1 wyróżnień: Podkreślenia i klamry a aan nn Nawiasy

We
wzorach
matematycznych
można
używać
różnego
rodzaju
wyróżnień :
-
podkreślenie - \underline{… }
umieszczenie poziomej kreski nad wyrażeniem \overline{… }
umieszczenie poziomych klamer nad \overbra ce{… }
I pod wyrażeniem \unde rbrace {… }
Czasami po prostu możemy chcieć umieścić jakiś znaczek nad literą, np.
tyldę nad dużym A i jest wtedy polecenie \tilde i $\widetilde{A+B}$ –
gdy chcemy nad większą ilością znaków um ieścić tyldę. A jeśli chcemy mieć
normalne litery a nie matematyczne, to piszemy:
$\widetilde{\textrm{ Ala }}$ RM od Roman, od antykwy.
$$ \unde rline {x+y}+\overline{x-y}=5 $$
Podkreślenia i klamry
Matematycy lubią używać różnych sposobów wyróżnień. Najprostsze z nich
to podkreśle nie otrzymywane komendą \underline{...}, umieszczenie
poziomej kreski nad wyrażeniem otrzymywane komendą \overline{...} oraz
umieszczanie poziomych klamer nad i pod wyrażeniem komendą
\overbrace {...} i \unde rbrace {...}. Zastosowanie tych instrukcji
pokazuje przykład.
Przy kład 3.



n1 n2 ...nk a a ... a 


n
$\underline{x+y} + \overline{x-y} =5,$
$\overbrace{n_l+n_2+ \dots n_k} \quad
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n $
Sposób pisania wszelkiego rodzaju znaków matematycznych można znaleźć w
tabelach umieszczanych w każdym podręczniku do L ATEX-a.
Nawiasy
Do
składu
różnych
ograniczników
np.
nawiasów
okrągłych,
kwadratowych i sześciennych (klamrowych) można używać symboli z
klawiatury lub specjalnych poleceń. Nawiasy okrągłe i kwadratowe wpisujemy
bezpośrednio z klaw iatury natomiast naw ias klamrowy m usimy poprzedzić
znakiem rozpoczynającym każdą komendę czyli \. Tak więc nawias klamrowy
1
otrzymamy pisząc \{ i \}. Sposób wprowadzania innych ograniczniki można
znaleźć w tabelach dowolnego podręcznika.
LATEX ma również zdefiniowanych kilka komend, które w ustalony sposób
powiększają znaki nawiasów. Są to:
\big, \Big, \bigg i \Bigg.
Przy kład 4.
Poniżej um ieściliśmy znaki nawiasów okrągłego i klamrowego, otwierających
i zamykających, najpierw wielkości bieżącego fontu a następnie powiększone
instrukcjami \big, \Big, \bigg i \Bigg odpow iednio.
Możemy również skorzystać z tego, że LATEX potrafi sam dobrać
odpowiednio duży na wias. Należy wtedy rodzaj nawiasu poprzedzić komendą
\left jeśli chcemy lewy nawias i komendą \right jeśli chcemy nawias prawy.
Polecenia \left i \right zawsze występują parami i gdy użyliśmy jednego z
nich, drugi musi też pojawić się w tej samej linii wzoru. Jeśli jednak nie
chcemy mieć znaku naw iasu zamy kającego w tej samej linii wzoru co
otwierający należy na końcu linii umieścić polecenie \r ight. a na początku
następnej \left. i dopiero nawias zamy kający w odpowiednim m iejscu drugiej
linii.
\left(lewy nawias) i komenda \right(prawy nawias) wtedy latex sam dobierze
rozmiar nawiasu np. do całki, to środowisko jakby.
$$\left\{ \int_a^b f(x) dx=b^2-a^2\right\}$$
Poniżej jeśli zrobimy tak jak napisałam, to będziemy mieć w pierwszej linii
otworzony nawias I na końcu linii żaden naw ias nie będzie zam knięty, a w
drugiej linijce nie będzie otwartego nawiasu, ale będzie zam knięty. Na
początku chcieliśmy { a na końcu ). Po to są te kropki.
$$\left\{ \int_a^b f(x) dx=b^2-a^2\right. $$
$$\left. \int_a^b f(x) dx=b^2-a^2\right\)$$
Ułamki
Polecenie \frac{}{} tworzy we wzorach eksponowanych ułamek, w
którym czcionka w liczniku i m ianow niku jest takiej samej wielkości jak w
całym dokumencie.
Wzór matematyczny w linii tekstu jest zapisany w postaci ułam ka
odpowiednio zmniejszonymi czcionkam i, by za bardzo nie wystawał nam z
linii tekstu. Pakiet amsmath dostarcza nam polecenia \tfra c{}{} i
\dfrac{}{} które dają nam możliwość wyboru wielkości ułam ka (pierwsze ułamek wielkości tekstu, drugie - takiej wielkości jak we wzorze
eksponowanym). Bo czasami chcemy mieć większy lub m niejszy ułamek w
naszej linii.
2
Przy kład 8.
Możemy w linii tekstu napisać duży ułamek
2x 4
przy pomocy
y 3
polecenia $\dfrac{2x-4}{y-3}$ i będzie wyglądał brzydko, ale czasami
tak chcemy. Będzie wyglądał tak m niej w ięcej jak w Wordzie tutaj wyżej, bo
Latex by go ładnie zmniejszył. zamiast małego ułam ka 2 x 4 produkowanego
y 3
przez polecenie $$\frac{2x-4}{ y-3} \quad \tfra c{2x-4}{y-3}$$. I
pierwszy ułamek byłby normalny a drugi taki ładny zmniejszony.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\quad\sum_{k=1}^{100}$$
\infty - nieskończoność
$$\prod_k X_k$$ iloczyn po k
\bigcup – duży znak sumy zbiorów
\cup – mała suma zbiorów
\bigcap – duży iloczyn zbiorów
\cap mały iloczyn zbiorów
$$\int_0^x f(x)dx\quad\int_0^{\fra c{n}{2}}g(y)dy$$ to będę
miała całkę I granice jakby obok tej całki, a jak chce mieć granice dokładnie
pod I nad znakiem całki to piszę:
\int\limits_a^b x dx
Jak wpiszemy w texu:
Ala ma kota $\int\limits_a^b x dx = 12$ I psa $\int_a^b x dx=12$ to on
ładnie zmniejszy te całki by ładnie wyglądały w tekście, poza tym granice
pierwszej całki będą idealnie nad znakiem całki, a drugiej całki będą jakby z
boku tejże całki.
\lim_{n\to\infty} – granica przy n dążącym do nieskończoności tutaj też
granica przy lim może być pisana obok znaku lim jak i pod znakiem lim
\lim\limits_{n\to\infty} – i tu będzie pod znakiem całki
Jeżeli sum ujemy po w ięcej niż jednym wskaźniku wtedy należy postąpić
następująco:
$$\sum_{\substac{0<i<n\\0<j<m}}
K_{ij}(x)\quad
\sum{\begin{subarray}{1}i\in A\\0<j<m\e nd{suba rray }}
K_{ij}(x)$$
3
W drugiej wersji jest większy odstęp pomiędzy znakiem sumy a tym co jest
pod sumą I jeśli chcemy ten odstęp zmniejszyć, to umieszczamy ujemne
spacje czyli \! Możemy też \!\!\!
\\ to złamanie linii w środowisku matematycznym
Bo odległość tego co ma być pod suma jest automatycznie dobierana do
granic sumowania.
Symbol Newtona
Tak samo jak w przypadku ułam ków symbole Newtona (też z pakietem
amsmath) można pisać w dwóch rozmiarach, bez względu na to gdzie się
znajdują.
Przy kład 9.
Można um ieścić
duży symbol w tekście
\dbinom{}{} zam iast małego
a
b
a
b
przy pomocy polecenia
który w tekście produkuje polecenie
\binom{}{}. Można także we wzorze wyeksponowanym napisać mały
symbol Newtona poleceniem \tbinom-{}-{} zamiast automatycznie
produkowanego dużego poleceniem \binom-{}-{}
a b
c d
a b
c d
Do nadpisywania znaków nad innym i znakam i służy polecenie \sta ckre l{co
nadpisujemy}{do cze go nadpisujemu}
Do um ieszczania znaków lub wyrażeń nad lub pod innym i wyrażeniami lub
znakam i możemy też użyć poleceń
\overset{}{} i \unde rset{}{} odpowiednio.
$$
A\overset{p.w.}{\e quiv }B \quad
A_n\underset{n\to\infty}{\longrighta rrow} b
\quad
\overset{\bullet}{M}
\quad
\overset{\,\bullet}{M}
\quad
\overset{\;\bullet}{M}
\quad
\overset{\ \bullet}{M}
\quad
$$
4
Tu mamy dodatnie spacje! Chodzi o to w którym miejscu nad literką M
będzie kropka, czy na środku czy z prawej czy z lewej itp.
Przy kład 6.
Teraz będzie przykład w ielokropka w trybie tekstowym ..., a teraz w trybie
matematycznym, najpierw kropki na dole czyli \ldots a potem pośrodku
xn
czyli \cdots a1 , a2 ,..., x1 x2
Macierze i wyznaczniki
Do składu macierzy, wyznaczników jak również wyrównywania tekstu w
kolumnach moż na użyć środowiska array o następującej składni
$$
\begin{array }{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}
$$
a11 a12
a 21 a 22
a31 a32
Skoro są dwa c to znaczy ze są dwie kolumny i obie wycentrowane, a
piszemy wiersze. Przejście do następnej kolumny to $ i koniec wiersza to\\
czyli zwykłe złamanie w iersza i ostatniego wiersza nie łamiemy, bo i po co,
jeśli złam iemy na końcu to będzie dodatkowy dziwny odstęp, ale wtedy
kompilator może krzyczeć.
W powyższym przykładzie w idać, że środowisko array nale ży umieszczać w
trybie matematycznym zawsze, kiedy chcemy zapisać macierz lub
wyznacznik.
W naw iasie po wywołaniu środowiska umieszczamy parametry określające
położenie tekstu w komórce (c - wyśrodkowany, l - wyrównany do lewej, r wyrównany do prawej). Ilość parametrów musi być równa ilości kolumn
macierzy. Każdy element macierzy jest oddzie lony od następnego znakiem
&, koniec wiersza zaznaczony jest znakiem \\. Jeżeli elementy macierzy
mają być um ieszczone pom iędzy nawiasam i wtedy przed otwarciem
środowiska umieszczamy \left( (naw iasy okrągłe) a po jego zamknięciu
\right). Zamiast naw iasów okrągłych można um ieścić inne naw iasy lub
proste kreski, jak w następnym przykładzie.
$$
\left[
5
\begin{array }{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}
\right]
$$
I mamy tą macierz co wyżej ale z nawiasami.
Przy kład 7.
X
X
a11a12
b21b22
a11a12
X
b21b22
a11a12
b21b22
a11a12
X
b21b22
$$
\begin{matrix}
a+b+c & uv & yz\\
b+c & x & kz
\end{matrix}
$$
To wygodniejsze środow isko do pisania macierzy,
wycentrowane i nie trzeba już pisać ilości kolum n.
elementy
będą
$$
\begin{pmatrix}
a+b+c & uv & yz\\
b+c & x & kz
\end{pmatrix}
$$
Wtedy od angielskiego słowa nawias parentix mamy nasza macierz w
okrągłych nawiasach lub jak poniżęj w kwadratowych od brackets
$$
\begin{bmatrix}
a+b+c & uv & yz\\
b+c & x & kz
\end{bmatrix}
$$
6
Poniżej wyznacznik
$$
\begin{vmatrix}
a+b+c & uv & yz\\
b+c & x & kz
\end{vmatrix}
$$
Poniżej norma
$$
\begin{Vmatrix}
a+b+c & uv & yz\\
b+c & x & kz
\end{Vmatrix}
$$
Wzory wielolinijkowe
Do pisania wzorów w kilku liniach mamy w LATEX-u środowisko
matematyczne eqnarray które powstało na bazie środowiska array.
Otrzymujemy układ równań wyrównany np. do znaku równości:
sin x
x
x7
7!
...
x3
3!
x5
5!
(3)
(4)
Pisząc:
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x-\frac{x^3}{3!} + \fra c{x^5}{5!}-\\
& & -\frac{x^7}{7!} + \cdots
\end{e qnarray}
\cdots od central, bo te kropki maja być po środku
W środow isku eqnarray (słowo – eqation array, tablica równości) każda
linia jest opatrywana kolejnym numerem.
Widzimy, że każda z linii ma nume r, ja kby to był oddzielny wzór, ale
my prze nieśliśmy część jego niżej, wię c to jest jede n wzór.
Jeśli nie chcemy, by któraś z linii była zanumerowana wtedy przed
złamaniem jej umieszczamy polecenie \nonumber.
Jeżeli nasz w ielolinijkowy wzór ma nie m ieć żadnego numeru, wtedy
umieszczamy go w środowisku eqnarray*
7
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x-\frac{x^3}{3!} + \fra c{x^5}{5!}-\nonumbe r\\
& & -\frac{x^7}{7!} + \cdots
\end{e qnarray}
= jest otoczone dwoma && bo chodzi o to by nam ładnie wyrównał do tego
1 kolum na tablicy
X
Y
druga kolum na tablicy
=
=
trzecia kolum na
4
2x
Pakiet amsmath, wzory wielolinijkowe
Pakiet amsmath zawiera definicje wielu pożytecznych poleceń, między
innymi środowiska ułatwiające pisanie wielolinijkowych wzorów.
Środowisko gather
Środow isko gather stosuje się do zapisywania w ielu wzorów jeden
pod drugim. Wzory są umieszczane w osobnych liniach, każdy jest
wyśrodkowany i zanumerowany. Każda linia, z wyjątkiem ostatniej, ma być
zakończona zna kiem \\ .Nie może być pustych linii wewnątrz środowiska.
Przy kład 1.
x + 2xy — y = 3 — xy
3x — 2y + 13 = 2 — x
x + y — 1 = 3xy
(3)
(1)
(2)
\begin{gather}
X^2+2xy-y ^2=3-xy\\
3x-2y^3+13=2-x^2\\
x+y-l=3xy
\end{gather}
NIE MOŻE BYĆ PUSTYCH LINII WEW NĄTRZ ŚRODOW ISKA!!!
Jeżeli chcemy, aby któraś z linii nie m iała numeru, wówczas przed jej
złamaniem um ieszczamy polecenie \notag lub \nonum ber. Jeśli nie chcemy
numerować żadnej z linii, wówczas używamy środowiska gather*
Środowisko multline
W środowisku multline kolejne linie wzoru rozmieszczane są w taki sposób,
że pierwsza jest dosunięta do lewego marginesu, ostatnia do prawego a środkowe w
miarę możliwości wycentrowane. Wzór jest numerowany jednym numerem
umieszczonym w ostatniej linii. Jeśli nie chcemy numerować wzoru to umieszczamy
go w środowisku z gwiazdką (multline*). Każda linia, z wyjątkiem ostatniej, ma być
zakończona znakiem \\. Nie może być pustych linii wewnątrz środowiska.
8
Przykład 2.
\begin{multline}
x_l+x_2+x_3 +2k(x_l+x_2+x_3)+3z(x_l+x_2+x_3)\\
+x_4+x_5+x_6+x_7 -4y(x_l+x_2+x_3)\\
+x_8+x_9 -z(x_l+x_2+x_3 )
\end{multline}
Środowisko align
Środowisko align pozwala na napisanie wzorów wyrównanych w kolumnach.
Odstępy między kolumnami są dopasowywane przez program według z góry
zadanych reguł.
WYSTĘPUJE TYLKO JEDEN &!
Przykład 3.
x +y +z
2x — 3y + z
y —4z
= 23
= x — 4y — 1
= 21
(5)
(6)
(7)
\begin{align}
x+y+z &= 23\\
2x-3y+z &=x^2-4y^2-1\\
Y^4-4z^2 &=21
\end{align}
Czyli znów przy pomocy & przechodzimy do następnej kolumny,. Znak & wskazuje
miejsce wyrównywania, każda linia musi być złamana znakiem \\. Każda linia jest
opatrzona numerem. Jeśli nie chcemy w ogóle numerować wzoru, wtedy mamy do
dyspozycji formę align*, natomiast gdy chcemy zanumerować tylko jedną linię,
wtedy w pozostałych, przed zakończeniem linii umieszczamy polecenie \nonumber
lub \notag.. W tym środowisku występuje tak jakby tylko jedna duża, ale za to
ładnie wyglądająca kolumna.
TO JEST ŚRODOWISKO MATEMATYCZNE
Środowisko alignat
Środowisko alignat również pozwala na rozmieszczenie wzorów w wyrównanych kolumnach, jednak, inaczej niż w przypadku align, samo nie decyduje o
wielkości odstępu między wyrównywanymi kolumnami. Użytkownik musi tę
odległość podać sam. Należy również podać, w ilu kolumnach będziemy um ieszczać i
wyrównywać wyrażenia. Każda linia jest zaopatrzona w numer, jeśli nie chcemy w
9
ogóle numerować wzoru, wtedy mamy do dyspozycji formę alignat*, natomiast gdy
chcemy zanumerować tylko jedną linię, wtedy, jak w innych środowiskach, przed
zakończeniem linii umieszczamy polecenie \nonumber lub \notag. Środowisko to jest
szczególnie użyteczne gdy chcemy uzyskać kilka kolumn z krótkimi, wyrównanymi
równościami.
TU STOSUJEMY WSZĘDZIE & GDZIE TEGO POTRZEBA
Przykład 4.
f(x)
= x + 2y
h(x)
=x +1
g(x) = x — y
k{x) = y
(8)
(9)
\begin{alignat}{2}
f(x) &= x+2y & \qquad g(x)&= x-y \\
h(x) &= x^2+1 & \qquad k(x) &= y^2
\end{alignat}
Uwaga: Jeżeli wyrównywanych jest n kolumn w środowisku
wówczas musimy umieścić w każdej linii 2n-1 znaków &.
alignat, to
Aligned, gathered
Środowisko aligned i gahered są podobne do align i gather lecz traktuje
wielolinijkowy wzór jako jedną całość, a nie jako poszczególne linie jak wcześniej.
Aligned i gathered NIE SĄ SAME W SOBIE ŚRODOWISKAMI MATEMATYCZNYMI I
DOPIERO wymagają umieszczenia w środowisku matematycznym numerowania
quation lub nienumerowanym czyli pomiędzy znakami dwóch dolarów bo te
środowiska nie są numerowane.
Ponieważ wszystkie linie wzoru są t traktowane jak jedno wyrażenie, możliwe
jest umieszczenie obok siebie dwóch wielolejkowych wzorów jak również łączenie
obu tych środowisk, tak jak w poniższych przykładach.
Staramy się w całym dokumencie składać wzory tak samo w tym samym
środowisku.
$$
\begin{aligned}
x&=4\\
y&=2x\\
z&=3x-y
\end{aligned}
\textrm{\qquad gdy \quad}
\begin{gathered}
x>0\\
y>3\\
z<y-x
\end{gathered}
10
$$
I tu już w tym układzie jeśli nie chcemy mieć numerka to nie mamy, nie
potrzebujemy nonumber bo jest w środowisku $$ czyli nienumerowanym.
Split
Środowisko Split stosujemy , gdy musimy zapisać bardzo długi
niemieszczący się w jednej linii wzór. Środowisko matematyczne zawierające go
traktuje Split jako jedną równość, generuje wiec tylko jeden numer. Środowisko Split
musi być umieszczone w innym środowisku matematycznym, takim jak np.
equation, align, gather. Czyli jak chcemy numer to umieszczamy to w środowisku
numerującym itp.
\begin{equation}
\begin{split}
&(x_1x_2x_3x_4)^2\\
&(x_5x_6x)^2+(x_8x)^2
\end{split}
\end{equation}
Gdy mamy & na początku linii jak wyżej to dociągnie ładnie do lewej strony, bez nich
będzie wyrównywał do prawej.
Środowisko cases
Pozwala ono na napisanie poniższego przykładu:
f ( x)
x
gdy x
5
0
gdy 0
x
(10)
5
x dla pozostalych
\begin{equation}
f(x)=
\begin {cases}
x &\text{gdy $x>5$}\\
0 &\text{gdy $0\ge x\ge 5$}\\
-x &{dla pozostałych}\\
\end{cases}
\end{equation}
Czyli napisaliśmy \text zamiast \textrm
11