Rachunek Prawdopodobieństwa. Przykładowe kolokwium

Rachunek Prawdopodobieństwa. Przykładowe kolokwium zaliczeniowe. Grupa A
1. W grze w "tysiąca" każdy z trzech graczy otrzymuje początkowo 7 kart z talii 24 kart (as, król, dama,
walet, 10 i 9 w każdym z 4 kolorów), a pozostałe 3 karty leżą osobno jako tzw. "musik".
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przed obejrzeniem kart gracz nr 1 będzie miał w swych kartach
"meldunek 100" czyli króla i damę kier?
Po podniesieniu kart gracz pierwsza faza gry to licytacja. Jeżeli gracz wygra licytację to zabiera dla
siebie karty z musika (a następnie daje każdemu z graczy po jednej karcie z posiadanych dziesięciu).
Załóżmy, że po obejrzeniu kart gracz 1 ma w ręce asa, króla i 10 kier, damę karo, asa pik oraz 10 i
9 trefl. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po wygraniu licytacji gracz ten zdoła skompletować
b) meldunek 100,
c) meldunek 100 i jednocześnie meldunek 80 (króla i damę karo),
d) meldunek 100 lub meldunek 80.
2. Zmienna losowa X na następujący rozkład.
0
1
4
x
P (X = x) 0,4 0,35 0,25
a) Podać dokładną wartość średniej i wariancji dla X.
b) Narysować wykres dystrybuanty X.
c) Obliczyć medianę i górny kwartyl dla X.
3. Czas świecenia popularnych żarówek (liczony w dniach) ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 100 dni.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo zakupiona żarówka tego typu będzie pracować ponad
200 dni. Podać dokładny wynik.
b) Jeżeli wiadomo, że dana żarówka od momentu wkręcenia w żyrandol świeci już ponad 200 dni to
jakie jest prawdopodobieństwo, że przepali się przed upływem 300 dni od chwili wkręcenia?
c) Żyrandol zawiera 5 tego typu żarówek. Zakładając, że świecą niezależnie od siebie jakie jest
prawdopodobieństwo, że przynajmniej 4 z nich będą świecić ponad 200 dni?
1
Rachunek Prawdopodobieństwa. Przykładowe kolokwium zaliczeniowe. Grupa B.
1. W grze w pokera każdy z graczy dostaje po 5 kart ze standardowej talii kart (13 kart w każdym z 4
kolorów). Obliczyć prawdopodobieństwo, że przed obejrzeniem kart dany gracz dostanie
a) "kolor" - 5 dowolnych kart w tym samym kolorze,
b) "fulla" - 3 takie same karty i 2 takie same np 3 asy i 2 czwórki.
Po podniesieniu kart gracz otrzymał asa pik, asa kier, króla karo, 2 pik i 9 karo. Decyduje się
wymienić 2 pik i 9 karo na dwie inne karty (czyli odrzuca te karty, a na ich miejsce otrzymuje 2 nowe
karty z pozostałych 47). Jakie jest prawdopodobieństwo, że po wymianie gracz będzie miał fulla?
2. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
f (x) =
C sin( 12 x), x ∈ [0, π],
0, x ∈
/ [0, π].
a) Wykazać, że C = 21 .
b) Obliczyć wartość oczekiwaną X. Podać dokładny wynik.
c) Narysować wykres dystrybuanty X.
d) Obliczyć dokładną wartość mediany dla X.
3. Pewien rodzaj oporników na rozkład normalny ze średnią 50Ω i odchyleniem standardowym 2Ω.
Producent uznaje opornik za spełniający normy jeżeli jego wartość waha się między 48Ω a 53Ω.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wyprodukowany opornik będzie spełniać normy. Wynik podać
z dokładnościa do 3 miejsc po przecinku.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w paczce zawierającej 10 takich oporników przynajmniej 8
będzie spełniać normy ?
Oporniki spełniające normy są sprzedawane z zyskiem 5$ za sztukę. Oporniki powyżej 53Ω są
sprzedawane po obniżonej cenie i oznaczają zysk 2$ za sztukę. Oporniki poniżej 48Ω idą na złom i
oznaczają dla producenta stratę 1$ od sztuki.
c) Zdefiniować zmienną losową opisującą zysk/stratę producenta ze sprzedaży jednego opornika tego
rodzaju.
d) Jakiego zysku powinien oczekiwać producent przy sprzedaży 10000 takich oporników?
2