Metody testowania programów naukowych Ad 1.

Metody testowania programów naukowych
1. Testowanie na przypadkach modelowych, dla których można znaleźć wartości analityczne
2. Przypadki szczególne, dla których wynik jest intuicyjny bądź też ogólnie znany
3. Zbadanie granicy nierelatywistycznej dla obliczeń relatywistycznych
4. Porównanie z wynikami uzyskanymi innymi metodami teoretycznymi
5. Porównanie z wynikami doświadczalnymi
Ad 1.
Modelowy przypadek dla rozpraszania – prostokątna studnia potencjału
Dla takiego potencjału rozpraszającego można znaleźć analityczne wartości przesunięcia
fazowego δ l , przy użyciu sferycznych funkcji Bessela i Neumanna (w terminologii
anglosaskiej – funkcji Ricatti-Bessela i Ricatti-Neumanna). Otrzymane wartości analityczne
można użyć do oceny zbieżności wartości numerycznych przesunięcia fazowego δ lN –
poprzez bezpośrednie porównanie lub np. obliczanie odchylenia średniego kwadratowego,
ponieważ zarówno w przypadku nierelatywistycznym, jak i relatywistycznym, spodziewamy
→∞
się, że δ lN N
→ δ l .
Wyprowadzenie wzorów analitycznych
A. Przypadek nierelatywistyczny
Rozpatrzmy prostokątną studnię potencjału, jak na poniższym rysunku:
E
~
k′
~
k
a
obszar
I
~
k
r
b
obszar
II
obszar
III
V0
Szukamy radialnych części rozwiązań w poszczególnych obszarach w postaci sferycznych
funkcji Bessela i Neumanna:
~
ΨI (r ) = A1 jl (k r ) ,
~
~
ΨII (r ) = A2 jl (k ′r ) + B2 nl (k ′r ) ,
~
~
ΨIII (r ) = A3 jl (k r ) + B3 nl (k r ) .
~
W powyższych wzorach k =
2mE ~
, k′ =
h
2m(E − V0 )
przy założeniu, że E > V0 .
h
Rozwiązania te należy zszyć, zapewniając ciągłość funkcji i jej pochodnej:
 ΨI (a) = ΨII (a )

 d Ψ (a) = d Ψ (a) ,
II
 dr I
dr
 ΨII (b) = ΨIII (b)

 d Ψ (b) = d Ψ (a ) .
III
 dr II
dr
Tangens przesunięcia fazowego dostajemy w postaci ilorazu:
tg δ l =
B3
a a (a a − a 7 a13 ) + a 2 a 4 (a8 a13 − a9 a12 ) + a1 (a5 a9 a12 + a 6 a7 a13 − a 6 a9 a11 − a5 a8 a13 )
,
= 3 4 9 11
A3 a3 a 4 (a 7 a14 − a10 a11 ) + a 2 a 4 (a10 a12 − a8 a14 ) + a1 (a5 a8 a14 + a 6 a10 a11 − a5 a10 a12 − a 6 a 7 a14 )
gdzie
~
~
~
~
~
~
~
a1 = jl (k a ), a 2 = jl (k ′a ), a3 = nl (k ′a ), a 4 = jl′ (k a ), a5 = jl′ (k ′a ), a6 = nl′ (k ′a ), a7 = jl (k ′b),
~
~
~
~
~
~
~
a8 = nl (k ′b), a9 = jl (k b), a10 = nl (k b), a11 = jl′ (k ′b), a12 = nl′ (k ′b), a13 = jl′ (k b), a14 = nl′ (k b),
a jl′, nl′ są pochodnymi sferycznych funkcji Bessela i Neumanna.
B. Przypadek relatywistyczny
Rozpatrzmy prostokątną studnię potencjału, jak na poniższym rysunku:
E
e′, k ′, E ′
e, k , E
a
− V0
obszar
I
Mamy parametry: E , E ′ ≡ E − V0
r
b
obszar
II
obszar
III
oraz e(E ) , k(E ) a także e ′ = e(E ′) i k′ = k(E ′) ,
określone wzorami
e≡
e, k , E
E
,
E + 2mc 2
k≡
(
)
E E + 2mc 2
.
ch
Zdefiniujmy następujące macierze
− nl (kr ) 
 jl (kr )
 ,
X rk = 
(
)
(
)
m
e
j
kr
±
e
n
kr
l
±
1
l
±
1


 ± e nl ±1 (kr ) nl (kr )
 ,
Yrk = 
(
)
(
)
±
e
j
kr
j
kr
l
±
1
l


gdzie jn ( z ) są sferycznymi funkcjami Bessela pierwszego rodzaju, a nn ( z ) są sferycznymi
funkcjami Bessela drugiego rodzaju (sferycznymi funkcjami Neumanna). W obydwu
macierzach górne i dolne znaki dotyczą odpowiednio ujemnych i dodatnich κ .
Radialne części rozwiązań w poszczególnych obszarach możemy zapisać jako
A 
ΨI (r ) = X rk  1  ,
0
A 
ΨII (r ) = X rk ′  2  ,
 B2 
A 
ΨIII (r ) = X rk  3  .
 B3 
Z warunków ciągłości otrzymujemy równania
A 
A 
X ak  1  = X ak ′  2  ,
0
 B2 
A 
A 
X bk ′  2  = X bk  3  .
 B2 
 B3 
Rozwiązując metodą podstawienia powyższy układ otrzymamy
 A3 
  = X bk
 B3 
( )
−1
( )
X bk ′ X ak ′
( )
Przyjmując A1 = 1 oraz zauważając, że X rk
−1
=
−1
A 
X ak  1  .
0
Yrk
mamy
det X rk
 A3 
1
1
  =
Y k X bk ′Yak ′ X ak   .
k
k′ b
 0
 B3  det X b det X b
Tangens przesunięcia fazowego znajdujemy w postaci
B
tg δ l = 3 .
A3
Ad. 2
Szczególny przypadek – potencjał zerowy
Dla potencjału zerowego (czyli brak oddziaływania cząstki bombardującej z tarczą),
spodziewamy się zerowego przesunięcia fazowego.
Kładąc zatem w programie V0 = 0 (zerowa głębokość studni potencjału), sprawdzamy, czy
δ lN = 0 .
Ad 3.
Chcemy sprowadzić metodę relatywistyczną do metody nierelatywistycznej. Ponieważ
metody relatywistyczne opierają się na fakcie, że prędkość światła ma skończoną wartość,
najprostszą metodą znalezienia granicy nierelatywistycznej jest zwiększanie (w metodzie
relatywistycznej) prędkości światła i badanie zachowania się wyniku. Porównując otrzymany
wynik z wynikiem „czystej” metody nierelatywistycznej, sprawdzamy poprawność
otrzymanej granicy.
→∞
δ lN ,rel c
→ δ lN ,nonrel
W programie JMATRIX wszystkie obliczenia prowadzone są w jednostkach atomowych, tzn.
m = h = 1 , c = 1 / α ≅ 137,036 , gdzie α – stała struktury subtelnej. Przejście z prędkością
światła do nieskończoności realizuje się w takim układzie przez położenie c = 105 ÷ 10 6 .
Ad 4.
Przykładowe (teoretyczne) wyniki porównawcze można znaleźć w literaturze naukowej.
Przykład z naszego podwórka: Marek Krośnicki, magistrant prof. R. Szmytkowskiego,
policzył przesunięcia fazowe dla rozpraszania na potencjale kulombowskim bezpośrednio
rozwiązując odpowiednie równanie Schrödingera. Wyników z tej pracy można bezpośrednio
użyć do przetestowania programu JMATRIX.
Ad 5.
W przypadku rozpraszania, najczęściej mierzonymi doświadczalnie wielkościami są
różniczkowy i całkowy (całkowity) przekrój czynny.
Związek przesunięcia fazowego z przekrojami czynnymi:
[
(
) (
)]
+
−
1 ∞
(l + 1) e2 i δ l − 1 + l e2 i δ l − 1 Pl (cos θ ) ,
∑
2 i k l =0
1 ∞ 2 i δ l− 2 i δ l+ 1
g (θ ) =
∑ e − e Pl (cosθ ) .
2 i k l =1
f (θ ) =
[
]
dσ
(θ , ϕ ) = f (θ ) 2 + g (θ ) 2 ,
dΩ
σ =∫
dσ
(θ , ϕ )dΩ
dΩ
Ω