metody probabilistyczne i statystyka

Transkrypt

METODY PROBABILISTYCZNE
I STATYSTYKA
SYLLABUS
Opracował: prof. nadzw. dr hab. inŜ. Marek Cieciura
Rozkład jazdy w zaświaty zawsze jest niedogodny - Jan Czarny, polski poeta, fraszkopisarz,
prozaik, satyryk, tłumacz, autor
scenariuszy filmów animowanych, plastyk
Warszawa, wrzesień 2015
Ostatnia aktualizacja: czwartek, 28 stycznia 2016 15:48
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – SYLLABUS
SPIS TREŚCI
1. ROZLICZENIE GODZINOWE ......................................................................................3
2. CELE ZAJĘĆ Z PRZEDMIOTU ....................................................................................3
3. ORGANIZACJA ZAJĘĆ.................................................................................................3
3.1. KLUCZOWE ZAŁOśENIA .................................................................................................3
3.2. TEMATY WYKŁADÓW ....................................................................................................4
3.3. TEMATY ĆWICZEŃ.........................................................................................................5
4. DODATKOWE MATERIAŁY ELEKTRONICZNE .....................................................5
4.1. KRZYśÓWKA ................................................................................................................5
4.2. TEST 1 ..........................................................................................................................5
4.3. TEST 2 ..........................................................................................................................6
4.4. ZADANIA Z LUKAMI.......................................................................................................6
4.5. ZADANIA OPISOWE ........................................................................................................7
5. OCENA POSTĘPÓW STUDENTA ................................................................................7
5.1. ĆWICZENIA ...................................................................................................................7
5.2. PORTAL ZAWIERAJĄCY DODATKOWE MATERIAŁY ELEKTRONICZNE .................................8
5.3 EGZAMINY.....................................................................................................................9
5.3.1. Zaliczenie przedmiotu na podstawie aktywności w semestrze.................................9
5.3.2. Egzamin w terminie podstawowym ........................................................................9
5.3.3. Egzaminy poprawkowe........................................................................................10
6. LITERATURA ...............................................................................................................10
6.1. PODSTAWOWA ............................................................................................................10
6.2. DODATKOWA ..............................................................................................................10
7. PODSUMOWANIE........................................................................................................10
7.1. KLUCZOWY CEL PRZEDMIOTU......................................................................................10
7.2. ŹRÓDŁA INFORMACJI...................................................................................................10
7.3. PUNKTY DODATKOWE .................................................................................................10
2
1. ROZLICZENIE GODZINOWE
Rodzaj studiów
Razem
Wykłady
Ćwiczenia
Stacjonarne
60
30
30
Niestacjonarne
32
16
16
2. CELE ZAJĘĆ Z PRZEDMIOTU
Przyswojenie wiedzy w zakresie:
• Podstawowych pojęć i metod rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.
• Formułowania problemów w kategoriach rachunku prawdopodobieństwa i statystyki, zasad wyboru i stosowania odpowiednich metod do ich rozwiązywania oraz umiejętności interpretacji uzyskiwanych wyników.
• Funkcjonalności narzędzi obliczeniowych dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa
i statystyki.
Opanowanie umiejętności w zakresie:
• Obliczania prawdopodobieństw
• Estymacji parametrów rozkładu
• Weryfikacji hipotez statystycznych.
• Oceny zaleŜności statystycznej i korelacji dwóch zmiennych.
• Wykorzystania arkusza Excel w rozwiązywaniu zadań z rachunku prawdopodobieństwa
i statystyki.
3. ORGANIZACJA ZAJĘĆ
3.1. Kluczowe załoŜenia
W ramach procesu dydaktycznego występują następujące elementy:
• Wykłady, których tematy podano w punkcie 3. 2.
• Dwa repetytoria, których tematy podano w punkcie 3.2.
• Ćwiczenia rachunkowe, których tematy podano w punkcie 3.3.
• Laboratoria, których tematy podano w punkcie 3.3.
• Ankiety dotyczące: przedmiotu, wykładów, ćwiczeń i portalu - dostępne w portalu cieciura.net/ua i uwzględniane w terminie podstawowym
• Dodatkowe materiały elektroniczne, opisane w rozdziale 4
• Oceny postępów studenta, których zasady opisano w rozdziale 5
• Zadania domowe, których zawartość podano w punkcie 5.1.
3
3.2. Tematy wykładów
Lp
Temat
ST
NS
1.
SPRAWY ORGANIZACYJNE: Rodzaje zajęć, Podręcznik, Portal, ebook, Zasady
oceny postępów studenta,
1
1
2.
POJĘCIA WSTĘPNE: Populacja i jej cechy, Szeregi statystyczne, Metody badań
statystycznych, Próba losowa, Części przedmiotu (statystyka opisowa, rachunek
prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna, przykłady zastosowań)
1
1
3.
PODSTAWY STATYSTYKI OPISOWEJ: Zadania statystyki opisowej, Szeregi
statystyczne, Określanie miar opisowych zbiorowości, MoŜliwości obliczania miar
opisowych zbiorowości, Ocena korelacji
3
1
4.
ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO: Zdarzenia elementarne,
Relacje między zdarzeniami, Definicje prawdopodobieństwa, Prawdopodobieństwo warunkowe, P-stwo całkowite i wzór Bayesa, Zdarzenia niezaleŜne
2
1
5.
ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE I DWUWYMIAROWE,
SKOKOWE I CIĄGŁE: Określenie zmiennej losowej, Rodzaje zmiennych los.,
Określanie rozkładu zmiennej losowej, Rozkłady łączne, warunkowe i brzegowe
2
1
6.
PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNYCH LOSOWYCH: Wartość oczekiwana,
Wariancja, Kowariancja i współczynnik korelacji
2
1
7.
WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH: Rozkłady skokowej
zmiennej losowej (dwupunktowy, dwumianowy, geometryczny, Poissona), Rozkłady ciągłej zmiennej losowej (jednostajny, normalny, wykładniczy, chi-kwadrat,
Studenta, Snedecora)
2
1
8.
TWIERDZENIA GRANICZNE: Twierdzenia integralne, Twierdzenia lokalne,
Prawa wielkich liczb
2
1
9.
PODSTAWOWE STATYSTYKI I ICH ROZKŁADY: Pojęcie statystyki, Podstawowe statystyki dla jednej cechy populacji i ich rozkłady (średnia z próby, wariancje z próby), Podstawowe statystyki dla dwóch cech populacji i ich rozkłady
(unormowane róŜnice średnich, iloraz wariancji)
2
1
ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA: Zasady punktowej estymacji
parametru rozkładu, Ocena estymatorów, Przykłady estymatorów, Metody wyzna10. czania estymatorów, Poziom ufności, Budowanie przedziału ufności, Przykłady
przedziałów ufności
3
1
WERYFIKACJA PARAMETRYCZNYCH I NIEPARAMETRYCZNYCH
HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH: Rodzaje hipotez, Konstrukcja i ocena testu,
Przykłady testów parametrycznych (testy do weryfikacji hipotezy o wartości ocze11. kiwanej, testy do weryfikacji hipotezy o równości 2 wartości oczekiwanych, Przykłady testów parametrycznych (test zgodności chi-kwadrat, test niezaleŜności chikwadrat, test zgodności rozkładów dla prób niepowiązanych – test Wilcoxona)
3
2
12. (oszacowanie punktowe i przedziałowe), Weryfikacja hipotezy o współczynniku
3
2
ZAAWANSOWANE METODY STATYSTYCZNE: Regresja wielokrotna, Ana13. liza korelacji kanonicznej, Analiza skupień, Analiza czynnikowa, Wielowymiarowa analiza wariancji i analiza dyskryminacji
2
1
14. REPETYTORIUM
2
1
30
16
ANALIZA KORELACJI I REGRESJI: Szacowanie współczynnika korelacji
korelacji, Równanie regresji, Szacowanie współczynników regresji
Razem
4
3.3. Tematy ćwiczeń
Liczba godzin
Lp
1.
Temat
Statystyka opisowa
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Zmienne losowe
Parametry rozkładu zmiennych losowych
Wybrane rozkłady zmiennych losowych
Praca kontrolna
Estymacja punktowa i przedziałowa
Test t dla 1 próby, test t dla 2 prób niezaleŜnych,
8. test t dla 2 prób zaleŜnych, Test nieparametryczny
dla 2 prób niezaleŜnych
Korelacja Pearsona i Spearmana, analiza regresji
9.
jednej zmiennej
Analiza algorytmów pod względem średniego zachowania, Obliczania niezawodności prostych
10. układów sprzętowych i systemów programowych,
Analiza wydajności prostych układów sprzętowoprogramowych
11. Praca kontrolna
Razem
Laboratoryjne
(arkusz
Excel)
ST
NS
Rachunkowe
(ręcznie)
6
2
+
+
3
3
3
3
1
2
1
1
2
2
1
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
2
+
+
3
2
+
+
2
0
1
30
1
16
+
+
+
+
W extranecie w materiałach dydaktycznych będą sukcesywnie zamieszczane pliki
z przykładowymi danymi do analizy statystycznej.
4. DODATKOWE MATERIAŁY ELEKTRONICZNE
Dodatkowe materiały elektroniczne dostępne są pod adresem http://www.cieciura.net/mp
Z wykorzystaniem zamieszczonych tam narzędzi komunikacji moŜna będzie uzyskać punkty
dodatkowe, uwzględniane przy zaliczaniu przedmiotu – patrz punkt 5.3.
4.1. KrzyŜówka
Na wstępie zamieszczono w trybie NAUKA oddzielne krzyŜówki dla czterech części przedmiotu: STATYSTYKA OPISOWA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA,
STATYSTYKA MATEMATYCZNA, ZASTOSOWANIA PROBABILISTYYKI, składające
się w sumie z 139 haseł.
KaŜda krzyŜówka udostępniana jest w 2 wersjach: elektronicznej i papierowej. Wersja elektroniczna moŜe być rozwiązywana bezpośrednio podczas wyświetlania na ekranie monitora w kaŜdym momencie moŜna sprawdzić poprawność podanych haseł i procent wypełnienia
krzyŜówki. Wersja papierowa składa jest z 2 plików zawierających szablon i objaśnienia haseł, które naleŜy wcześniej wydrukować.
Dodatkowo udostępniono krzyŜówki w postaci elektronicznej dla trybu SPRAWDZANIE.
KrzyŜówki są takŜe dostępne na urządzenia przenośne → instrukcja.
5
4.2. Test 1
Test składa się z 23 pytań jednokrotnego i wielokrotnego wyboru.
W pytaniach jednokrotnego wyboru przy kaŜdej z wyświetlanych odpowiedzi (oznaczanej
małymi literami) występuje przycisk ze znakiem ?.
W pytaniach wielokrotnego wyboru przy kaŜdej z wyświetlanych odpowiedzi (oznaczanej
duŜymi literami) występuje pole wyboru.
W kaŜdym momencie moŜna uzyskać ocenę poprawności wybranych odpowiedzi.
4.3. Test 2
Test składa się z 51 pytań klasyfikacji, porządkowania i przyporządkowania - pogrupowanych
w 4 działy:
1. Rachunek prawdopodobieństwa.
2. Statystyka matematyczna.
3. Procesy stochastyczne i zastosowania metod probabilistycznych w informatyce.
4. Uzupełnienia.
Pytania testu sprawdzają opanowanie wiedzy w zakresie zgrupowanych logicznie pojęć.
W pytaniach klasyfikacji, aby udzielić odpowiedzi dla pozycji wyświetlanej w I rzędzie naleŜy rozwinąć menu dostępne w II rzędzie i wybrać jedną z pozycji.
Pytania przyporządkowania i porządkowania przygotowano w wersji "Przeciągnij i upuść"
(ang. drag and drop).
W kaŜdym momencie moŜna uzyskać ocenę poprawności wybranych odpowiedzi.
4.4. Zadania z lukami
W wersji SPRAWDZANIE zamieszczono 20 zadań (16 teoretycznych + 4 zadania – są oznaczone).
STATYSTYKA OPISOWA
1. Charakterystyki liczbowe
2. Opracowanie danych statystycznych
3. Charakterystyki liczbowe - zadanie
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
4. Zdarzenia losowe
5. Zmienne losowe
6. Parametry rozkładu zmiennych losowych
7. Przykłady skokowych zmiennych losowych
8. Przykłady ciągłych zmiennych losowych
9. Twierdzenia graniczne
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
10. Pojęcia podstawowe statystyki matematycznej
11. Parametryczna estymacja punktowa
12. Parametryczna estymacja przedziałowa
13. Estymacja przedziałowa - zadanie
14. Weryfikacja hipotez parametrycznych
15. Weryfikacja hipotez nieparametrycznych
16. Weryfikacja hipotez statystycznych - zadanie
17. Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych
18. Ocena korelacji i analiza regresji - zadanie
6
ZASTOSOWANIA PROBABILISTYKI
19. Operacje na sygnałach ciągłych
20. Ocena wydajności oprogramowania metodami teorii masowej obsługi
Zadania rozwiązywane z wykorzystaniem arkusza Excel
W kaŜdym z zadań naleŜy ustawić kursor na kolejno wybierane luki i wypełniać je wpisując
stosowny tekst. W kaŜdym momencie moŜna kliknąć na przycisk "Sprawdź". Podawany jest
wtedy % prawidłowo wypełnionych luk. MoŜna zobaczyć teŜ treść poprawnych wypełnień,
napisanych czcionką pogrubioną.
4.5. Zadania opisowe
Zamieszczono 6 tematów:
1. Zmienne losowe i ich rozkłady.
2. Pojęcia wstępne statystyki.
3. Estymacja.
4. Weryfikacja hipotez.
5. Przegląd metod statystycznych.
6. Procesy stochastyczne i zastosowania.
NaleŜy sporządzić charakterystyki zamieszczonych tematów z wykorzystaniem dostępnych
słów kluczowych w postaci haseł pochodzących z krzyŜówki i testów, wybieranych z przewijanej listy. Wybrane słowa kluczowe naleŜy uzupełnić odpowiednim tekstem (w tym objaśnieniami haseł z krzyŜówki i testów), tak aby uzyskać wyczerpujący, spójny i logiczny opis
o wymaganej objętości. Opisy wykonywane są w trybie on line, są one wyświetlane na bieŜąco na ekranie monitora. Po zakończeniu opisu wyświetlana jest "formalna" ocena opisu, bazująca na procencie wykorzystanych haseł i objętości opisu. Formalną ocenę pozytywną warunkuje wykorzystanie co najmniej 51% haseł, ocena ta nie uwzględnia "sensowności" opisu co moŜe dokonać przysłowiowy expert.
4.6. ebook
Opracowanie zawiera krótką charakterystykę 16 tematów metod probabilistycznych.
5. OCENA POSTĘPÓW STUDENTA
5.1. Ćwiczenia
Na ćwiczeniach będą rozwiązywane zadania i pytania testowe z podręcznika podstawowego
oraz udostępnionych materiałów.
KaŜdą nieobecność naleŜy rozliczyć według ustaleń prowadzącego.
Zadania domowe
I) Dla zmiennej losowej X ciągłej o podanej gęstości obliczyć:
a) dystrybuantę zmiennej losowej X,
b) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X,
c) Prawdopodobieństwo uzyskania wartości zmiennej losowej z podanego przedziału [a,b].
II) Zbadano opłaty za kupno przez telefon akcji o ustalonej wartości X wylosowanych biurach
maklerskich (cecha X populacji) i otrzymano, Ŝe średnia opłata wynosi x zł, zaś odchylenie standardowe s zł. Zakładamy, Ŝe cecha X ma rozkład normalny.
a) Znajdź przedział ufności dla wartości oczekiwanej opłaty za kupno akcji przez telefon, na
poziomie ufności 1-α1.
b) Na poziomie istotności 0,05 sprawdź hipotezy: zerową, Ŝe wartość oczekiwana opłaty za
kupno akcji przez telefon jest równa m0 i alternatywną, Ŝe jest róŜna od m0.
c) Znajdź przedział ufności dla wariancji opłaty za kupno akcji przez telefon, na poziomie
ufności α2.
KaŜdy student otrzyma zadanie o róŜnych wartościach x , s, m0, α1 i α2.
7
Podstawa przyznawania punktów na ćwiczeniach
Obecność i aktywność i na ćwiczeniach
Sprawozdania z ćwiczeń laboratoryjnych
Zadania domowe
Dwie prace kontrolne
Liczba punktów
6
6
8
20
Razem
40
Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest uzyskanie co najmniej 21 punktów. Ocena z ćwiczeń
określana jest zgodnie z poniŜsza tabelą:
ndst
dst
dst½
db
db½
bdb
Ocena
Punkty
[0,21)
[21-27)
[27-31)
[31-35)
[35-38)
[38-40)
Za zaliczenie ćwiczeń moŜna uzyskać liczbę punktów dodatkowych równą: Ocena*4, czyli minimalnie 3*4=12 punktów, a maksymalnie 5*4=20 punktów
5.2. Portal zawierający dodatkowe materiały elektroniczne
Podczas semestru moŜna uzyskać punkty dodatkowe za korzystanie z pomocy dydaktycznych
i narzędzi komunikacji, udostępnionych w portalu według zasad podanych poniŜej.
1) Za rozwiązywanie zamieszczonych zadań: krzyŜówek i zadań z lukami
•
Złota odznaka
•
Srebrna odznaka
•
Brązowa odznaka : 70 ≤ Procent poprawnych haseł < 80 - 5 pkt
Procent poprawnych haseł < 70: – 2 pkt
•
: Procent poprawnych haseł ≥ 90 – 15 pkt
: 80 ≤ Procent poprawnych haseł <90 – 10 pkt
Procent poprawnych haseł określany jako iloraz sumy procentów prawidłowych odpowiedzi z 4 krzyŜówek i 20 zadań z lukami wi oraz maksymalnej wartości tej sumy
(4+20)*100 = 24*100=2400
Uzyskane wyniki
UWAGA: Dla stymulowania systematycznej nauki przyjęto następujące rozwiązanie.
Dla poszczególnych narzędzi podany jest preferowany czas nauki - w tym okresie rejestrowane jest 100% poprawnie podanych odpowiedzi/haseł, podane okresy będą obowiązywać przez cały semestr. Poza podanymi okresami rejestrowane jest 50%
poprawnie podanych odpowiedzi/haseł. Dla niektórych narzędzi na bieŜąco podawane
będą krótkie okresy przyjazne studentowi (happy hour) w których rejestrowane będzie 75% poprawnie podanych odpowiedzi/haseł.
2) Za wykorzystanie narzędzi komunikacji
: Wpis do księgi gości i wypełnienie 4 ankiet - 5 pkt
Złota odznaka
Srebrna odznaka
ankiet - 4 pkt
Brązowa odznaka : Wpis do księgi gości i wypełnienie 2 ankiet lub wypełnienie 3
ankiet - 3 pkt
Inna pozycja w zestawieniu – 1 pkt
: Wpis do księgi gości i wypełnienie 3 ankiet lub wypełnienie 4
Uzyskane wyniki
8
5.3 Egzaminy
Warunkiem uczestnictwa w kaŜdym egzaminie jest wcześniejsze zaliczenie ćwiczeń.
Uwzględnia się w/w punkty dodatkowe.
5.3.1. Zaliczenie przedmiotu na podstawie aktywności w semestrze
Zaliczenie
ćwiczeń
Rozwiązywanie krzyŜówek
i zadań z lukami procent poprawnych haseł
Komunikacja
Ocena
[90 - 100]
4
Złota odznaka
Co najmniej 4
[70 – 90)
Jedna z odznak
3,5
Złota odznaka
3,5
Co najmniej 80
Jedna z odznak
3
3
MoŜliwość poprawy w terminie podstawowym – wystawiana jest wyŜsza z ocen.
Zestawienie zbiorcze punktów dodatkowych i zaliczenie przedmiotu
5.3.2. Egzamin w terminie podstawowym
Warunkiem uczestnictwa w egzaminie jest wcześniejsze zaliczenie ćwiczeń.
Egzamin będzie się składał z dwóch części.
• Część I - w laboratorium komputerowym
Zakres: 1 krzyŜówka + 3 zadania z lukami – za kaŜde zadanie max. 15 punktów
· KrzyŜówka z całości terminologii
· 1 zadanie z lukami z całości materiału
· 2 zadania z lukami z wykorzystania arkusza Excel (pierwsze losowane z tematów 313, drugie z 14-18 - ppkt 4.4)
Określenie wyniku I części egzaminu
1. Oblicza się premię uzyskaną za zaliczenia ćwiczeń, wyniki w rankingu oraz wykorzystanie narzędzi komunikacji - max 20 +15 + 5 = 40 punktów
2. Ocenia się składowe egzaminu
x1 – liczba punktów za krzyŜówkę, max 15 punktów
x2 – liczba punktów za zadania z lukami, za kaŜde max 15 punktów, zatem łącznie max
3*15=45 punktów
Maksymalna liczba punktów x = x1 + x2 wynosi więc 15 + 45 = 60.
3. Na podstawie premii (0≤ p≤ 40) i wyniku I części egzaminu x (0 ≤ x ≤ 60) oblicza się
podstawę obliczenia oceny z = p + x (0≤ x≤ 100) oraz określa ocenę zgodnie z tabelą:
Ocena
Punkty
ndst
[0,50)
dst
[50-60)
dst½
[60-70)
db
[70,80]
db½
[80,90)
bdb
[90,100]
Warunkiem oceny pozytywnej jest otrzymanie co najmniej 50% z krzyŜówki
• Część II
Dla chętnych osób, które uzyskały z I części ocenę bdb.
· rozmowa w zakresie terminologii i podstawowych zagadnień
9
· pozostałe sprawdziany (test1, test2, rozsypanki) oraz podstawy teoretyczne metod
probabilistycznych i statystyki matematycznej, łącznie z dowodami wybranych twierdzeń w oparciu o własne notatki
· w przypadku niezgłoszenia lub „słabej” odpowiedzi ocena db½.
5.3.3. Egzaminy poprawkowe
• Warunkiem uczestnictwa jest wcześniejsze zaliczenie ćwiczeń
• Laboratorium komputerowe
• Zakres: jak cz. I egz. w terminie podstawowym + testy + rozsypanki udostępnione w
portalu + dodatkowe zadania obliczeniowe
6. LITERATURA
6.1. Podstawowa
[1] Marek Cieciura, Janusz Zacharski: Podstawy probabilistyki z przykładami zastosowań
w informatyce (udostępniony w postaci elektronicznej w portalu http://cieciura.net/mp/
→ Pomoce → Podręcznik)
6.2. Dodatkowa
[2] Witold Konecki: Statystyka dla inŜynierów, PWN, Warszawa 1999.
[3] Janusz Sosnowski: Testowanie i niezawodność systemów komputerowych, Exit, Warszawa 2005.
[4] Herman Kopetz: Niezawodność oprogramowania, WNT, Warszawa 1980
[5] Krystyna Regina Bąk (red.): Statystyka wspomagana Excelem 2007, Oficyna Wydawnicza WyŜszej Szkoły Handlu i Prawa im. R. Łazarskiego w Warszawie, Warszawa 2010
[6] Thomas W.Pavkov, Kent A. Pierce: Wprowadzenie do SPSS dla Windows, Gdańskie
Wydawnictwo psychologiczne, Gdańsk 2005
[7] Portal „Studia informatyczne” http://wazniak.mimuw.edu.pl – „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka”.
7. PODSUMOWANIE
7.1. Kluczowy cel przedmiotu
Zapoznanie się z wybranymi metodami analizy statystycznej oraz z przykładowymi pakietami
statystycznymi w których są zaimplementowane.
7.2. Źródła informacji
• Wykłady
• Podręczniki
• Portal internetowy
• ebook
7.3. Punkty dodatkowe
Nie jest obowiązkowe:
• Rozwiązywanie krzyŜówek i zadań z lukami
• Wypełnienie ankiet
• Wpisywanie się do Księgi gości
Przyznawane za to punkty dodatkowe mogą spowodować zaliczenie przedmiotu bez egzaminu, a takŜe uzyskanie wyŜszej oceny z egzaminu.
10

metody probabilistyczne i statystyka

Transkrypt

Podobne dokumenty

STATYSTYKA NIELEGALNA ADOPCJA (ART.211A)

statystyka eutanazja (art. 150)

statystyka kazirodztwo (art. 201)

Instytut Statystyki i Demografii Kolegium Analiz - E-SGH

dr аб вд гжеизй еи

kupić samolot

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF

Odznaka Policjanta