Zadania z matematyki dyskretnej

Zadania z matematyki dyskretnej
dla studentów II roku informatyki
Zestaw 2
1. Ile różnych liczb dziewięciocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,...,9 tak, aby żadna cyfra w liczbie nie
powtarzała się ?
2. Grający w totolotka stawia na wylosowanie sześciu liczb, które wybiera się spośród liczb od 1 do 49.
Ile zakładów należy zawrzeć, aby zagwarantować sobie sześć trafień. Ile jest takich zakładów, w których
żadna liczba nie jest przewidziana trafnie, a ile takich, w których co najwyżej jedna, co najwyżej dwie, co
najwyżej trzy, co najwyżej cztery albo co najwyżej pięć liczb jest przewidzianych trafnie ?
3. W zawodach bierze udział 10 atletów. Ile co najmniej różnych wyników odnośnie do trzech pierwszych
miejsc należy przewidzieć
a) z uwzględnieniem kolejności;
b) bez uwzględnienia kolejności;
aby mieć pewność, że spełni się przynajmniej jedna przepowiednia ?
4. W turnieju tenisowym bierze udział 16 zawodników. Na ile różnych sposobów można wytypować 4 zawodników, którzy wejdą do półfinału ? Czy liczba możliwych przewidywań zmieni się jeżeli poznamy wyniki
losowania par rozgrywających pierwsze eliminacje.
5. Uczestnik zakładów totalizatora piłkarskiego przepowiada wyniki 12 różnych spotkań piłkarskich. Jako
wyniki spotkań w grę wchodzą: remis, zwycięstwo gospodarzy, zwycięstwo gości. Ile co najmniej kuponów
należy oddać, aby mieć 12 trafień, tzn. przewidzieć właściwe wyniki wszystkich dwunastu spotkań ?
6. W grze w skata z 32 kart rozdaje się po 10 kart między trzech graczy, dwie pozostałe karty kładzie się
do skata. Ile jest różnych sposobów rozdania kart ? Wykonać podobne obliczenia dla gry w ”tysiąca” i w
brydża ?
7. Ile jest sposobów ustawienia 5 mężczyzn i 4 kobiet w szeregu tak aby z obu stron każdej kobiety stali
mężczyźni ?
8. Ile jest sposobów ustawienia 10 osób w szeregu, tak aby dwie ustalone osoby
a) stały obok siebie ?
b) nie stały obok siebie ?
9. W kiosku mamy do wyboru 9 rodzajów różnych widokówek. Ile jest sposobów wysłania po jednej kartce
do czterech znajomych ?
10. Mamy 5 widokówek kolorowych i 5 czarno-białych. Na ile sposobów można wysłać do każdego z pięciu
znajomych po jednej widokówce kolorowej i jednej czarno-białej ?
11. Ile różnych ”wyrazów” można utworzyć ze słowa MATEMATYKA ?
12. Ile różnych sznurów korali można utworzyć, tak aby każdy sznur zawierał 4 korale w kolorze czerwonym,
2 w kolorze białym, 3 w kolorze zielonym i 2 w kolorze niebieskim.
13. Ile różnych sznurów złożonych z 11 korali można zbudować mając do dyspozycji dowolną liczbę koralików
czerwonych, białych, niebieskich i zielonych.
14. Ile różnych zestawów po 11 koralików można utworzyć mając do dyspozycji koraliki w kolorze czerwonym,
białym, niebieskim i zielonym.
15. Cylindryczny zamek cyfrowy ma cztery współosiowe pierścienie, na każdym z nich znajduje się po sześć
cyfr. Przy pewnym ustawieniu cyfr można zamek otworzyć. Ile prób trzeba podjąć w najbardziej niesprzyjającym przypadku, aby otworzyć zamek ?
16. Rzucamy jednocześnie kostką czarną i kostką biała. Wyznaczyć liczbę rzutów, w których
a) liczba oczek, które ukazały się na białej kostce jest mniejsza od liczby oczek, które wypadły na czarnej
kostce;
b) liczba oczek, które ukazały się na czarnej kostce nie jest mniejsza od liczby oczek, które wypadły na
białej kostce.
17. Ile jest różnych wyników rzucając
(a) trzema jednakowymi kostkami jednocześnie?
(b) trzema różnokolorowymi kostkami jednocześnie ?
(c) rzucając jedną kostką 3 razy ?
18. Ile różnych dzielników naturalnych ma liczba
a) 2310 ;
b) 65536;
c) 1000000;
d) 18000.
19. Ile jest różnych sposobów pomalowania szachownicy (8 x 8) a) dwoma kolorami; b)trzema kolorami ?
20. Obliczyć na ile różnych sposobów można k przedmiotów rozmieścić w n pudełkach uwzględniając wszystkie możliwe zestawiania następujących warunków:
a) przedmioty są rozróżnialne lub nierozróżnialne.
b) pudełka są rozróżnialne lub nierozróżnialne.
c) każde pudełko może zawierać co najwyżej jeden przedmiot lub może zawierać dowolną liczbę przedmiotów.
21. W czasie pierwszej wojny światowej toczyła się bitwa w pobliżu pewnego zamku. Jeden z pocisków rozbił
stojącą u wejścia do zamku statuą rycerza z piką w ręku. Stało się to ostatniego dnia miesiąca. Iloczyn daty
dnia, numeru miesiąca, wyrażonej w stopach długości piki, połowy wyrażonego w latach wieku dowódcy
baterii strzelającej do zamku oraz połowy wyrażonego w latach czasu, jaki stała statua, równa sią 451
066. W którym roku postawiono statuę?
22. W pewnej szkole 64 uczniów bierze udział w pięciu olimpiadach przedmiotowych. W każdej z tych olimpiad
uczestniczy co najmniej 19 uczniów tej szkoły; żaden z nich nie jest uczestnikiem więcej niż trzech olimpiad.
Udowodnić, że jeżeli każde trzy olimpiady mają wspólnego uczestnika, to pewne dwie maja ich co najmniej
pięciu.