Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2

Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2

Wstep
, do matematyki
aktuarialnej
Michal Jasiczak
Wyklad 2
Tablice trwania życia
1
Cele (na dzisiaj):
• Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przyszly czas życia osoby w wieku
x.
• Zrozumieć parametry znajdujace
sie, w
,
TTŻ opisujace
przyszly czase życia os,
oby w wieku x.
Cel dalekosie, żny:
• Wyznaczyć skladke, netto w typowym
ubezpieczeniu na życie.
2
Przewidywanie jest bardzo trudne,
w szczególności jeżeli dotyczy
przyszlości.
N. Bohr
3
Nate, żenie zgonów x-latka w
momencie czasu t
fx(t)
µ[x]+t =
1 − Fx(t)
Na mocy definicji
P (Tx ≤ t + δ|Tx > t) =
Fx(t + δ) − Fx(t)
,
1 − Fx(t)
zatem
P (Tx ≤ t + δ|Tx > t)
= µ[x]+t.
δ→0
δ
lim
Wiemy już:
t px = exp −
Z t
0
µ[x]+τ dτ .
4
(Pre)historia
Analityczne prawa trwania życia:
• Prawo de Moivre’a: T0 ma rozklad jednostajny na przedziale [0, ω], ω > 0,
• Prawo Gompertza:
B > 0, c > 1,
µt = Bct, gdzie
B
p
=
exp
−
(ct+x − cx) .
t x
log c
• Prawo Makehama: µt = A + Bct, B >
0, A ≥ −B i c > 1
B
(ct+x − cx) ,
p
=
exp
−At
−
t x
log c
• Prawo Weibulla: µt = ktn, dla t ≥ 0
gdzie k > 0, n > 0,
k
p
=
exp
−
(t + x)n+1 − xn+1
t x
n+1
5
.
Argument heurystyczny
Obserwować od narodzin odpowiednio duża,
grupe, ludzi, powiedzmy o liczebności l, w
podobnym wieku i notować moment ich
śmierci. Powiedzmy lt, to liczba żyjacych
,
osobników w momencie t > 0.
Oszacowanie prawdopodobieństwa, że dowolna
osoba przeżyje czas t > 0
lt
.
l
6
Problemy
1. Co to znaczy odpowiednio duża?
,
2. Co to znaczy w podobnym wieku?
3. Co to znaczy grupa ludzi?
4. Jak dokladnie notować moment śmierci?
5. Dlaczego ulamek
lt
l
ma być dobrym oszacowaniem nieznanego
prawdopodobieństwa?
7
W ten sposób w najlepszym razie oszacujemy
P (Tx > t)
dla t należacych
do pewnego skończonego
,
zbioru i pewnego ustalonego x.
Czy to wystarcza?
W przypadku portfela 100000 takich samych
ubezpieczeń o sumie 100000 PLN każdy
blad
, mnożymy przez
1010
!
8
Kohorta - zbiór osób wyodrebnionych
na
,
podstawie wspólnie przeżytego zdarzenia
demograficznego lub spolecznego w ściśle
określonym miejscu i czasie.
Generacja - to kohorta, w której kryterium
wyodrebnienia
jest wspólny czas i miejsca
,
urodzenia.
9
Niech [N ] bedzie
N -elementowa, populacja,
,
osób w wieku x.
Niech dla dowolnego t ∈ R
Xn,t =

1,
0,
n−ta osoba żyje w momencie t,
n−ta osoba nie żyje w momencie t.
Wówczas
lt =
N
X
Xn,t.
n=1
Twierdzenie 1 (Kolmogorow) Niech
Xn : Ω → R
bedzie
ciagiem
niezależnych zmiennych losowych
,
,
o jednakowym rozkladzie i takim, że E|X1| <
∞. Wówczas

n
P ω:

n
o
1 X
lim
Xk = EX1  = 1.
n→∞ n
k=1
10
Jeżeli Xn,t maja, taki sam rozklad i sa, niezależne,
to dla każdego t

P ω:
lim
N
1 X
N →∞ N

Xn,t = EX1,t  = 1.
n=1
Zatem


lN,t

= EX1,t = 1,
P lim
N →∞ N
gdzie lN,t liczba osób z populacji N -osobowej
żyjacych
w momencie t.
,
Zauważmy, że
EX1,t = 1 · P (Tx ≥ t) + 0 · P (Tx < t)
= P (Tx ≥ t).
gdzie Tx to przyszly czas życia osoby w
wieku x (Zalożenia!).
11
Zatem, jeżeli dla pewnego t ∈ R
(i) Xn,t maja, taki sam rozklad,
(ii) EX1,t < ∞,
(iii) Xn,t sa, niezależne,
to

P  lim
lN,t
N →∞ N

= P (Tx ≥ t) = 1.
Innymi slowy, dla odpowiednio dużych
populacji, w których spelnione sa, zalożenia
(i) oraz (iii) iloraz
lN,t
N
jest oszacowaniem prawdopodobieństwa
P (Tx ≥ t).
12
Dyskusja zalożeń
• Czy można zakladać, że Xn,t maja, taki
sam rozklad dla każdego n i ustalonego
t?
n
o
• Czy można zakladać, że Xn,t
jest
n
zbiorem niezależnych zmiennych losowych?
Zmienne losowe X, Y sa, niezależne, na mocy
definicji, jeżeli dla dowolnego A ∈ L(R)
P ({ω : X(ω) ∈ A, Y (ω) ∈ A})
= P ({ω : X(ω) ∈ A})P ({ω : Y (ω) ∈ A}).
13
Wnioski
Korzystajac
, z Tablic Trwania Życia możemy
przyjać,
że
,
lt
P (T0 ≥ t) = ,
l
P (T0 < t) = 1 −
l − lt
lt
=
l
l
dla t ∈ N.
Hipoteza Jednorodnej Populacji
P (Tx > t) = P (T0 > x + t|T0 > x)
P (T0 > x + t)
.
=
P (T0 > x)
Zatem dla t, x ∈ N
lx+t
lx+t
l
t p x = lx =
lx
l
lx − lx+t
q
=
.
t x
lx
14
Obciety
przyszly czas życia
,
x-latka
Kx = bTxc
Zatem dla dowolnego k ∈ N mamy
P (Kx = k) = P (k ≤ Tx < k + 1)
:= k|1qx = P (k < Tx ≤ k + 1).
Nowe oznaczenie aktuarialne:
s|t qx = P (s < Tx ≤ s + t).
15
Hipoteza agregacji
P (Kx ≥ k) = P (K0 ≥ x + k|K0 ≥ x) .
16
Hipotezy interpolacyjne
Pytanie: W jaki sposób wyznaczyć tpx wtedy, gdy t ∈
/ N, t = n+u, n ∈ N0, 0 ≤ u < 1?
• Hipoteza jednostajności (HU)
n+u px = (1−u)n px +u·n+1 px , 0 ≤ u < 1.
• Hipoteza przedzialami stalego nateżenia
,
zgonów (HCFM)
µ[x]+n+u = µ[x]+n, 0 ≤ u < 1.
• Hipoteza Balducciego
(1−u) q[x]+n+u = (1 − u)q[x]+n .
Nowe oznaczenie aktuarialne:
t p[x]+s = P (Tx > s + t|Tx > s)
oraz tq[x]+s = P (Tx ≤ s + t|Tx > s).
17
Obserwacja 1 Jeżeli prawdziwa jest hipoteza
HCFM, to
n
n+u px = n px (p[x]+n ) .
Dowód: Z ćwiczeń
Z n+u
n+u px = exp −
0
Z n
= exp −
0
µ[x]+τ dτ
µ[x]+τ dτ −
= npx · exp −
Z n+u
n
Z n+u
µ[x]+τ dτ
n
µ[x]+τ dτ .
Z zalożenia µ[x]+τ = µ[x]+n, jeżeli n ≤ τ <
n + 1. Zatem
h
i
n+u px = n px · exp −u · µ[x]+n
u
= npx exp −µ[x]+n
.
Zauważmy jednak, że:
exp(−µ[x]+n) = p[x]+n.
18
exp(−µ[x]+n) = exp −
= exp −
Z n+1
0
Z n+1
n
µ[x]+τ dτ +
µ[x]+τ dτ
Z n
0
µ[x]+τ dτ .
Zatem
R
exp − 0n+1 µ[x]+τ dτ
exp(−µ[x]+n) =
Rn
exp − 0 µ[x]+τ dτ
P (Tx > n + 1)
P (Tx > n)
= P (Tx > n + 1|Tx > n) = p[x]+n.
=
19
Potencjalny problem
Zgodność HJP z hipotezami
interpolacyjnymi.
Dwie metody wyznaczenia n+upx, gdzie n ∈
N, 0 ≤ u < 1, jeżeli znane sa, wartości npx
dla n ∈ N
• Najpierw interpolujemy tp0 nastepnie,
,
korzystajac
, z HJP wyznaczamy t px , tzn.
t+x p0
.
t px =
p
x 0
• Najpierw korzystajac
, z HJP (lub HA)
wyznaczamy npx, gdy n, x ∈ N, a później
korzystajac
, z hipotez interpolacyjnych
uzupelniamy pozostale wartości tpx.
20
Definicja 1 Regula, interpolacyjna, nazywamy
dowolna, funkcja,
f : [0, 1) × R × R → [0, 1],
która, stosujemy do wyznaczenia nieznanych
wartości n+upx, tzn.
n+u px = f (u, n px , n+1 px ).
Obserwacja 2 Jeżeli regula interpolacyjna
jest jednorodna, tzn.
f (u, α · s, α · t) = αf (u, s, t),
dla dowolnych u ∈ [0, 1), t, s ∈ R oraz α > 0,
to jest zgodna z HJP.
21
Dowód:
Pierwsza metoda: Najpierw wyznaczamy
t p0 , dla t = n + u, gdzie n ∈ N0 , 0 ≤ u < 1
n+u p0 = f (u, n p0 , n+1 p0 ),
a nastepnie
n+u px na mocy HJP
,
f (u, n+xp0, n+x+1p0)
x+n+u p0
=
p
=
n+u x
x p0
x p0
Druga metoda: Wyznaczamy npx zgodnia
z HA
n+x p0
,
n px =
p
x 0
a nastepnie
,
n px , n+1 px )
n+u px = f (u,
p
p
n+x 0 n+x+1 0
= f u,
x p0
,
x p0
f (u, n+xp0, n+x+1p0)
=
,
x p0
ostatnia równość wynika z zalożonej jednorodności f .
22
Obserwacja 3 Każda z wymienionych regul
interpolacyjnych jest zgodna z HJP.
Dowód: Dla HU oczywiste
n+u px = (1 − u)n px + un+1 px .
Dla HCFM
u
n+u px = n px (p[x]+n )
u
= npx P (Tx > n + 1|Tx > n)

u
n+1 px 

= n px
.
p
n x
Zatem dla HCFM mamy
f (u, s, t) = s
u
t
s
i oczywiście
f (u, αs, αt) = αf (u, s, t).
23
Wreszcie dla HB
n+u px = n px
= n px
p[x]+n
u + (1 − u)p[x]+n
n+1 px
n px
u + (1 −
px
u) n+1
n px
,
czyli
f (u, s, t) = s
t
s
.
t
u + (1 − u) s
24
Nowe oznaczenia aktuarialne:
ex = EKx
e◦x = ETx
Obserwacja 4 Prawdziwa jest nastepuj
aca
,
,
zależność
e◦x =
Z ∞
0
t px dt.
Dowód: Niech M bedzie
odpowiednio duża,
,
liczba,
e◦x = ETx =
Z ∞
−∞
tfx(t)dt =
= −t · tpx|M
0 +
=
Z ∞
0
Z M
0
Z M
0
tfx(t)dt
t px dt
t px dt,
ponieważ
d
d
−
t px = − (1 − Fx (t)) = fx (t).
dt
dt
25