬ r, to pbkl (Ã) jest minorem stopnia r macierzy pbkl (A)
oraz — zgodnie z wnioskiem 12.15 — minorem niezerowym.
Niech teraz l > r ­ k oraz ρi = (ai1 , . . . , air ) dla i = 1, . . . , m (czyli ρi
jest i–tym wierszem macierzy, która powstaje z A przez skreślenie ostatnich
8
n − r kolumn). Nie jest możliwe, aby wyznaczniki macierzy
ρ1
 ..
 .
ρ1
 ..
 .








B=









ρk−1


ρk + bρl 


ρk+1


..

.




C=

















oraz
ρr
ρk−1
ρk+1
..
.
ρr
ρl
były jednocześnie równe 0, bo wówczas
det à = det (B − b · sr−1,r ◦ . . . ◦ sk,k+1 (C))) = det B ± b det C
byłby równy zeru wbrew założeniu. Zatem det B lub det C jest niezerowym
minorem stopnia r macierzy
pbkl (A).
Pokazaliśmy, że r pbkl (A) ­ r A, ale wówczas także
b
r A = r p−b
kl pkl (A)
­ r pbkl (A) ,
co daje już niezmienność rzędu macierzy przy dodawaniu do wiersza innego
wiersza pomnożonego przez skalar.
Ponadto z wniosku 12.24 wynika, że także operacje elementarne na kolumnach nie zmieniają rzędu macierzy.
9