Zestaw 1: Kombinatoryka 1. Ile różnych liczb dziewięciocyfrowych

Zestaw 1: Kombinatoryka
1. Ile różnych liczb dziewięciocyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, . . . , 9 tak, aby żadna cyfra w liczbie
nie powtarzała się? Jakie jest prawdopodobieństwo, że tak otrzymana liczba jest podzielna przez 5?
2. Cyfry od 0 do 9 ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) między 0 i 1 znajdą się dokładnie 4 cyfry?
b) cyfry 7, 8 i 9 będą stały obok siebie?
3. W pudełku jest 6 śrubek dobrych i 2 złe. Jaka jest szansa, że przy wyborze 4 śrubek wybierze się 3
dobre i 1 złą?
4. W urnie są 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne:
wyciągnięcie kul tego samego koloru czy różnych kolorów?
5. Grający w totolotka stawia na wylosowanie sześciu liczb, które wybiera się spośród liczb od 1 do
49. Ile zakładów należy zawrzeć, aby zagwarantować sobie sześć trafień. Jakie jest prawdopodobieństwo
dokładnie k trafień, k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}?
6. W zawodach bierze udział 10 atletów. Ile jest możliwych różnych wyników odnośnie do trzech pierwszych miejsc
a) z uwzględnieniem kolejności,
b) bez uwzględnienia kolejności.
7. W turnieju tenisowym bierze udział 16 zawodników. Na ile różnych sposobów można wytypować 4
zawodników, którzy wejdą do półfinału? Czy liczba możliwych przewidywań zmieni się, jeżeli poznamy
układ zawodników na drabince?
8. Uczestnik zakładów totalizatora piłkarskiego typuje wyniki 12 spotkań piłkarskich. Możliwe typowania
to: remis, zwycięstwo gospodarzy, zwycięstwo gości. Ile co najmniej kuponów należy oddać, aby mieć
pewność 12 trafień, tzn. przewidzieć właściwe wyniki wszystkich dwunastu spotkań?
9. W grze w skata z 32 kart rozdaje się po 10 kart między trzech graczy, dwie pozostałe karty kładzie
się do skata. Ile jest różnych sposobów rozdania kart? Wykonać podobne obliczenia dla gry w „tysiąca”
i brydża.
10. Ile jest sposobów ustawienia 5 mężczyzn i 4 kobiet w szeregu, tak aby z obu stron każdej kobiety
stali mężczyźni?
11. Ile jest sposobów ustawienia 10 osób w szeregu, tak aby dwie ustalone osoby
a) stały obok siebie?
b) nie stały obok siebie?
12. W kiosku mamy do wyboru 9 rodzajów różnych widokówek. Ile jest sposobów wysłania po jednej
kartce do czterech znajomych?
13. Mamy 5 widokówek kolorowych i 5 czarno-białych. Na ile sposobów można wysłać do każdego z
pięciu znajomych po jednej widokówce kolorowej i jednej czarno-białej?
14. Ile różnych „wyrazów” można utworzyć ze słowa MATEMATYKA?
15. Dziecko bawi się literkami M,M,A,A,A,T,T,E,Y,K. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ułoży słowo
MATEMATYKA?
16. Ile różnych sznurów korali można utworzyć, tak aby każdy sznur zawierał 4 korale w kolorze czerwonym, 2 w kolorze białym, 3 w kolorze zielonym i 2 w kolorze niebieskim.
17. Ile różnych sznurów złożonych z 11 korali można zbudować mając do dyspozycji dowolną liczbę
koralików czerwonych, białych, niebieskich i zielonych.
18. Ile różnych zestawów po 11 koralików można utworzyć mając do dyspozycji koraliki w kolorze czerwonym, białym, niebieskim i zielonym.
19. Cylindryczny zamek cyfrowy ma cztery współosiowe pierścienie, na każdym z nich znajduje się po
sześć cyfr. Przy pewnym ustawieniu cyfr można zamek otworzyć. Ile prób trzeba podjąć w najbardziej
niesprzyjającym przypadku, aby otworzyć zamek?
20. Rzucamy jednocześnie kostką czarną i białą. Wyznaczyć liczbę rzutów, w których:
a) liczba oczek, które ukazały się na białej kostce jest mniejsza od liczby oczek, które wypadły na
czarnej kostce;
b) liczba oczek, które ukazały się na czarnej kostce nie jest mniejsza od liczby oczek, które wypadły
na białej kostce.
21. Ile różnych wyników można uzyskać rzucając
(a) trzema jednakowymi kostkami jednocześnie?
(b) trzema różnokolorowymi kostkami jednocześnie?
(c) rzucając jedną kostką 3 razy?
22. Ile różnych dzielników naturalnych ma liczba a) 2310; b) 65536; c) 1000000; d) 18000 ?
23. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania a) dokładnie 1 pary, b) dokładnie trójki (nie fulla i nie
karety) w pokerze.
24. Z 52 kart wybrano 13. Jakie są szanse otrzymania:
a) 5 pików, 4 kierów, 3 trefli, 1 kara?
b) układu 5-4-3-1?
c) układu 5-3-3-2?
25. Na ile sposobów można podzielić 12 pączków między 4 osoby, tak by każda dostała a) przynajmniej
1, b) przynajmniej 2 pączki?
26. W stawie pływa 2500 ryb. Ze stawu wyłowiono 200 ryb, oznakowano i wrzucono z powrotem do
stawu. Po pewnym czasie wyłowiono 100 ryb. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest wśród nich 8 ryb
oznakowanych?
27. Jaka jest szansa, że spotkam na przyjęciu osobę obchodzącą urodziny tego samego dnia co ja? Ile
powinno być osób na przyjęciu, żeby ta szansa przekroczyła 1/2?