Prawo przenoszenia się błędów

Prawo przenoszenia się błędów
P=a*b
Dla
a = 100 m. ±3
cm
b = 200 m. ±3
cm
P = a*b =100 m.* 200 m. = 20 000 m2
Obliczamy możliwe maksymalne odchyłki wyniku:
Pmin
= 99.97 m. * 199.97 m. = 19 991.0009 m2
=100.03 m. * 200.03 m. = 20 009.0009 m2
Pmax
19 991 m2 < P < 20 009 m2
czyli
P = ±9 m2
Prawo przenoszenia się błędów ukazuje sposób
gromadzenia się błędów średnich spostrzeżeń
bezpośrednich i niezależnych występujących w
danej funkcji.
Dla funkcji:
F = f (x, y, z)
MF
F
x
2
*m
F
y
2
x
2
*m
F
z
2
y
2
* m2z
.....
Przykłady typowych funkcji:
Błąd średni wielokrotności
f = a*x
Błąd średni sumy
f=x+y
mf
Błąd średni funkcji liniowej
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
mf = ± a*mx
m2x
f = ax + by
mf
a 2 * m2x
1/7
m2y
b 2 * m2y
Prawo przenoszenia się błędów
Przykłady liczbowe
Pole powierzchni prostokąta
Błąd funkcji
P=a*b
a
P = a*b
b
Liczymy pochodne cząstkowe:
P
a
b
P
b
a
przy założeniu błędów (odpowiednio) ma i mb otrzymamy
Mp
b2 * m2a
a 2 * mb2
Przykład – wariant 1
Dla a = 100 m. ±3 cm
b = 200 m. ±3 cm
Mp
40000* 0.0009 10000* 0.0009
36 9
45 6,7
– wariant 2
Zmiana dokładności
Mp
ma = ±1 cm,
mb = ±3 cm
40000* 0.0001 10000* 0.0009
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
2/7
4 9
13 3,3
Prawo przenoszenia się błędów
– wariant 3
Zmiana dokładności
Mp
ma = ±3 cm,
mb = ±1 cm
40000* 0.0009 10000* 0.0001
36 1
37
6,1
– wariant 4
Zmiana dokładności
Mp
ma = ±1 cm,
mb = ±1 cm
40000* 0.0001 10000* 0.0001
ma
4 1
5
2,2
a
P=a*b
b
mb
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
3/7
Prawo przenoszenia się błędów
Pomiar: niwelacja trygonometryczna:
H=D*tg(alfa)
H
D
Błąd funkcji
H = D * Tg( )
Liczymy pochodne cząstkowe:
H
D
H
α
Tg( )
D
cos 2 ( )
przy założeniu błędów (odpowiednio) mD i m otrzymamy
MH
Tg(
2
2
D
) *m
D
cos 2 ( )
2
* m2α
Musimy doprowadzić do jednorodności wymiarów (wprowadzić miarę
łukowa kąta)
MH
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
Tg( )2 * mD2
4/7
D
cos 2 ( )
2
mα
*
ρ ''
2
Prawo przenoszenia się błędów
Wariant 1
Dla D = 200 m. ± 3 cm
= 300. ± 60”
gdzie tg( )= /3
czyli 0,577,
a cos( )= 3/2
czyli 0,866
’
natomiast w przybliżeniu = 200 000
2
3
3
Mp
2
20 000
* 32
3
2
2
*
60
200 000
Mp
3
*9
9
Mp
3
16 * 400 000 000
36
*
9
400 000 000
Mp
3
16 * 1 3 6
*
9
1
Mp
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
3
2
400 000 000
3 600
*
9
40 000 000 000
16
16 * 36
9
3
5/7
576
9
3
64
67
8,2
Prawo przenoszenia się błędów
Zmiana dokładności – wariant 1A
Dla D = 200 m. ± 3 cm
= 300. ± 30”
2
3
3
Mp
Mp
3
*9
9
Mp
3
Mp
3 16
2
*3
20 000
2
3
2
*
2
30
200 000
2
400 000 000
900
*
9
40 000 000 000
16
16 * 400 000 000
9
*
9
400 000 000
19
4,4
Zmiana dokładności - wariant 1B:
Dla D = 200 m. ± 1 cm
= 300. ± 60”
2
3
3
Mp
Mp
3
9
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
2
20 000
2
*1
3
2
2
*
60
200 000
2
16 * 400 000 000
36
*
9
400 000 000
6/7
Prawo przenoszenia się błędów
Mp
1
3
64
64,3
8,0
Zmiana dokładności - wariant 1C:
Dla D = 200 m. ± 1 cm
= 300. ± 30”
2
3
3
Mp
2
20 000
2
*1
3
2
2
*
30
200 000
Mp
3
9
16 * 400 000 000
9
*
9
400 000 000
Mp
1
3
16
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
16,3
2
4,0
7/7
Prawo przenoszenia się błędów