Matematyka

Matematyka
od podstaw do matury
czyli
Everest
w zasięgu Twojej dłoni
Drogi Czytelniku
W tej książce pragnę nauczyć Cię matematyki. W prosty i przyjazny
sposób wytłumaczę Ci teorię i przećwiczymy ją na zadaniach omawiając
krok po kroku kolejne etapy ich rozwiązywania.
Zapraszam Cię na wspólną wędrówkę i mocno trzymam kciuki za
Twoje powodzenie.
Renata Bednarz
Projekt autorski. Treść, opracowanie merytoryczne i graficzne,
skład i przygotowanie książki do druku
Renata Bednarz
Fotografie na okładce z prywatnego albumu autorki:
1. Mt Everest, widok na szczyt podczas trekkingu w Himalajach.
2. Z grupą indyjskich uczniów.
Dziękuję moim przyjaciołom za dobre słowo i wsparcie podczas
pisania tej książki. Szczególne podziękowanie kieruję do Bartosza
Dereszowskiego za techniczną współpracę i jego zaangażowanie.
Copyright by Renata Bednarz
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Zamawianie książki drogą internetową:
e-mail: [email protected]
www.zielonagalazka.pl
Druk i oprawa: Drukarnia „Kolumb”.
Wydanie I – rok 2010
ISBN 978-83-931016 -1-0
Dlaczego powstała ta książka.
Napisałam ją, aby służyła Ci jako matematyczny przewodnik i była
Twoim przyjacielem od początku do końca; od nauki tabliczki mnożenia
aż do całki.
Pragnę, aby ta książka prowadziła Cię do ciekawości i satysfakcji
kiedy uda Ci się opanować przerabiany materiał, aby kształtowała
Twoją wyobraźnię i logiczne myślenie.
To wydanie kieruję do uczniów, którzy:
- Przygotowują się do bieżących lekcji i do matury,
- Chcą mieć całą matematykę w jednym tomie,
- Lubią wędrować po pasjonujących matematycznych ścieżkach.
Tematy opracowałam według wymagań programowych w szkole.
Książka jest prosta w użyciu, wydana na matowym papierze, aby nie
męczyła oczu i tak sklejona, że można ją bez obaw przełamywać
w dowolnym miejscu.
Jeśli będziesz mieć jakieś uwagi, spostrzeżenia czy opinie, ucieszę się,
kiedy do mnie napiszesz.
Pozdrawiam Cię serdecznie
Renata Bednarz
SPIS TREŚCI
1. Witaj w świecie liczb rzeczywistych ..................................................................... 14
2. Poznajemy nazwy zbiorów liczb ......................................................................... 15
Cyfry arabskie i rzymskie ......................................................................................... 17
Liczby pierwsze i złożone ........................................................................................ 18
Wielkie liczby – notacja wykładnicza .................................................................. 18
Najmniejsza wspólna wielokrotność - NWW................................................ 20
Największy wspólny dzielnik - NWD ................................................................... 21
Cechy podzielności ...................................................................................................... 22
3. Zamieniamy jednostki długości ............................................................................. 24
Zamieniamy jednostki powierzchni ..................................................................... 27
Zamieniamy jednostki objętości ............................................................................ 28
Zamieniamy jednostki miary gruntu ................................................................. 29
Zamieniamy jednostki masy .................................................................................... 31
Zamieniamy jednostki czasu ................................................................................... 32
4. Skala .................................................................................................................................. 33
5. Liczby całkowite ........................................................................................................... 37
Dodawanie i odejmowanie ...................................................................................... 37
Mnożenie i dzielenie................................................................................................. 39
6. Ułamki zwykłe ............................................................................................................... 41
Miejsce ułamka na osi ................................................................................................ 41
Dodawanie ...................................................................................................................... 42
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika................................ 42
Odejmowanie ................................................................................................................ 43
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy .................................. 44
Mnożenie ......................................................................................................................... 45
Dzielenie .......................................................................................................................... 45
Potęgowanie .................................................................................................................. 45
Skracanie ułamków ................................................................................................... 46
Rozszerzanie ułamków ............................................................................................ 47
Porównywanie ułamków ......................................................................................... 47
7. Ułamki dziesiętne ......................................................................................................... 49
Dodawanie i odejmowanie .................................................................................... 49
Mnożenie ......................................................................................................................... 49
Dzielenie .......................................................................................................................... 50
Potęgowanie .................................................................................................................. 52
8. Przybliżenia dziesiętne .............................................................................................. 53
9. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny ........................................................... 55
10. Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły..................................................... 57
Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych ............................................ 57
11. Porządkowanie liczb wymiernych ...................................................................... 59
12. Liczby niewymierne.................................................................................................. 60
Ułamek okresowy – jaka to liczba? ...................................................................... 61
13. Kolejność wykonywania działań.......................................................................... 63
Zastosowanie kolejności w zadaniach .............................................................. 64
14. Procenty ........................................................................................................................ 66
Zamiana ułamka zwykłego na procent .......................................................... 66
Zamiana procentu na ułamek zwykły lub dziesiętny .............................. 66
Obliczanie procentu z danej liczby................................................................... 67
Obliczanie liczby mając dany jej procent ..................................................... 67
Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? .................................... 67
Obliczanie odsetek od lokaty ................................................................................. 68
Kapitalizacja odestek podczas roku kalendarzowego.................................. 69
Obniżka i podwyżka procentowa.......................................................................... 70
15. Wyrażenia algebraiczne – witamy literki ......................................................... 72
Najważniejsze nazwy wyrażeń algebraicznych .............................................. 72
Działania na wyrażeniach algebraicznych ........................................................ 75
Dodawanie i odejmowanie ...................................................................................... 75
Mnożenie ......................................................................................................................... 76
Dzielenie .......................................................................................................................... 77
Potęgowanie .................................................................................................................. 77
Wzory skróconego mnożenia ................................................................................. 79
Doprowadzanie wyrażeń do najprostszej postaci ..................................... 81
16. Jak rozwiązywać równania .................................................................................... 82
Proporcja w równaniu............................................................................................... 88
Proporcja w zadaniu tekstowym .......................................................................... 89
17. Wykres proporcjonalności prostej...................................................................... 91
18. Proporcjonalność odwrotna .................................................................................. 92
Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych ..................................... 92
Wykres proporcjonalności odwrotnej ................................................................ 93
19. Przekształcanie wzorów ........................................................................................ 94
20. Zadania tekstowe z jedną niewiadomą.............................................................. 95
Zadania różne ................................................................................................................ 96
Zadania o wieku ........................................................................................................... 98
Z miasta A i B wyjeżdżają dwaj motocykliści ................................................... 99
Roztwory procentowe ............................................................................................... 99
21. Przedziały domknięte i otwarte .........................................................................102
Przedziały z nieskończonością w nawiasie ...................................................103
22. Nierówności z jedną niewiadomą......................................................................104
Co oznacza zwrot w nierówności ........................................................................104
Zmiana zwrotu w nierówności ............................................................................106
Rozwiązujemy nierówności ................................................................................106
23. Pierwiastek kwadratowy ......................................................................................108
Pomocnicza tabelka pierwiastków i kwadratów liczb ...............................108
Obliczanie pierwiastków kwadratowych ........................................................109
Działania na pierwiastkach .................................................................................110
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków .......................................................110
Mnożenie sum i różnic, które zawierają pierwiastki ................................111
Skracanie pierwiastków ........................................................................................111
Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka.................................................112
Włączanie liczby pod znak pierwiastka ........................................................113
Uwalnianie mianownika od pierwiastka ......................................................113
24. Pierwiastek sześcienny..........................................................................................116
Tabelka pierwiastków i sześcianów liczb........................................................116
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek sześcienny ..................................117
Włączanie czynnika pod znak pierwiastka .....................................................118
Uwymiernianie mianownika z pierwiastkiem sześciennym ...................119
25. Działania na zbiorach A, B ....................................................................................120
Suma, iloczyn i obie różnice ..................................................................................121
Dopełnienie zbioru ...................................................................................................121
Działania na przedziałach ....................................................................................122
26. Logika ...........................................................................................................................125
Alternatywa .................................................................................................................125
Koniunkcja ....................................................................................................................125
Implikacja .....................................................................................................................126
Równoważność ...........................................................................................................126
Logiczne tabelki..........................................................................................................127
27. Układ współrzędnych ............................................................................................ 129
Symetrie w układzie współrzędnych ................................................................ 129
28. Funkcja – definicja................................................................................................... 130
Sposoby prezentowania funkcji ........................................................................ 131
Zestaw własności każdej funkcji ....................................................................... 132
Dziedzina funkcji ...................................................................................................... 133
Miejsce zerowe funkcji .......................................................................................... 135
Monotoniczność funkcji .......................................................................................... 136
Parzystość i nieparzystość funkcji ..................................................................... 137
29. Wartość bezwzględna ............................................................................................ 138
Wykres wartości bezwzględnej ......................................................................... 139
Wykres wartości bezwzględnej przesunięty o wektor......................... 139
Równania i nierówności z wartością bezwzględną..................................... 140
Równanie z dwoma wartościami bezwzględnymi .................................. 142
Nierówność z dwoma wartościami bezwzględnymi .................................. 143
30. Funkcja liniowa ........................................................................................................ 145
Analiza własności funkcji liniowej ..................................................................... 145
Warunek równoległości i prostopadłości prostych .................................... 148
Parametr w funkcji liniowej............................................................................... 148
Postać kierunkowa i ogólna prostej ............................................................... 151
Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty................................... 152
Tangens kąta nachylenia prostej do osi x ....................................................... 154
31. Układ równań z dwiema niewiadomymi ........................................................ 156
Metody rozwiązywania układów równań ....................................................... 157
Porządkowanie układu równań ........................................................................ 160
Przykład układu nieoznaczonego ..................................................................... 162
Przykład układu sprzecznego .............................................................................. 162
Układ równań z trzema niewiadomymi ........................................................... 163
Zadania tekstowe na układ równań................................................................... 165
Układ nierówności liniowych ............................................................................. 170
32. Wzór funkcji w symetrii i translacji................................................................. 172
Symetria względem osi x...................................................................................... 172
Symetria względem osi y ........................................................................................ 173
Symetria względem punktu (0,0) ....................................................................... 174
Translacja, czyli przesunięcie wykresu o wektor ........................................ 175
33. Funkcja kwadratowa .............................................................................................. 179
Elementarne parabole ............................................................................................. 180
Własności funkcji kwadratowej .......................................................................... 181
Wpływ delty i współczynnika „a” na wykres paraboli ...............................187
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej .........................................................188
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.........................................................190
Wzory Viete’a, czyli minus baca ..........................................................................192
Równania kwadratowe ...........................................................................................195
Równania kwadratowe zupełne ..........................................................................195
Równanie kwadratowe niezupełne ...................................................................197
Równania kwadratowe iloczynowe ...................................................................199
Równania dwukwadratowe ..................................................................................201
Nierówności kwadratowe ......................................................................................203
Nierówności kwadratowe zupełne ....................................................................203
Nierówności kwadratowe niezupełne ..............................................................205
Zadania tekstowe z funkcją kwadratową ........................................................209
Parametr w funkcji kwadratowej .......................................................................212
Założenia do równań z parametrem..................................................................212
Założenia do nierówności z parametrem ........................................................215
34. Wielomiany ................................................................................................................217
Dodawanie ....................................................................................................................218
Odejmowanie ..............................................................................................................218
Mnożenie .......................................................................................................................219
Dzielenie ........................................................................................................................219
Równość wielomianów ...........................................................................................223
Rozkład wielomianu na czynniki ........................................................................224
Metody rozkładania wielomianu na czynniki ................................................225
Twierdzenie Bezout’a ..............................................................................................229
Równania wielomianowe .......................................................................................233
Równania rozłożone na czynniki ........................................................................233
Równania wielomianowe nierozłożone na czynniki ..................................235
Nierówności wielomianowe..................................................................................238
Wykres fali potrzebny do nierówności.............................................................238
Nierówności rozłożone na czynniki ...................................................................240
Nierówności nierozłożone na czynniki ............................................................242
Parametr w wielomianie ........................................................................................246
35. Funkcja wymierna ...................................................................................................248
Własności funkcji .......................................................................................................248
Postać kanoniczna funkcji wymiernej ..............................................................251
Zamiana funkcji homograficznej na postać kanoniczną ............................255
Działania na wyrażeniach wymiernych ...........................................................257
Skracanie wyrażeń wymiernych ......................................................................... 258
Mnożenie i dzielenie................................................................................................. 259
Dodawanie i odejmowanie .................................................................................... 261
Równania wymierne ................................................................................................ 263
Różnica między równaniem a nierównością ................................................. 266
Rozwiązujemy nierówności wymierne ............................................................ 267
36. Funkcja potęgowa.................................................................................................... 272
Miliardy wykresów funkcji .................................................................................... 272
Twierdzenia o potęgach ......................................................................................... 274
Pomocny zestaw potęg............................................................................................ 276
37. Funkcja wykładnicza ............................................................................................. 280
Własności funkcji....................................................................................................... 280
Przekształcenia funkcji ........................................................................................... 283
Przesunięcie wykresu o wektor .......................................................................... 283
Miejsce zerowe ........................................................................................................... 284
Równania i nierówności wykładnicze .............................................................. 286
38. Funkcja logarytmiczna........................................................................................... 289
Obliczanie logarytmu z liczby............................................................................... 289
Dziedzina logarytmu ................................................................................................ 293
Twierdzenia o logarytmach .................................................................................. 294
Równania logarytmiczne........................................................................................ 295
Nierówności logarytmiczne .................................................................................. 298
Wykres funkcji logarytmicznej ............................................................................ 300
Własności funkcji logarytmicznej ....................................................................... 301
Przekształcenia wykresów logarytmicznych................................................. 302
39. Geometria – podstawowe pojęcia ..................................................................... 304
Wzór na liczbę przekątnych w wielokącie ...................................................... 306
Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym ............................................... 306
Przekształcenia na płaszczyźnie – symetrie i inne ...................................... 309
Symetria osiowa......................................................................................................... 309
Symetria środkowa względem punktu ............................................................. 309
Translacja, czyli przesunięcie o wektor ........................................................... 310
Obrót figury o kąt ...................................................................................................... 310
Jednokładność............................................................................................................. 311
40. Planimetria – pola i obwody figur ..................................................................... 312
Jak zapisać równanie w planimetrii................................................................... 315
Twierdzenie Pitagorasa .......................................................................................... 316
Obliczanie pól i obwodów z zastosowaniem tw. Pitagorasa ................... 318
Zadania związane z trójkątem równobocznym ............................................320
Twierdzenie Talesa ...................................................................................................323
Podział odcinka na nieparzystą ilość równych części ................................324
Podział odcinka w danym stosunku ..................................................................325
Podział liczby w danym stosunku.......................................................................326
Figury podobne ..........................................................................................................327
Podobieństwo figur w zadaniach tekstowych ...............................................328
41. Funkcje trygonometryczne ..................................................................................330
Definicje sin, cos, tg, ctg...........................................................................................330
Funkcje trygonometryczne na układzie współrzędnych ..........................332
Funkcje dla kątów:
......................................................333
Zamiana stopni na radiany .................................................................................333
Zamiana radianów na stopnie ..............................................................................334
Tabelka wartości funkcji dla
......................................................335
Kiedy funkcje, a kiedy twierdzenie Pitagorasa?............................................335
Obliczanie trzech funkcji mając daną jedną z nich ......................................339
Tożsamości trygonometryczne ............................................................................340
Redukowanie wielkiego kąta do miary kąta ostrego ..................................342
Wzory redukcyjne dla
itp ...............................................344
Konstrukcja kąta w oparciu o dany sin, cos, tg lub ctg ..............................345
Twierdzenie cosinusów i sinusów w trójkącie..............................................348
Równania trygonometryczne ...............................................................................352
Tabelka dla kątów: 0 30 45 60 , 90 180 270 ,360 .........................353
Nierówność trygonometryczna ...........................................................................358
42. Ciągi liczbowe............................................................................................................360
Wzór ciągu i jego zastosowanie ...........................................................................360
Pytania dotyczące wzoru ogólnego ....................................................................361
Wzór rekurencyjny ...................................................................................................362
Wykres ciągu ...............................................................................................................363
Monotoniczność ciągu .............................................................................................364
Ciąg arytmetyczny .....................................................................................................367
Ciąg geometryczny ....................................................................................................373
Połączony ciąg arytmetyczny z geometrycznym ..........................................376
Szereg geometryczny ...............................................................................................380
Zastosowanie szeregu w ułamku okresowym ...............................................382
Indukcja matematyczna ..........................................................................................383
43. Statystyka ................................................................................................................... 384
Średnia arytmetyczna .............................................................................................. 384
Mediana ......................................................................................................................... 384
Dominanta .................................................................................................................... 384
Średnia ważona .......................................................................................................... 385
Wariancja ...................................................................................................................... 385
Odchylenie standardowe........................................................................................ 385
44. Geometria analityczna .......................................................................................... 387
Wzór na długość odcinka, czyli odległość dwóch punktów ..................... 387
Wzór na środek odcinka AB .................................................................................. 387
Wektory ......................................................................................................................... 387
Prostopadłość i równoległość wektorów ........................................................ 390
Iloczyn skalarny wektorów ................................................................................... 391
Równanie prostej ...................................................................................................... 393
Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty ........................................ 395
Prosta równoległa ..................................................................................................... 395
Prosta prostopadła ................................................................................................... 395
Parabola, hiperbola................................................................................................... 395
Równanie okręgu....................................................................................................... 396
Wzajemne położenie dwóch okręgów .............................................................. 399
Odległość punktu od prostej ................................................................................. 400
Pole trójkąta ................................................................................................................ 401
Zadania analityczne z zastosowaniem kilku wzorów ................................ 402
45. Stereometria – co należy powtórzyć ................................................................ 408
46. Graniastosłupy.......................................................................................................... 410
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ................................................................ 410
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ........................................................ 411
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ........................................................ 411
Prostopadłościan ....................................................................................................... 412
Sześcian ......................................................................................................................... 412
Obliczanie objętości i powierzchni graniastosłupów ................................. 413
47. Ostrosłupy .................................................................................................................. 421
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ........................................................................ 421
Czworościan foremny .............................................................................................. 422
Ostrosłup prawidłowy czworokątny................................................................. 423
Ostrosłup czworokątny o podstawie prostokąta ......................................... 424
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ................................................................. 425
Kąty w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym .............................................. 426
Kąty w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ......................................427
Obliczanie objętości i powierzchni ostrosłupów..........................................428
48. Bryły obrotowe .........................................................................................................436
Walec ..............................................................................................................................436
Stożek .............................................................................................................................437
Kula..................................................................................................................................438
Obliczanie objętości i powierzchni walca ........................................................439
Obliczanie objętości i powierzchni stożka ......................................................443
Jak omijać sin, cos, tg mając kąt i bok ................................................................446
Kula w zadaniach .......................................................................................................448
49. Kombinatoryka .........................................................................................................451
Reguła mnożenia .......................................................................................................452
Permutacja ...................................................................................................................457
Skracanie ułamków, w których występuje silnia .........................................457
Zastosowanie permutacji .......................................................................................459
Wariacja z powtórzeniami .................................................................................460
Wyniki rzutów kostką lub monetą .....................................................................461
Zadania na wariację z powtórzeniami ..............................................................462
Wariacja bez powtórzeń .........................................................................................464
Zadania na wariację bez powtórzeń ................................................................464
Kombinacja - symbol Newtona ............................................................................467
Zadania na kombinację............................................................................................468
Szybkie obliczanie kombinacji bez wzoru .......................................................470
Karciane kombinacje ................................................................................................471
Kłopotliwe „co najmniej” i „co najwyżej” .........................................................473
Kombinatoryka – podsumowanie wiadomości .............................................475
50. Rachunek prawdopodobieństwa ......................................................................477
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa .....................................................478
Obliczanie prawdopodobieństwa z wariacji i reguły mnożenia ...........479
Obliczanie prawdopodobieństwa z kombinacji ...........................................485
Metoda drzewka.........................................................................................................489
Wzór na prawdopodobieństwo sumy i iloczynu ..........................................494
Prawdopodobieństwo warunkowe...................................................................496
Niezależność zdarzeń..............................................................................................499
Prawdopodobieństwo całkowite ........................................................................501
Schemat Bernoulliego ..............................................................................................505
51. Granice funkcji .......................................................................................................... 509
Granica na krańcach nieskończoności .............................................................. 509
Granica w punkcie ..................................................................................................... 511
Granica lewostronna i prawostronna ............................................................... 513
52. Pochodna funkcji...................................................................................................... 515
Obliczanie pochodnej z wzorów.......................................................................... 515
Pochodne z funkcji trygonometrycznych ........................................................ 516
Pochodne z pierwiastków ...................................................................................... 516
Pochodna z iloczynu dwóch funkcji ................................................................... 516
Pochodna z ilorazu dwóch funkcji.................................................................. 517
Obliczanie pochodnej z definicji .......................................................................... 518
Pochodna a monotoniczność funkcji ................................................................. 520
Ekstremum funkcji.................................................................................................... 523
Styczna do krzywej ................................................................................................... 524
Pochodna w zadaniu optymalizacyjnym ......................................................... 525
53. Badanie przebiegu zmienności funkcji ............................................................ 528
Przebieg funkcji wielomianowej ......................................................................... 528
Przebieg funkcji wymiernej .................................................................................. 532
54. Asymptoty .................................................................................................................. 536
Asymptota pionowa ................................................................................................. 536
Asymptota pozioma.................................................................................................. 538
Asymptota ukośna..................................................................................................... 539
55. Całka z funkcji .......................................................................................................... 540
Obliczanie całki z wzorów ..................................................................................... 540
Całkowanie przez części ......................................................................................... 543
14
1. WITAJ W ŚWIECIE LICZB RZECZYWISTYCH
Na początku matematycznej drogi poznajesz dodatnie całości. Jeszcze
nie znasz ich „fachowej” nazwy, ale już dodajesz je, odejmujesz, itd.
Powita Cię także tabliczka mnożenia. Jeśli masz z nią kłopoty, to narysuj
sobie tabelkę, która jest poniżej. Potem przepisz ją 8 -10 razy.
Pozornie wyda Ci się to bez sensu, jednak Twój umysł będzie kodował
liczby i ćwiczył pamięć, a o to w nauce chodzi.
Zauważ, że w mnożeniu przez „2” liczby maszerują dwójkami: 2, 4, 6,…
W wierszu „3” maszerują trójkami: 3, 6, 9, 12, 15, 18,…
W wierszu „6” maszerują szóstkami: 6, 12, 18, 24, 30, 36,…
W wierszu „7” maszerują siódemkami: 7, 14, 21, 28, 35, 42,…
Taki logiczny układ jest w całej tabelce:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Zauważ, że w wierszu 9 są liczby: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.
Przy 1 stoi 8, bo 1+8 = 9; przy 2 jest 7, bo 2+7 = 9. Zawsze razem 9.
Tylko na 9 tak jest.
W wolnym czasie choćby na palcach możesz dodawać czwórki, szóstki,
siódemki czy ósemki i oswajać się z tabelkowymi liczbami.
Naucz się dobrze tabliczki mnożenia, wtedy zadania rozwiążesz o wiele
szybciej i będziesz mieć więcej czasu na swoje pasje i zainteresowania.
15
2. POZNAJEMY NAZWY ZBIORÓW LICZB
Na początku poznajesz dodatnie całości. To zbiór liczb naturalnych.
Do nich należy również zero.
Naturalne oznaczamy
N – naturalne
0
1
2
7
23 33 47
Potem dowiadujesz się o liczbach ujemnych. Odczytujesz je np.
z termometru:
Ujemne całości to liczby całkowite. To zbiór,
do którego należą także dodatnie całości, czyli liczby naturalne.
C – całkowite
-1
-4
-9
N – naturalne
0 1 2 3
Liczby naturalne zawierają się
w zbiorze liczb całkowitych
Zapisujemy to
Liczby całkowite to las, w którym
znajduje się polana naturalnych.
Przyszedł czas na ułamki. Są to liczby wymierne: ; 3 ; 12,97.
W – wymierne
1,4
C – całkowite
-1
-4
-9
N – naturalne
0 1 5 23
Wymierne to wyspa W,
na której znajduje się las
a w nim jest polana .
zawiera się w
zawiera się w
zawiera się w
Oprócz liczb wymiernych są jeszcze liczby niewymierne.
Na kalkulatorze ciągną się one w nieskończoność, np. 4,7138492…
– niewymierne
16
Liczby niewymierne nie mają nic wspólnego z wymiernymi,
to zupełnie inna bajka. Jednakże niewymierne i wymierne tworzą cały
świat liczb rzeczywistych.
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH
W
1,72
R
C
N
0
1
7
Nw
W
O 5 powiesz, że to liczba naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista.
O liczbie 3,758 powiesz, że jest wymierna i rzeczywista.
O liczbie
powiesz: naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista.
O liczbie
powiesz, że jest niewymierna i rzeczywista. Gdy wpiszesz
ją do kalkulatora, to okaże się, że jej rozwinięcie jest nieskończone:
Taki zapis przeczytasz:
5
- liczba 5 należy do liczb naturalnych.
- ułamek 0,3 nie należy do liczb naturalnych.
Znak „należy” lub „nie należy” wstawiasz między liczbą i zbiorem.