Geometria różniczkowa

Witold Bołt
na podstawie wykładu
dr. hab. Andrzeja Szczepańskiego, prof. UG
Geometria różniczkowa
15 czerwca 2007
Uwaga! Jeśli zauważysz jakieś błędy to pisz: Witold Bołt [email protected].
Aktualną wersję tego dokumentu można zawsze znaleźć w Internecie na stronie
domowej autora: http://www.hope.art.pl/skrypty/geom/.
Dziękuję wszystkim, którzy swoją cierpliwością i jakąkolwiek pomocą przyczynili
się do powstania tego tekstu.
Witold Bołt
Spis treści
1 Teoria krzywych
1.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . .
1.2 Podstawowe własności, wzory Freneta
1.3 Wzory Freneta w Rn . . . . . . . . .
1.4 Krzywe w przestrzeni R3 . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Teoria powierzchni
2.1 Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna . . . . . . .
2.3 Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Równania różniczkowe geodezyjnych . . . . .
2.4 Krzywizna powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Krywizna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Druga forma kwadratowa i przekroje normalne
2.4.3 Lokalny układ współrzędnych . . . . . . . . .
2.5 Twierdzenie Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Twierdzenie Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Płaszczyzna hiperboliczna . . . . . . . . . . .
2.6.2 Współrzędne geodezyjne . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta . . . . .
Bibliografia
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
10
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
15
16
16
16
18
21
23
27
28
32
35
39
3
Rozdział 1
Teoria krzywych
Oznaczenia. Literą I będziemy oznaczać przedziały (zazwyczaj domknięte) [a, b]
w R. Niech dana będzie funkcja różniczkowalna f : I → Rn , oraz niech t0 ∈ I. Po(t0 )
chodną f w punkcie t0 oznaczamy f 0 (t0 ) i rozumiemy jako wektor: limh→0 f (t0 +h)−f
.
h
1.1
Podstawowe definicje
Definicja 1.1.1 (krzywa i parametryzacja krzywej). Krzywą γ w przestrzeni Rn
nazywamy dowolny ciągły obraz odcinka I = [a, b].
Funkcję ciągłą c : I → Rn nazywamy parametryzacją krzywej γ, o ile γ = c(I).
W dalszej części tego opracowania będziemy utożsamiać (tam gdzie to możliwe)
krzywą i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy będziemy mówić krzywa). Krzywe
oznaczać będziemy literami c lub γ.
Będziemy zakładać (jeśli nie napisano inaczej), że rozważane przez nas krzywe
są klasy C m dla pewnego m > 0.
Definicja 1.1.2 (krzywa regularna). Mówimy, że krzywa γ jest regularna (ma opis
regularny), gdy:
∀t∈I γ 0 (t) 6= 0.
Przykład 1.1.3. Niech dane będą krzywe, zadane przez parametryzacje: γ1 (t) =
(cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]; γ2 (t) = (cos −2t, sin −2t), t ∈ [0, π]. Obie parametryzacje
opisują tą samą krzywą. Z drugiej strony, zauważmy, że γ1 (0) = γ2 (0) = (1, 0), oraz
γ10 (0) = (0, 1), γ20 (0) = (0, −2). Pochodne wyznaczają tutaj wektory styczne. W obu
przypadkach są one równoległe, jednak różnią się, zależnie od parametryzacji.
Definicja 1.1.4 (długość krzywej). Niech γ : [α, β] → Rn będzie krzywą. Długość
krzywej γ oznaczamy przez L(γ) i definiujemy:
L(γ) =
Z β
α
5
|γ 0 (t)|dt
6
ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH
Definicja 1.1.5 (parametryzacja łukowa). Parametryzacja krzywej γ : I → Rn jest
łukowa o ile:
∀t1 <t2 ∈I L(γ|[t1 ,t2 ] ) = t2 − t1
1.2
Podstawowe własności, wzory Freneta
Stwierdzenie 1.2.1.
1. Regularny opis parametryczny jest opisem łukowym, wtedy i tylko wtedy gdy ∀t∈I |γ 0 (t)| = 1.
2. Każda krzywa regularna klasy C 1 ma łukowy opis parametryczny.
Dowód.
1. Załóżmy, że krzywa ma parametryczny opis łukowy. Wówczas:
d
d Zt 0
|γ (t)| =
|γ (s)|ds = |t − t0 | = 1
dt t0
dt
0
czyli rzeczywiście dla dowolnego t ∈ I zachodzi |γ 0 (t)| = 1.
Załóżmy, teraz że zachodzi ∀t∈I |γ 0 (t)| = 1 i sprawdzimy, czy krzywa γ ma opis
łukowy. Ustalmy t0 ∈ I. Dla t ­ t0 mamy:
L(γ|[t0 ,t] ) =
Z t
0
|γ (s)|ds =
Z t
t0
t0
1ds = t − t0
czyli krzywa ma parametryzacje łukową.
2. Niech c(t) krzywa regularna, oraz t0 ∈ I. Zdefiniujmy funkcję s : I → R
wzorem:
Z t
s(t) = sgn(t − t0 ) |c0 (τ )|dτ.
t0
Funkcja s jest różniczkowalna, ponadto zachodzi: ds
= dc
. Pochodna c nie
dt
dt
zeruje się, więc pochodna s jest zawsze dodatnia, stąd s monotoniczna (rosnąca). Istnieje więc funkcja odwrotna t(s) = s−1 (t). Niech γ(s) = c(t(s)).
Sprawdzimy, że taka γ(s) ma opis łukowy.
dγ ds =
dc dt · dt ds =
ds dt · dt ds = 1.
Przykład 1.2.2.
1. Krzywa (odcinek) c(t) = (αt + x0 , βt + y0 ) jest łukowo sparametryzowana wtedy i tylko wtedy, gdy α2 + β 2 = 1.
2. Łukowy opis parametryczny okręgu o środku (0, 0) i promieniu R ma postać:
s
s
c(s) = R cos , R sin
r
R
s ∈ [0, 2πR]
1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA
7
Stwierdzenie 1.2.3. Jeżeli c : I → Rn jest krzywą różniczkowalną oraz f : Rn →
Rm jest odwzorowaniem różniczkowalnym, to:
∀t0 ∈I (f ◦ c)0 (t0 ) = dfc(t0 ) (c0 (t0 )).
Dowód. Niech f = (f1 , . . . , fm ), gdzie fi : Rn → R. Podobnie niech c = (x1 , . . . , xn ).
Zachodzi wówczas: (f ◦ c)0 = ((f1 ◦ c)0 , . . . , (fm ◦ c)0 ). Ustalmy 1 ¬ k ¬ m. Mamy:
k
X
d
∂fk
dxi
(fk ◦ c) (t0 ) =
(c(t0 ))
(t0 ),
dt
dt
i=0 ∂xi
!
z czego wynika, że:
x01 (t0 )
 . 
 .  = dfc(t ) (c0 (t0 )).
0
 . 

"
(f ◦ c)0 (t0 ) =
#
∂fi
(c(t0 ))
∂xj
i,j

x0n (t0 )
Definicja 1.2.4 (orientacja dodatnia i ujemna). Układ v1 , . . . , vn ∈ Rn ma orientację ujemną (dodatnią), gdy det(v1 , . . . , vn ) < 0 (det(v1 , . . . , vn ) > 0).
Wniosek 1.2.5. W przypadku gdy n = 1 wybór orientacji, to wybór kierunku
poruszania się po prostej.
Zakładamy, że dane są krzywa c : I → R2 , c(s0 ) = p. Oznaczmy kąt między wektorami stycznymi do krzywej c w punktach s0 i s0 + ∆s przez: ∆p ϕ =
^(ċ(s0 ), ċ(s0 + ∆s)), gdzie ċ oznacza pierwszą pochodną c względem s.
Definicja 1.2.6 (krzywizna krzywej). Jeśli c jest zorientowaną krzywą płaską klasy
C 2 , to wielkość:
∆p ϕ
,
Kc (p) = lim
∆s→0 ∆s
nazywamy krzywizną krzywej c w punkcie p.
Definicja 1.2.7 (reper Freneta). Niech c będzie sparametryzowaną łukowo płaską
krzywą zorientowaną dodatnio, a e1 (t), e2 (t) dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną w R2 , taką, że e1 (t) = c0 (t). Wtedy układ e1 (t), e2 (t) nazywamy reperem
Freneta krzywej c w punkcie c(t).
Przykład 1.2.8. Niech c : I → R2 krzywa sparametryzowana łukowo, dana wzorem
c(t) = (x(t), y(t)). Przyjmijmy e1 (t) = (ẋ(t), ẏ(t)), oraz e2 (t) = (−ẏ(t), ẋ(t)). Układ
e1 , e2 jest reperem Freneta krzywej c, ponieważ he1 , e2 i = 0 oraz det[e1 , e2 ] = 1.
Twierdzenie 1.2.9. Niech c krzywa płaska klasy C 2 sparametryzowana łukowo.
Wówczas:
8
ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH
1. Krzywizna jest określona w każdym punkcie.
2. Jeśli e1 , e2 reper Freneta, to zachodzi:
Kc (c(t))e2 (t) = c̈(t)
Kc (c(t)) = hc̈(t), e2 (t)i
|Kc (c(t))| = |ċ(t)|
3. Reper Freneta e1 , e2 spełnia:

c̈
= e01 = Kc e2
e0 = −Kc e1
2
co można zapisać w postaci macierzowej jako:
"
#
"
d e1
0
Kc
=
−Kc 0
dt e2
#"
e1
e2
#
Dowód. Wektory e1 (s), e2 (s) stanowią bazę ortonormalną R2 . Zapiszmy więc wektor
e1 (s + ∆s) w tej bazie:
e1 (s + ∆s) = he1 (s + ∆s), e1 (s)ie1 (s) + he1 (s + ∆s), e2 (s)ie2 (s).
Niech ∆ϕ oznacza kąt ^(e1 (s), e1 (s + ∆s)). Wektory e1 (s), e2 (s) są ortonormalne
(dla każdego s), czyli w szczególności mają długość 1. Stąd iloczyn skalarny wektorów e1 (s) i e1 (s + ∆s) równy jest kosinusowi kąta między nimi:
he1 (s + ∆s), e1 (s)i = cos ∆ϕ.
Podobnie:
he1 (s + ∆s), e2 (s)i = cos ^(e1 (s + ∆s), e2 (s)).
Zauważmy również, że:
^(e1 (s + ∆s), e2 (s)) = ^(e1 (s), e2 (s)) + ^(e1 (s + ∆s), e1 (s)) = π − ∆ϕ
Mamy więc, że:
he1 (s + ∆s), e2 (s)i = sin ∆ϕ.
Czyli ostateczne:
e1 (s + ∆s) = cos ∆ϕe1 (s) + sin ∆ϕe2 (s).
Sprawdzamy warunki z punktu 2 w treści twierdzenia. Policzmy drugą pochodną
krzywej c. Z definicji e1 (s) wiemy, że c̈ = e01 . Policzymy więc pierwszą pochodną e1 :
e1 (s + ∆s) − e1 (s)
de1
= lim
=
∆s→0
ds
∆s
1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA
9
Stosujemy teraz wyliczoną wcześniej postać e1 (s + ∆s):
cos ∆ϕe1 (s) + sin ∆ϕe2 (s) − e1 (s)
∆s→0
∆s
cos ∆ϕ − 1
sin ∆ϕ
= lim
e1 (s) + lim
e2 (s)
∆s→0
∆s→0
∆s !
∆s
!
cos ∆ϕ − 1
∆ϕ
sin ∆ϕ
∆ϕ
= lim
lim
e1 (s) + lim
lim
e2 (s)
∆ϕ→0
∆s→0 ∆s
∆ϕ→0 ∆ϕ ∆s→0 ∆s
∆ϕ
= 0 · e1 (s) + Kc (c(s))e2 (s)
= lim
Mamy więc:
hc00 , e1 i = hKc e2 , e2 i = Kc ,
co daje:
|c00 |2 = hc00 , c00 i = Kc2 he2 , e2 i = Kc2
W ten sposób udowodniliśmy punkt 2. Przechodzimy do dowodu punktu 3.
Wektory e1 , e2 stanowią bazę, więc wektor ėi możemy zapisać w tej bazie:
ėi (t) = wi1 (t)e1 (t) + wi2 (t)e2 (t)

1
i=j
gdzie wij (t) ∈ R. Korzystamy teraz z faktu, że hei , ej i = δij = 
. Licząc
0 i 6= j
obustronnie pochodną w tej równości otrzymujemy:
0=
d
hei , ej i = hėi , ej i + hei , ėj i
dt
Podstawimy teraz do powyższego wzoru, ė1 przedstawione w bazie e1 , e2 :
0 = hw11 e1 + w12 e2 , e2 i + he1 , w21 e1 , w22 e2 i = w12 + w21
Podobnie wyliczamy
d
he , e i:
dt 1 1
0 = hė1 , e1 i + he1 , ė1 i = w11 + w11 = 0
Z powyższych rozważań wynika, że:

w
21
w11
= −w12
= w22 = 0
Co daje nam:

ė
= w12 e2
ė2 = −w12 e1
1
Z wcześniej udowodnionych własności wynika, że ė1 = c̈ = Kc e2 = w12 e2 , czyli
w12 = Kc .
10
ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH
1.3
Wzory Freneta w Rn
Definicja 1.3.1 (krzywa niezdegenerowana). Krzywa regularna jest niezdegenerowana jeśli ∀t∈I wektory c0 (t), c00 (t), . . . , c(n) (t) ∈ Rn są liniowo niezależne.
Definicja 1.3.2 (reper Freneta). Reperem Freneta regularnej, niezdegenerowanej
krzywej c : I → Rn nazywamy układ funkcji e1 , . . . , en : I → Rn , taki, że funkcje
e1 , . . . , en−1 powstają z układu c0 , . . . , c(n−1) przez jego ortonormalizację, a funkcję
en wybieramy tak, aby cały układ był ortonormalny i zorientowany dodatnio.
Uwaga 1.3.3. Można pokazać, że:


0
K1 0
...
0  
e1
e1

0
. . .
 . 
−K1 0 K2

d 
.
 
.= .
..
..
..
.. 
  ..  ,
dt  .  
 ..
.
.
.
. 
en
en
0
0 . . . −Kn−1 0


gdzie Ki jest i-tą krzywizną krzywej c.
1.4
Krzywe w przestrzeni R3
Dana jest krzywa w przestrzeni R3 z parametryzacją łukową c : I → R3 . Układ wektorów stanowiący reper Freneta tej krzywej obliczamy zgodnie z definicją podaną w
poprzednim punkcie. Zauważmy, że skoro układ ten musi być zorientowany dodatnio, to mając dwa pierwsze wektory, możemy wyznaczyć trzeci z wzoru: e3 = e1 ×e2 .
Wzory Freneta w przypadku trój-wymiarowym mają postać:





0
k 0 e1
e
d  1 
 
0 τ
 e2 
e2  = −k
dt
e3
0 −τ 0 e3
Liczby k oraz τ nazywamy odpowiednio krzywizną i skręceniem krzywej.
Definicja 1.4.1 (trójścian Freneta). Niech c krzywa w R3 , p ∈ R3 , oraz e1 , e2 , e3
reper Freneta krzywej c w punkcie p. Definiujemy następujące płaszczyzny:
• ściśle styczna – rozpięta na wektorach e1 , e2 ,
• normalna – rozpięta na wektorach e1 , e3 ,
• prostująca – rozpięta na wektorach e2 , e3 .
Sumę tych trzech płaszczyzn nazywamy trójścianem Freneta.
Definicja 1.4.2. krzywa płaska Jeśli krzywa c : I → R3 leży w pewnej płaszczyźnie,
to mówimy, że jest to krzywa płaska.
1.4. KRZYWE W PRZESTRZENI R3
11
Fakt 1.4.3. Niech c : I → R3 sparametryzowana łukowo, niezdegenerowana krzywa.
Jeśli wektor e3 w układzie Freneta jest stały, to c jest krzywą płaską.
Dowód. Zakładamy, że e3 stały. Korzystamy z wzoru na różniczkowanie iloczynu
skalarnego:
hc, e3 i0 = hc0 , e3 i + hc, e03 i
Zauważmy, że z wzorów Freneta mamy w szczególności, że:
hc0 , e3 i = 0
natomiast z założeń wiemy, że e3 jest stały, więc e03 = 0. Wiemy więc, że:
hc, e3 i0 = 0 ⇒ hc, e3 i = D ∈ R– stała.
Załóżmy, że daną mamy jakąś parametryzację c postaci:
c(t) = (x(t), y(t), z(t))
oraz, że wektor e3 jest postaci:
e3 (t) = (A, B, C).
Wiemy więc, że:
hc, e3 i = h(x(t), y(t), z(t)), (A, B, C)i = D
a to dokładnie oznacza, że:
Ax(t) + By(t) + Cz(t) = D
co dowodzi, że każdy punkt krzywej c leży na płaszczyźnie danej równaniem:
Ax + By + Cz = D
Stwierdzenie 1.4.4. Niech c : I → R3 będzie łukowo sparametryzowaną krzywą
niezdegenerowaną. Następujące warunki są równoważne:
(i) c jest krzywą płaską,
(ii) τ = 0,
(iii) c leży w płaszczyźnie równoległej do swej płaszczyzny stycznej,
(iv) wszystkie płaszczyzny styczne do c pokrywają się.
12
ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH
Dowód. Części (iii) ⇐⇒ (iv) oraz (iii) ⇒ (i) są oczywiste.
Udowodnimy teraz (i) ⇒ (ii). Z wzorów Freneta mamy, że:
e03 = −τ e2 .
Zakładamy, że c jest krzywą płaską. Wiemy więc, że e3 stały, czyli e03 = 0. Ponieważ
e2 nie jest wektorem zerowym to natychmiast dostajemy, że τ = 0.
Wynikanie (ii) ⇒ (i) otrzymujemy wprost z udowodnionego wcześniej faktu i z
równości e03 = −τ e2 .
Pozostało do pokazania, że z punktu (i) wynika (iii). Załóżmy, że t0 ∈ I. Jeśli c
jest krzywą płaską, to płaszczyzna P zawierająca c i płaszczyzna Π równoległa do
płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie c(t0 ) i zawierająca ten punkt są równoległe
(wektor e3 (t0 ) jest prostopadły do obu tych płaszczyzn). Ponieważ c(t0 ) ∈ P ∩ Π,
oraz P i Π równoległe, to P = Π.
Uwaga 1.4.5. Do obliczenia krzywizny i skręcenia krzywej w przestrzeni R3 można
korzystać z wzorów:
k=
|c0 × c00 |
|c0 |3
τ=
hc0 × c00 , c000 i
det[c0 , c00 , c000 ]
=
|c0 × c00 |2
|c0 × c00 |2
Rozdział 2
Teoria powierzchni
2.1
Rozmaitości różniczkowe
Definicja 2.1.1 (mapa). Niech X będzie przestrzenią topologinczą. Mapą na X
nazywamy dowolny homeomorfizm Φα : Uα → Wα , gdzie Uα jest otwartym podzbiorem X, a Wα jest otwartym podzbiorem Rn .
Definicja 2.1.2 (atlas). Atlasem nazywamy zbiór map pewnej przestrzeni topologicznej X:
{Φα : Uα → Wα }α∈I
S
taki, że α∈I Uα = X.
Mówimy, że atlas jest gładki (klasy C r ) jeśli funkcje Φβ ◦ Φ−1
α : Φα (Uα ∩ Vβ ) →
Φβ (Uα ∩ Vβ ) są gładkie (klasy C r ).
Definicja 2.1.3. Niech {Uα , Φα }, {Vβ , ηβ } będą atlasami odpowiednio na przestrzeni topologicznej na X i Y . Odwzorowanie f : X → Y jest gładkie (klasy C r ) jeśli
r
funkcje: ηβ ◦ f ◦ Φ−1
α |Φα (Uα ∩f −1 (Vβ )) są gładkie (klasy C ).
Definicja 2.1.4 (atlasy równoważne). Dwa atlasy na przestrzeni topologicznej X:
{Φα }, {Ψβ } są równoważne jeśli identyczność na X jest funkcją gładką.
Definicja 2.1.5 (rozmaitość). Gładką (klasy C r ) n-wymiarową rozmaitością nazywamy przestrzeń topologiczną z zadaną na niej klasą atlasów równoważnych. Klasy
równoważności atlasów nazywamy strukturą różniczkową na rozmaitości X.
Uwaga 2.1.6. Z reguły rozmaitość definiuje się jako przestrzeń, która jest lokalnie homeomorficzna (lub dyfeomorficzna) z przestrzenią euklidesową. Ogólny sens
wszystkich tych definicji jest taki sam i sprowadza się do tego, że w analizie rozmaitości możemy lokalnie patrzeć na nią jak na fragment „zwykłej” przestrzeni Rn .
Przykład 2.1.7. Typowe rozmaitości, to: Rn , S n , RP n , CP n , Hn , Dn , torus.
13
14
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
2.2
Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna
Definicja 2.2.1 (powierzchnia). Powierzchnia jest to dowolna, zwarta i spójna
rozmaitość 2-wymiarowa.
W dalszej części tego opracowania, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozpatrujemy
powierzchnie zanurzone w przestrzeni R3 .
Definicja 2.2.2 (wektor styczny i przestrzeń styczna). Wektorem stycznym do
powierzchni M w punkcie p nazywamy każdy wektor styczny w tym punkcie do
pewnej krzywej różniczkowalnej c : I → M . Zbiór wektorów stycznych do M w
punkcie p nazywamy przestrzenią styczną i oznaczamy przez Tp M .
Przykład 2.2.3.
1. Niech p ∈ R2 . Wówczas Tp R2 = R2 .
2. Niech M pewna powierzchnia, oraz niech U ⊂ M otwarty, oraz p ∈ U . Wówczas zachodzi: Tp U = Tp M .
3. Załóżmy, że powierzchnia jest sparametryzowana w następujący sposób:
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
gdzie (u, v) ∈ U ⊂ R2 , zbiór U jest otwarty, a funkcje x, y, z są różniczkowalne.
Wprowadźmy oznaczenia:
xu =
xv =
∂x
(u, v)
∂u
∂x
(u, v)
∂v
yu =
yv =
∂y
(u, v)
∂u
∂y
(u, v)
∂v
zu =
zv =
∂z
(u, v)
∂u
∂z
(u, v)
∂v
Wówczas wektory dr(e1 ) = [xu , yu , zu ], dr(e2 ) = [xv , yv , zv ] stanowią bazę
przestrzeni stycznej.
Definicja 2.2.4 (pierwsza forma kwadratowa). Pierwszą formą kwadratową powierzchni M w punkcie p nazywamy iloczyn skalarny:
h, i : Tp M × Tp M → R
Definicja 2.2.5 (metryka Riemanna). Metryką Riemanna na powierzchni M nazywamy różniczkowe przyporządkowanie każdemu punktowi p ∈ M iloczynu skalarnego na przestrzeni Tp M .
Standardową bazą przestrzeni stycznej Tp M jest ∂x∂ i . Rozważmy macierz [gij ]i,j=1,2 ,
zdefiniowaną jako: gij = h ∂x∂ i , ∂x∂ j i (gdzie iloczyn skalarny h, i to standardowy iloczyn
skalarny z Rn ). Z symetrii iloczynu skalarnego mamy gij = gji . Macierz ta wyznacza
jednoznacznie metrykę Riemanna. Załóżmy bowiem, że mamy dwie krzywe c, d w
M. Ustalmy dowolny punkt p ∈ M . Wtedy oczywiście:
c0 (p) = c1 (p)
∂(p)
∂(p)
+ c2 (p)
∂x1
∂x2
2.3. GEODEZYJNE
15
∂(p)
∂(p)
+ d2 (p)
∂x1
∂x2
Aby policzyć iloczyn skalarny (wyznaczony przez metrykę Riemanna) wystarczy
policzyć:
d0 (p) = d1 (p)
*
∂(p)
∂(p)
∂(p)
∂(p)
+ c2
, d1
+ d2
hc (p), d (p)i = c1
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
0
+
0
= g11 c1 d1 + g12 c1 d2 + g21 c2 d1 + g22 c2 d2 =
2
X
=
gij ci dj
i,j=1
Wobec tego iloczyn skalarny wyznaczony przez metrykę Riemanna odpowiada formie dwuliniowej o macierzy [gij ]i,j=1,2 .
Definicja 2.2.6 (pierwsza forma kwadratowa). Macierz [gij ] zdefiniowana powyżej
wyznacza formę kwadratową, którą będziemy
"
# nazywać pierwszą formą kwadratową.
E F
Tradycyjnie jej macierz oznacza się:
.
F G
Określenie metryki Riemanna, pozwala nam zdefiniować długość krzywej na
powierzchni. Niech c : [a, b] → U ⊂ M będzie dowolną krzywą różniczkowalną,
wtedy długość tej krzywej wynosi:
L(c) =
Z b
0
1
2
hc (t), c (t)i dt =
a
2.3
0
Z b
a

2 X

1
2
gij (c(t))c0i (t)c0j (t)

dt
i,j=1
Geodezyjne
Definicja 2.3.1 (geodezyjna). Niech c : I → M będzie parametryzacją krzywej,
proporcjonalną do długości. Jeśli dla każdego t0 ∈ I istnieje δ > 0 taka, że każdy
odcinek c|[t0 ,t1 ] długości mniejszej niż δ jest najkrótszą krzywą łączącą c(t0 ) z c(t1 ),
to mówimy, że c jest krzywą geodezyjną.
Przykład 2.3.2. Rozważmy sferę dwuwymiarową w R3 . Pomiędzy dwoma punktami leżącymi na antypodach możemy poprowadzić nieskończenie wiele geodezyjnych.
Jeśli natomiast wybierzemy dwa punkty leżące na równiku to istnieje dokładnie jedna geodezyjna łącząca te punkty.
Przykład 2.3.3. W przestrzeni R2 geodezyjne to odcinki.
Twierdzenie 2.3.4. Niech M będzie powierzchnią, wówczas:
(i) dla każdego p ∈ M i v ∈ Tp M istnieje > 0 i dokładnie jedna, sparametryzowana łukowo geodezyjna c : (−, ) → M taka, że c(0) = p i c0 (0) = v;
(ii) dwa dowolne, dostatecznie bliskie punkty M można połączyć dokładnie jedną,
sparametryzowaną łukowo geodezyjną.
16
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
2.3.1
Równania różniczkowe geodezyjnych
Niech [gij ] oznacza macierz pierwszej formy kwadratowej. Przez [g ij ] będziemy oznaczać macierz odwrotną do [gij ].
Definicja 2.3.5 (symbole Christoffela). W ponieższych wzorach i, j, k, s = 1, 2.
1. Symbole Christoffela pierwszego rodzaju Γkij =
2. Symbole Christoffela drugiego rodzaju: Γkij =
1
2
∂gij
∂xk
P2
+
s=1
∂gjk
∂xi
−
∂gki
,
∂xj
g ks Γjis .
Uwaga 2.3.6. Γkij = Γkji .
Twierdzenie 2.3.7. Niech r : U → M będzie lokalną parametryzacją (lokalną mapą), niech c będzie krzywą leżącą w r(U ) i niech r−1 (c(t)) = (x1 (t), x2 (t)). Następujące warunki są równoważne:
(i) c jest geodezyjną sparametryzowaną łukowo,
(ii) c jest rozwiązaniem następującego układu równań różniczkowych:
2
X
d 2 xk
k dxi dxj
+
Γ
=0
ij
dt2
dt dt
i,j=1
dla k = 1, 2.
2.4
2.4.1
Krzywizna powierzchni
Krywizna Gaussa
Definicja 2.4.1 (odwzorowanie sferyczne). Odwzorowaniem sferycznym nazywamy
ciągłe przekształcenie n : M → S 2 , które każdemu punktowi powierzchni M ⊂ R3
przyporządkowuje wektor normalny do M .
Jeśli dla danej powierzchni M istnieje odwzorowanie sferyczne n, to mówimy, że
powierzchnia M jest zorientowana.
Definicja 2.4.2. Niech c : I → M dowolna krzywa, p ∈ M . Definiujemy odwzorowanie dnp : Tp M → Tn(p) S 2 wzorem dnp (c0 (p)) = (n ◦ c)0 (p).
Uwaga 2.4.3. Odwzorowanie dnp jest liniowe.
Definicja 2.4.4 (krzywizna powierzchni). Niech M powierzchnia, p ∈ M . Niech
{Ak }∞
k=1 , będzie ciągiem otoczeń punktu p, których średnice dążą do zera. Liczbę:
pole n(Ak )
k→∞ pole Ak
KM (p) = sgn(det dnp ) lim
nazywamy krzywizną powierzchni M (krzywizną Gaussa) w punkcie p.
2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI
17
Przykład 2.4.5.
1. Krzywizna płaszczyzny wynosi zero, ponieważ każdemu punktowi płaszczyzny odwzorowanie n przyporządkowuje jeden, ten sam wektor,
więc pole n(Ak ) zawsze wynosi 0.
2. Krzywizna sfery o promieniu R wynosi R12 , ponieważ dla dowolnego punktu p
sfery dwuwymiarowej o promieniu R, n(p) = R1 p, a co za tym idzie pole(Ak ) =
1
pole n(Ak ).
R2
Twierdzenie 2.4.6. Jeśli M jest rozmaitością dwuwymiarową klasy C 2 , to:
∀p∈M KM (p) = det dnp .
Lemat 2.4.7. Jeśli L : V → V jest przekształceniem liniowym przestrzeni dwuwymiarowej, v, w ∈ V , to:
det[L(v), L(w)] = det L det[v, w].
Dowód. Niech α będzie bazą przestrzeni V , oraz niech dana będzie macierz L w tej
bazie: Mαα (L) = [αij ]. Niech v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ). Wtedy:
"
v w1
det[Lv, Lw] = det [αij ] 1
v2 w2
#!
= det L det[v, w].
Lemat 2.4.8. Załóżmy, że U jest otwartym, spójnym podzbiorem Rn . Funkcje
f, g : U → R są ciągłe. Ponadto rodzina {∆k }k∈N podzbiorów U jest ciągiem otwartych, spójnych i ograniczonych otoczeń punktu p. Jeżeli diam ∆k = δ(∆k ) → 0,
to:
R
f dx
f (p)
=
.
lim R∆k
k→∞
g(p)
∆k gdx
Dowód. Niech mk , Mk oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartość
funkcji f na zbiorze ∆k oraz niech m(A) oznacza miarę Lebesguea zbioru A. Wtedy:
R
f dx
∈ [mk , Mk ] = f (∆k ).
m(∆k )
∆k
Z twierdzenia o wartości pośredniej (własność Darboux) istnieje xk ∈ ∆k takie, że:
R
f dx
= f (xk ).
m(∆k )
∆k
R
Analogicznie, dla g istnieje yk takie, że: g(yk ) =
T
p ∈ k∈N ∆k , więc xk → p i yk → p, a stąd:
R
R
∆k
gdx
m(∆k )
. Ponieważ δ(∆k ) → 0, oraz
f dx
f dx m(∆k )
f (p)
f (xk )
lim R
·R
=
= lim ∆k
= lim
k→∞
k→∞ m(∆k )
k→∞ g(yk
g(p)
∆k gdx
∆k gdx
∆k
18
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
Dowód twierdzenia 2.4.6. Zauważmy, że sgn dnp = sgn KM (p), więc aby udowodnić
twierdzenie, wystarczy sprawdzić, że |KM (p)| = | det(dnp )|. Niech r : D → M będzie
lokalną mapą w otoczeniu punktu p. Niech {Dk }k∈N będzie ciągiem otwartych, spójT
nych, ograniczonych podzbiorów D takich, że δ(Dk ) → 0. Wtedy r−1 (p) ∈ k∈N Dk .
Z definicji iloczynu wektorowego |ru × rv | jest polem równoległoboku rozpiętego na
ru i rv i jest ono równe |det[ru , rv ]|.
Zauważmy, że pole n(r(Dk ) można wyrazić przez całkę:
ZZ
| det[(n ◦ r)u, (n ◦ r)v]|dudv =
Dk
ZZ
Dk
| det[dn(u,v) (ru ), dn(u,v) (rv )]|dudv.
Niech f (u, v) = |det[dn(u,v) (ru ), dn(u,v) (rv )]|. Z lematu 2.4.7 wynika:
f (u, v) = det dn(u,v) |det[ru , rv ]|.
Niech g(u, v) = | det[ru , rv ]|.
RR
f (u, v)dudv
f (p)
pole n(r(Dk ))
= lim RRDk
=
= | det dnp |.
|KM (p)| = lim
k→∞
k→∞ pole r(Dk )
g(p)
Dk g(u, v)dudv
2.4.2
Druga forma kwadratowa i przekroje normalne
Definicja 2.4.9 (druga forma kwadratowa). Odwzorowanie, które każdemu punktowi p ∈ M przyporządkowuje formę kwadratową:
Tp M 3 x 7→ h−dnp (x), xi ∈ R
nazywamy drugą formą kwadratową.
Poza zdefiniowaną wyżej formą kwadratową, będziemy rozpatrywać też wyznaczoną przez nią, formę dwulinową:
Π : Tp M × Tp M 3 (x, y) 7→ h−dnp (x), yi ∈ R
Definicja 2.4.10 (przekrój normalny). Niech p ∈ M , x ∈ STp M = {v ∈ Tp M :
||v|| = 1}. Niech Px oznacza płaszczyznę rozpiętą na wektorach n(p) oraz x. Przekrojem normalnym M w kierunku x nazywamy sparametryzowaną łukowo krzywą
płaską c powstałą w wyniku przecięcia powierzchni M płaszczyzną Px taką, że
c0 |p = x oraz c(0) = p.
Krzywiznę Kc (p) nazywamy krzywizną przekroju normalnego i oznaczamy Kx .
Aby jednoznacznie określić krzywiznę przekroju normalnego należy ustalić orientację płaszczyzny Px . Jest ona zadana przez dodatnio zorientowaną bazę x, n(p), tzn.
układ x, n(p) ma być reperem Freneta krzywej c w punkcie p.
2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI
19
Stwierdzenie 2.4.11. Jeżeli p ∈ M , x ∈ STp M , to Π(x, x) = Kx .
Dowód. Niech c oznacza przekrój normalny w kierunku x taki, że c(0) = p. Wówczas
c0 (0) = x. Ponieważ c leży na M więc hc0 , n ◦ ci = 0. Różniczkując ostatnią równość
otrzymujemy:
hc00 (0), (n ◦ c)(0)i + hc0 (0), (n ◦ c)0 (0)i = 0
Ponieważ Kx = hc00 (0), (n ◦ c)(0)i, mamy:
Kx = −hc0 (0),
dc
d(n ◦ c)
(0)i = −hc0 (0), dnp ( (0))i = Π(c0 (0), c0 (0)) = Π(x, x)
dt
dt
Definicja 2.4.12 (przekształcenie samosprzężone). Niech V dowolna przestrzeń z
iloczynem sklaranym, oraz A : V → V pewien operator. Przez A? oznaczmy taki
operator, że: A? : V → V oraz ∀x,y∈V hAx, yi = hx, A? yi. Jeśli A = A? , to mówimy,
że A jest operatorem (przekształceniem) samosprzężonym.
Fakt 2.4.13. Jeśli A : V → V odwzorowanie liniowe, samosprzężone, posiada dwie
wartości własne λ1 , λ2 oraz v1 , v2 są wektorami własnymi odpowiadającymi tym wartościom własnym, to hv1 , v2 i = 0.
Dowód. Odwzorowanie A jest samosprzężone, więc hAv1 , v2 i = hv1 , Av2 i. Z definicji
Avi = λi vi , czyli mamy hλ1 v1 , v2 i = hv1 , λ2 v2 i. Stąd λλ21 hv1 , v2 i = hv1 , v2 i, co znaczy,
że albo λ1 = λ2 , albo hv1 , v2 i = 0, ale pierwsza możliwość jest wykluczona, bo
zakładamy λ1 6= λ2 .
Stwierdzenie 2.4.14. a) Niech U 3 (x1 , x2 ) 7→ r(x1 , x2 ) ∈ M będzie lokalną par
n
rametryzacją M , p ∈ M . Niech N : U →
− M →
− S 2 ,→ R3 i α = (rx1 , rx2 ) będzie
bazą Tr(x1 ,r2 ) M . Ponadto oznaczmy przez Mα (Π) macierz Π w bazie α. Wówczas
Mα (Π) ma postać:
Mα (Π) = [hN , rxi xj i].
b) Π : Tp M × Tp M → R jest formą dwuliniową symetryczną.
c) dnp : Tp M → Tp M jest przekształceniem samosprzężonym.
Dowód. a) Ponieważ wektory rx1 i rx2 są wektorami stycznymi, a wartości N są
wektorami normalnymi, więc hN , rxj i = 0 dla j = 1, 2. Stąd:
0=
∂
hN , rxj i = hNxi , rxj i + hN , rxj xi i.
∂xi
Zatem:
hN , rxj xi i = −hNxi , rxj i = −hdn(rxi ), rxj i = Π(rxi , rxj ).
b) Ponieważ rx1 x2 = rx2 x1 , więc z punktu poprzedniego: Π(rx1 , rx2 ) = Π(rx2 , rx1 ).
Liniowość wynika natomiast z liniowości pochodnej.
20
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
c) Niech v, w ∈ Tr(x1 ,x2 ) M , p = r(x1 , x2 ).
hdnp (v), wi = −Π(v, w) = −Π(w, v) = hdnp (w), vi = hv, dnp (w)i.
Uwaga 2.4.15. a) Odwzorowanie N : U → R3 opisane w poprzednim twierdzeniu,
nazywa się odwzorowaniem Weingartena.
b) Tradycyjnie przyjmuje się oznaczenia (pochodzą one od Gaussa): L = hN , rx1 x1 i,
N = hN , rx1 x2 i, M = hN , rx2 x2 i." Przy powyższych
oznaczeniach macierz drugiej
#
L M
formy kwadratowej ma postać:
.
M N
Definicja 2.4.16 (krzywizny, wektory i kierunki główne). Niech M powierzchnia,
p ∈ M . Liczby K1 = miny∈STp M Ky , K2 = maxy∈STp M Ky nazywamy krzywiznami
głównymi powierzchni M w punkcie p. Wektory v1 , v2 ∈ STp M takie, że Kvi = Ki
nazywamy wektorami głównymi, a kierunki wyznaczone przez te wektory nazywamy
kierunkami głównymi.
Definicja 2.4.17 (krzywizna średnia). Liczbę H = 21 (K1 + K2 ) nazywamy krzywizną średnią powierzchni M w punkcie p.
Twierdzenie 2.4.18. a) Krzywizny główne K1 i K2 są wartościami własnymi odwzorowania −dnp : Tp M → Tp M , a wektory główne są unormowanymi wektorami własnymi.
b) Zachodzi równość KM (p) = K1 K2 .
c) Jeśli y ∈ STp M i układ y1 , y2 jest bazą ortonormalną wektorów głównych, oraz
ϕ = ^(y, y1 ), to: Ky = K1 cos2 ϕ + K2 sin2 ϕ.
Dowód. Niech λ1 ¬ λ2 to wartości własne przekształcenia samosprzężonego −dnp ,
oraz y1 , y2 wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym. Ponieważ −dnp
jest samosprzężone, więc y1 , y2 są ortogonalne. Możemy więc zakładać, że są one
ortonormalne. Niech y ∈ STp M , oraz ai = hy, yi i. Wtedy oczywiście y = a1 y1 +a2 y2 .
Ponieważ y ∈ STp M , mamy:
|y|2 = 1 =
2
X
a2i hyi , yi i = a21 + a22
i,j=1
A stąd:
Ky = Π(y, y) = Π(a1 y1 + a2 y2 , a1 y1 + a2 y2 ) =
2
X
ai aj h−dnp yi , yj i =
i,j=1
=
2
X
i,j=1
ai aj hλi yi , yj i = a21 λ1 + a22 λ2 .
2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI
21
Z powyższego wzoru i definicji Ky wynika w szczególności: Kyi = λi , oraz Ky ¬
max(λi )(a21 +a22 ) = λ2 = Ky2 , Ky ­ min(λi )(a21 +a22 ) = λ1 = Ky1 . Czyli rzeczywiście:
Kyi zdefiniowane jako λi spełniają definicję 2.4.16,
co #kończy dowód a).
"
K1 0
Macierz −dnp w bazie y1 , y2 ma postać:
. Korzystając z twierdzenia
0 K2
2.4.6, dostajemy natychmiast KM (p) = K1 K2 , co kończy dowód b).
Niech ϕ = ^(y, y1 ). Wiemy, że ^(y1 , y2 ) = π2 , stąd: ^(y, y2 ) = π2 − ϕ. Z wzoru
hx,yi
cos ^(x, y) = |x||y|
i z faktu, że |y| = |y1 | = |y2 | = 1 mamy: hy, y2 i = cos( π2 − ϕ) =
sin ϕ. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami: y = hy, y1 iy1 + hy, y2 iy2 = cos ϕy1 +
sin ϕy2 . Ponieważ Ky = a21 Ky1 + a22 Ky2 , mamy natychmiast: Ky = cos2 ϕK1 +
sin2 ϕK2 .
2.4.3
Lokalny układ współrzędnych
Twierdzenie 2.4.19. Niech M będzie pewną powierzchnią, p ∈ M oraz niech r
będzie parametryzacją pewnego otoczenia p. Niech [gij ] i [lij ] oznaczają odpowiednio
macierze pierwszej i drugiej formy kwadratowej w bazie x1 = ∂x∂ 2 , x2 = ∂x∂ 1 . Wtedy:
(i) KM (p) =
det[Π(xi ,xj )]
det[hxi ,xj i]
(ii) w = |rx1 × rx2 | =
=
q
det[lij ]
,
det[gij ]
det[gij ], lij =
1
hr
w x1
× rx2 , rx1 x2 i =
1
w
det[rx1 , rx2 , rx1 x2 ],
(iii) niech f : R2 → R klasy C 2 i niech powierzchnia
q M dana jest wzorem M =
3
{(x1 , x2 , x3 ) ∈ R : x3 = f (x1 , x2 )}, oraz Λ = 1 + fx21 + fx22 , wtedy:
lij =
f xi xj
,
Λ
KM =
det[fxi xj ]
.
Λ4
Dowód. Niech β = (y1 , y2 ) będzie bazą ortonormalną w Tp M , składającą się z wektorów własnych operatora −dnp . Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że są to też
wektory główne. Dla dowolnego k = 1, 2 zachodzi oczywiście:
xk = hxk , y1 iy1 + hxk , y2 iy2 . (?)
Ponadto Π(yi , yj ) = h−dnp (yi ), yj i = Ki hyi , yj i = Ki δij . Wiemy już z poprzednich rozważań, że: det[Π(yi , yj )] = KM (p). Niech Mα (Π) = [Π(xi , xj )], Mβ (Π) =
[Π(yi , yj )] będą macierzami Π w bazach α = (xi , xj ) i β = (yi , yj ). Zgodnie z wzorem (?) macierz C = [hxi , yj i]T jest macierzą przejścia z bazy α do β. Stąd
det Mα (Π) = det(CMβ (Π)C T ) = KM (p) det C 2
(??)
Podobnie dla pierwszej formy kwadratowej (którą oznaczamy przez I):
det Mα (I) = det[hxi , xj i] = det[hyi , yj i] det C 2 = det C 2
22
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
i ,xj )]
i ,xj )]
Z wzoru (??) mamy: KM (p) = det[Π(x
= det[Π(x
co kończy dowód punktu (i).
det C 2
det[hxi ,xj i]
Zgodnie z definicją
iloczynuqwektorowego oraz elementów gij , mamy równości:
q
w = |rx1 × rx2 | = det[gij ] = | det[hrxi , rxj i]|. Ponieważ odwzorowanie sferyczne
v
, odwzorowanie Weingartena spełnia:
wyraża się wzorem: n(u, v) = |rruu ×r
×rv |
N = |rx1 × rx2 |−1 (rx1 × rx2 ) = w−1 (rx1 × rx2 ).
Pokazaliśmy wcześniej, że lij = hN , rxi xj i, wobec czego:
lij =
1
1
hrx1 × rx2 , rxi xj i = det[rx1 , rx2 , rxi xj ],
w
w
co kończy dowód punktu (ii).
Policzmy teraz pochodne rx1 i rx2 i rxi xj :
rx1 = (1, 0, fx1 ), rx2 = (0, 1, fx2 ), rxi xj = (0, 0, fxi xj )
Zgodnie ze wzorem na N , mamy:
N =
(rx1 × rx2 )
(−fx1 , −fx2 , 1)
=
= Λ−1 (fx1 , fx2 , 1).
|rx1 × rx2 |
|(−fx1 , −fx2 , 1)|
Podstawiając ten wynik do wzoru na lij otrzymujemy:
lij = hN , rxi xj i = Λ−1 h(−fx1 , −fx2 , 1), (0, 0, fxi xj )i = Λ−1 fxi xj .
Korzystając teraz ze wzoru gij = hrxi , rxj i uzyskujemy:
"
#
1 + fx21 fx1 fx2
det[gij ] = det
= (1 + fx21 )(1 + fx22 ) − fx21 fx22 .
fx1 fx2 1 + fx22
Podstawiając otrzymane wyniki do wzoru na KM z punktu (i) otrzymujemy:
KM =
Λ−2 det[fxi fxj ]
det[fxi fxj ]
det[lij ]
=
=
.
2
det[gij ]
Λ
Λ4
Uwaga 2.4.20. Jeśli przyjmiemy tradycyjne
"
#oznaczenia
"
#macierzy pierwszej i druE F
L M
, wzór na krzywiznę ma
giej formy kwadratowej, odpowiednio:
i
F G
M N
postać:
LN − M 2
KM =
,
EF − G2
2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM
23
gdzie
E = hru , ru i, F = hru , rv i, G = hrv , rv i
1
1
L = hru × rv , ruu i = det[ru , rv , ruu ],
w
w
1
1
M = hru × rv , ruv i = det[ru , rv , ruv ],
w
w
1
1
N = hru × rv , rvv i = det[ru , rv , rvv ],
w
√w
w = |ru × rv | = EG − F 2 .
Przykład 2.4.21 (płaszczyzna z ujemną krzywizną). Płaszczyzna M zadana jest
równaniem z = x2 − y 2 , czyli f (x, y) = x2 − y 2 , a dowolny punkt powierzchni ma
współrzędne (x, y, x2 − y 2 ). Wtedy fxx = 2, fyy = −2, fxy = 0 i mamy:
"
KM = √
2.5
#
2 0
det
0 −2
1 + 4x2 + 4y 2
4
= √
−4
1 + 4x2 + 4y 2
4
<0
Twierdzenie Egregium
Definicja 2.5.1 (dyfeomorfizm). Odwzorowanie gładkie nazywamy dyfeomorfizmem o ile jest bijekcją i odwzorowanie odwrotne jest również gładkie.
Definicja 2.5.2 (izomorfizm). Niech M, N powierzchnie z metrykami Riemanna
h, iM i h, iN . Dyfeomorfizm f : M → N nazywamy izometrią jeżeli:
∀p∈M ∀v,w∈Tp M hdfp (v), dfp (w)iN = hv, wiM
Fakt 2.5.3. Dla izomorfizmów f : Rn → Rn następujące warunki są równoważne:
(i) ∀x,y∈Rn d(f (x), f (y)) = d(x, y), gdzie d to metryka Euklidesowa,
(ii) dla każdej krzywej różniczkowalnej c : I → Rn zachodzi: L(c) = L(f ◦ c),
(iii) ∀x∈Rn ∀v,w∈Tx Rn hdfx (v), dfx (w)i = hv, wi.
Twierdzenie 2.5.4 (egregium, Gauss, 1828). Niech M, N powierzchnie. Jeżeli
f : M → N jest izometrią, to ∀p∈M KM (p) = KN (f (p)).
Twierdzenie egregium udowodnimy w nieco innej wersji. Aby ją sformułować,
wprowadzimy najpierw kilka definicji. Niech [gij ] i [hij ] to macierze odpowiednio
pierwszej i drugiej formy kwadratowej pewnej powierzchni M . Przez [g ij ] oznaczamy
macierz odwrotną do [gij ]. Symbol gij,k oznacza pochodną względem zmiennej k z
gij .
24
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
Definicja 2.5.5 (tensor krzywizny). Tensor krzywizny powierzchni M jest zbiorem
funkcji:
X
m
Riljk =
glm Rijk
1 ¬ i, j, k, l ¬ 2
m
gdzie:
m
m
Rijk
= Γm
ij,k − Γik,j +
l
m
(Γlij Γm
lk − Γik Γij ) 1 ¬ i, j, k, m ¬ 2
X
l
Rozważmy powierzchnię M sparametryzowaną przez funkcję f : R2 → R3 . Niech
u ∈ R2 , wtedy p = f (u) jest pewnym punktem powierzchni M , a na punkt u możemy patrzeć jak na lokalne współrzędne punktu p. Wektory f1 (u), f2 (u), n(u) stanowią bazę przestrzeni R3 , przy czym przez fi (u) rozumiemy wektory styczne do M
w punkcie p, wyznaczone za pomocą i-tej pochodnej cząstkowej f , natomiast wektor n(u) to wektor normalny zaczepiony w p. Wektory f1 , f2 wyznaczają przestrzeń
styczną do M w p.
Twierdzenie 2.5.6 (egregium). Przy powyższych założeniach i oznaczeniach, zachodzi wzór:
R1212 (u)
KM (u) =
det[gij (u)]
Zanim podamy dowód twierdzenia egregium udowodnimy kilka faktów pomocniczych.
Fakt 2.5.7. Zachodzą następujące wzory:
fik (u) =
X
Γlik (u)fl (u) + hik (u)n(u),
l
ni (u) = −
X
hil g lk fk (u),
l,k
gdzie:
Γlik =
X
g lj hfik , fj i =
j
1 X lj
g (gij,k + gjk,i − gki,j ).
2 j
Uwaga 2.5.8. Zakładamy, że wektory f1 , f2 , n stanowią układ ortonormalny.
Dowód. Z algebry liniowej wiadomo, że:
fik = fki =
X
Γlik fl + aik n,
l
przy czym aik = hn, fik i = hik . Obie strony powyższej równości pomnóżmy skalarnie
przez fi :
X
X
hfik , fi i = h Γlik fl , fi i =
Γlik gli = [Γlik ][gil ]
l
l
Stąd mamy:
Γlik =
X
l
g li hfik , fi i = Γlki .
2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM
25
Ponieważ gij,k = hfi , fj ik , to z uzyskanych wyżej wzorów (i z wzoru na pochodną
iloczynu skalarnego) mamy:
gij,k = hfik , fj i + hfi , fjk i =
P
P
= l Γlik glj + l Γljk gli (α)
P
P
gki,j = l Γlkj glj + l Γlij glk (β)
P
P
gjk,i = l Γlji gik + l Γlki gij (γ)
Policzmy teraz (α) − (β) + (γ):
X
Γlik glj +
l
X
Γljk gli −
X
l
Γlkj glj −
l
X
Γlij glk +
l
X
Γlji gik +
l
X
Γlki gij = 2
l
X
Γlik glj
l
A stąd:
Γlik =
X
g lj hfik , fj i =
j
1 X lj
g (gij,k + gjk,i − gki,j )
2 j
Twierdzenie 2.5.9. Równości fijk = fikj oraz nij = nji są równoważne następującym zależnościom między gik , hik , gik,l oraz Γkij,l :
m
(i) Γm
ij,k − Γik,j +
(ii)
P
l
Γlij hlk −
P
l
m
l (Γij Γlk
P
l
− Γlik Γm
lj ) =
P
l (hij hkl
− hik hjl )g lm ,
Γlik hlj + hij,k − hik,j = 0.
Równania (i) nazywa się równaniami Gaussa, natomiast równania (ii) nazywa się
równaniami Codazzi–Mainardiego.
Dowód. Niech fijk =
1
Am
ijk jako :
P
m
Am
ijk fm + Bijk n. Na mocy faktu 2.5.7, możemy wyrazić
m
Am
ijk = Γij,k +
X
Γlij Γm
lk −
l
X
hij hkl g lm .
l
m
Z założenia fijk = fikj , więc Am
ijk = Aikj , skąd natychmiast (wystarczy zapisać
m
wzory na Am
ijk i Aikj i przenieść niektóre składniki na drugą stronę w równaniu
m
m
Aijk = Aikj ) otrzymujemy (i).
Ponownie, korzystając z faktu 2.5.7 możemy napisać:
Bijk =
X
Γlij hlk + hij,k .
l
Ponieważ Bijk = Bikj , to zachodzi (ii).
1
Fakt 2.5.7 daje wzór na fij , który trzeba zróżniczkować względem k-tej współrzędnej, a następnie skorzystać z wzoru na ni i ostatecznie napisać wzór na współczynnik przy fm dla ustalonego
m. Jest to techniczny „szczegół”, który pomijamy w tym opracowaniu.
26
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
Lemat 2.5.10. Tensory krzywizny Riljk spełniają:
Riljk = hij hkl − hik hjl .
Uwaga 2.5.11. Będziemy wykorzystywać jedynie fakt:
R1212 = det[hij ],
który jest wnioskiem z powyższego lematu.
Dowód. Z definicji:
!
Riljk =
X
m
glm Rijk
=
m
X
glm
Γm
ij,k
−
Γm
ik,j
+
X
m
(Γlij Γm
lk
−
Γlik Γm
lj )
=
l
Stosujemy teraz punkt (i) z poprzedniego twierdzenia:
!
=
X
m
glm
X
(hij hkl − hik hjl )g
lm
(?)
l
Z definicji [g ij ] jako macierzy odwrotnej do [gij ], mamy:

1
gdy l = 1
gl1 g 11 + gl2 g 12 = 
0 gdy l = 2

0
gdy l = 1
gl1 g 21 + gl2 g 22 = 
1 gdy l = 2
Rozpisując sumę z wzoru (?) i grupując odpowiednio składniki, oraz stosując powyższe zależności, otrzymujemy tezę lematu.
Dowód twierdzenia egregium. Zauważmy, że dowód powyższego lematu jest właściwie dowodem twierdzenia egregium. Z twierdzenia 2.4.19 mamy bowiem:
KM =
det[hij ]
,
det[gij ]
a z lematu det[hij ] = R1212 , czyli rzeczywiście:
KM =
R1212
.
det[gij ]
2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA
2.6
27
Twierdzenie Gaussa–Bonneta
Twierdzenie 2.6.1 (elegantissimus Gaussa). Niech D będzie trójkątem geodezyjnym, αi , i = 1, 2, 3 jego kątami zewnętrznymi, a βi = π − αi . Wtedy:
3
X
βi = π +
ZZ
i=1
Kdσ.
D
Definicja 2.6.2 (defekt trójkata geodezyjnego). Liczbę π −
fektem trójkąta geodezyjnego.
P3
i=1
βi nazywamy de-
Twierdzenie 2.6.1 jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzenia
Gaussa–Bonneta.
Twierdzenie 2.6.3 (Gaussa–Bonneta, 1848). Jeżeli D jest podzbiorem dwuwymiarowej rozmaitości, ograniczonym łamaną geodezyjną γ = γ1 ∪γ2 ∪. . .∪γr , a α1 , . . . , αr
to kąty zewnętrzne D, to:
ZZ
Kdσ +
D
r
X
αj = 2π
j=1
Istnieje również tzw. globalna wersja tego twierdzenia. Aby ją sformułować należy wprowadzić pojęcie triangulacji powierzchni. Okazuje się (czego nie udowodnimy), że dowolną powierzchnię M można przedstawić jako sumę (pokryć sumą)
trójkątów krzywoliniowch, takich, że część wspólna każdych dwóch z nich to: zbiór
pusty, pojedynczy wierzchołek lub krawędź.
Definicja 2.6.4 (charakterystyka Eulera). Niech M powierzchnia z wprowadzoną
triangulacją. Wtedy liczbę:
χ(M ) = liczba wierzchołków − liczba krawędzi + liczba trójkątów
nazywamy charakterystyką Eulera powierzchni M .
Uwaga 2.6.5. Liczba χ(M ) jest niezmiennikiem topologicznym.
Twierdzenie 2.6.6 (Gaussa–Bonneta (globalne)). Niech M powierzchnia. Wtedy:
ZZ
Kdσ = 2πχ(M ).
M
Twierdzenie 2.6.7 (Harriot, 1603). Dla dowolnego trójkąta na sferze o kątach
α, βγ, funkcja f (α, β, γ) = α + β + γ − π jest proporcjonalna do powierzchni trójkąta
i stąd niezerowa.
Dowód.
α
2π
1. Pole sektora kąta α pomiędzy dwoma kołami wielkimi sfery wynosi
powierzchni całej sfery S 2 .
28
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
2. Pole jest niezmiennikiem izometrii.
3. Pole jest funkcją addytywną, tzn. P (∆1 + ∆2 ) = P (∆1 ) + P (∆2 ).
4. Niech ∆αβγ będzie dowolnym trójkątem na S 2 . Przedłużając boki tego trójkąta
do kół wielkich, otrzymujemy podział S 2 na 8 trójkątów. Niech ∆α , ∆β i ∆γ
oznaczają odpowiednio trójkąty przylegające do jednego z wierzchołków ∆αβγ
przy odpowiednim kącie. Wówczas na mocy punktu 1 mamy:
P (∆αβγ ) + P (∆α ) =
P (∆αβγ ) + P (∆β ) =
P (∆αβγ ) + P (∆γ ) =
α
P (S 2 ),
2π
β
P (S 2 ),
2π
γ
P (S 2 ),
2π
A stąd wynika, że:
α+β+γ
P (S 2 ) (?).
2π
Cztery trójkąty ∆αβγ , ∆α , ∆β , ∆γ są izomroficzne z czterema pozostałymi
trójkątami powstałymi w kroku 4. Z punktu 2 mamy więc, że:
3P (∆αβγ ) + P (∆α ) + P (∆β ) + P (∆γ ) =
1
P (∆αβγ ) + P (∆α ) + P (∆β ) + P (∆γ ) = P (S 2 ) (??).
2
Z równości (?) i (??) wynika:
1
α+β+γ
3P (∆αβγ ) − P (∆αβγ ) + P (S 2 ) =
P (S 2 ).
2
2π
A stąd:
!
1
α+β+γ
2P (∆αβγ ) =
P (S 2 )
−1 ,
2
π
1
2P (∆αβγ ) =
P (S 2 ) (α + β + γ − π) .
2π
Czyli mamy:
P (∆αβγ ) =
2.6.1
1
P (S 2 )f (α, β, γ).
4π
Płaszczyzna hiperboliczna
W drodze do dowodu twierdzenia Gaussa–Bonneta, które sformułowano na początku tego rozdziału, przyjrzymy się bliżej trójkątom na płaszczyźnie hiperbolicznej,
która w pewnym sensie będzie ilustracją zagadnień, którymi się tu zajmujemy.
Płaszczyznę hiperboliczną będziemy oznaczać przez H2 . Jako zbiór jest to po
prostu część płaszczyzny R2 , a mianowicie: H2 = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}. Metryka
Riemanna na powierzchni hiperbolicznej określona jest w następujący sposób:
h, i(x,y) =
1 2
(d + d2y ).
y2 x
2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA
29
Macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać:
"1
[gij ] =
0
y2
#
.
1
y2
0
Powierzchnia hiperboliczna ma stałą krzywiznę równą −1.
Geodezyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej. Aby scharakteryzować geodezyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej, rozwiążemy równania różniczkowe geodezyjnych, opisane w podrozdziale 2.3.1:

 d 2 x1
dt2
 d 2 x2
dt2
i dxj
+ 2i,j=1 Γ1ij dx
=0
dt dt
P2
2 dxi dxj
+ i,j=1 Γij dt dt = 0
P
Wyliczymy najpierw Γkij . Ponieważ g ij = δij y 2 , to mamy (z wzoru na Γkij ):

1 gkk,i
1
Γkij = g kk (gik,j + gjk,i − gij,k ) =
2
2gkk −gii,k
gdy j = k
gdy j = i, k 6= i
Co daje nam wzory:
Γ211
1
1
−1
=
(−g11,2 ) = y 2
2g22
2
y2
Γ112 = Γ121 = Γ222
1
−2y
= y2
2
y4
!0
y
!
=
1 2y
1
= y2 4 = ,
2 y
y
−1
,
y
a pozostałe Γkij = 0. Otrzymane wyniki wstawiamy do rozpatrywanych równań
różniczkowych:
 2
 d x1 − 2 dx1 dx2 = 0
dt2
y dt dt
 d2 x2 + 1 dx1 dx1 − 1 dx2 dx2 = 0
dt2
y dt dt
y dt dt
Zamiast pisać x1 , x2 będziemy dalej używać standardowych oznaczeń na zmienne
x, y. Nasze równania mają postać:
 2
d x
dt2
 d2 y
dt2
=
=
2 dx dy
y dt dt
1 dy dy
y dt dt
−
1 dx dx
y dt dt
Aby rozwiązać ten układ równań zastosujemy podstawienie:
1
dx
dx dy
p=
=
,
dy
dt dt
co daje nam:
dx
dy
=p .
dt
dt
30
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
Powyższą równość różniczkujemy obustronnie po t:
d2 y
d2 x
dp dy
+
p
=
.
dt2
dt dt
dt2
Ponieważ
dp
dt
=
dp dy
,
dy dt
to mamy:
d2 x
dp
=
dt2
dy
dy
dt
!2
+p
d2 y
.
dt2
Podstawiając powyższe do pierwszego równania naszego układu równań, mamy:
dy
dt
dp
dy
!2
+p
d2 y
2 dx dy
.
=
2
dt
y dt dt
Teraz podstawiamy drugie równanie z układu równań za
dp
dy
dy
dt
!2

1
+ p
y
dy
dt
!2
!2
p3
−
y
dx
dt
1
−
y
!2 

=
dy 2
:
dt
2 dx dy
.
y dt dt
Z definicji p mamy:
dp
dy
dy
dt
!2
p
+
y
dy
dt
dy
dt
Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez
!2
2p
=
y
dy 2
dt
dy
dt
p + p3
dp
=
dy
y
dp
dy
=
p + p3
y
Otrzymane równanie możemy obustronnie scałkować:
Z
dy
dp
=
,
3
p+p
y
q
p2 + 1 = ln y + c,
co daje nam:
ln p − ln
ln √
p
= ln c1 y,
+1
p2
.
i otrzymujemy:
2p
dp p p3
+ −
=
dy y
y
y
Z
!2
c ∈ R,
c1 ∈ R.
2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA
31
Z różnowartościowości funkcji logarytm mamy, że:
p
√ 2
= c1 y
p +1
p2
= c21 y 2
p2 + 1
p2 = c21 y 2 (p2 + 1)
p2 (1 − c21 y 2 ) = c21 y 2
Zakładamy, że y 6=
1
c1
i dzielimy obustronnie przez (1 − c21 y 2 ):
p2 =
c21 y 2
1 − c21 y 2
p= q
c1 y
1 − c21 y 2
.
Z definicji p, mamy więc, że:
c1 y
dx
=q
.
dy
1 − c21 y 2
= 0, czyli x = a,
Rozważmy dwa przypadki. Przypadek 1, gdy c1 = 0, wtedy dx
dy
1
a ∈ R. Przypadek 2, gdy c1 6= 0. Podstawmy wtedy c1 = a , gdzie a ∈ R+ . Wtedy:
y
dx
= r a .
2
dy
1 − ay
Stąd mamy:
y
dx = r a dy,
2
1 − ay
co możemy obustronnie scałkować:
Z
dx =
y
a
Z
r
1−
2 dy
y
a
i stąd:
q
x = − a2 − y 2 + b,
b∈R
(x − b)2 = a2 − y 2
(x − b)2 + y 2 = a2
Wniosek 2.6.8. Geodezyjne w H2 to albo półproste {(a, y) : y > 0, a ∈ R ustalone},
albo górne półokręgi ze środkiem na osi OX.
32
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
Trójkąty asymptotyczne. Zajmiemy się teraz trójkątami asymptotycznymi, czyli takimi, których jeden kąt wewnętrzny wynosi 0.
Twierdzenie 2.6.9. Pole trójkąta asymptotycznego ∆αβ o kątach α, β jest równe
π − (α + β).
Dowód. Niech λ = cos(π − α), µ = cos(β).
P (∆αβ ) =
ZZ
∆αβ
dxdy Z µ Z ∞ dy Z µ
dx
√
=
=
dx √
=
2
2
2
y
λ
1−x y
λ
1 − x2
Stosujemy podstawienie x = cos θ:
=
Z β
π−α
Z β
− sin θ
dθ =
−1 dθ = −β + π − α = π − α − β.
sin θ
π−α
Wniosek 2.6.10. Pole ∆αβγ jest równe π − (α + β + γ) < π.
2.6.2
Współrzędne geodezyjne
Definicja 2.6.11 (pole wektorowe wzdłuż krzywej). Niech M powierzchnia, c : I →
M pewna krzywa. Funkcję gładką, która każdemu punktowi t ∈ I przyporządkowuje
wektor v(t) ∈ Tc(t) M nazywamy polem wektorowym określonym wzdłuż c. Zbiór pól
wektorowych określonych wzdłuż c oznaczać będziemy Xc .
Przykład 2.6.12. Najbardziej naturalnym polem wektorowym wzdłuż krzywej różniczkowalnej jest:
t 7→ c0 (t),
czyli pole wektorów stycznych do c.
Definicja 2.6.13 (pochodna kowariantna). Niech X ∈ Xc oraz niech projekcja
prc(t) : R3 → Tc(t) M jest rzutem ortogonalnym. Wtedy wektor:
dX
DX
(t) = prc(t)
(t),
dt
dt
nazywamy pochodną kowariantną pola X w punkcie c(t).
Twierdzenie 2.6.14. Jeżeli krzywa u jest gładka, X, Y ∈ Xu , a, b ∈ R, funkcja
f : M → R jest klasy C ∞ , to pochodna kowariantna ma następujące własności:
(i)
(ii)
(iii)
D(aX+bY )
dt
D(f X)
dt
=
d
hX, Y
dt
= a DX
+ b DY
,
dt
dt
df
X
dt
+ f DX
,
dt
i = h DX
, Y i + hX, DY
i.
dt
dt
2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA
33
Dowód. Punkt (i) wynika wprost z liniowości pochodnej i rzutowania. Przejdźmy
do dowodu (ii). Z definicji:
D(f X)
d(f X)
= pr
dt
dt
!
=
Zgodnie z wzorem na pochodną iloczynu, mamy:
dX
df
X +f
= pr
dt
dt
!
=
Co z liniowości projekcji ortogonalnej równe jest:
!
df
dX
= pr
X + pr f
dt
dt
Ponieważ
df
X
dt
!
=
jest elementem Tu(t) M , mamy:
=
df
DX
X +f
.
dt
dt
W ten sposób udowodniliśmy punkt (ii). Przejdźmy do dowodu (iii). Zauważmy po
pierwsze, że:
d
dX
dY
hX, Y i = h
, Y i + hX,
i.
dt
dt
dt
można zapisać jako:
Wektor dX
dt
dX
dX
= pru(t)
dt
dt
!
+ V,
gdzie V to wektor normalny do Tu(t) M . Stąd:
h
dX
DX
,Y i = h
, Y i + hV, Y i
| {z }
dt
dt
=0
i = hX, DY
i, co w rezultacie daje punkt (iii).
Analogicznie pokazujemy, że hX, dY
dt
dt
Definicja 2.6.15 (pole wektorowe równoległe). Pole wektorowe X ∈ Xc jest równoległe, jeżeli DX
= 0 dla każdego t ∈ I.
dt
Uwaga 2.6.16. Jeżeli pola X, Y są równoległe, to:
d
DX
DY
hX, Y i = h
, Y i + hX,
i = 0,
dt
dt
dt
stąd hX, Y i = const. W szczególności więc, pola równoległe mają stałą długość.
Stały jest też kąt między nimi.
34
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
Lemat 2.6.17. Przypuśćmy, że M to powierzchnia sparametryzowana tak, że g12 =
g
0. Wtedy g ii = g1ii oraz Γkik = 2gkk,i
.
kk
Dowód lematu wynika wprost z wcześniejszych rozważań (z poprzednich podrozdziałów).
Twierdzenie 2.6.18. Krzywa c(t) jest geodezyjną o ile pochodna kowariantna pola
wektorów stycznych jest równa zero.
Twierdzenie 2.6.19 (istnienie ortogonalnych współrzędnych geodezyjnych). Niech
c(s) będzie krzywą na powierzchni M . Ustalmy s0 ∈ I, takie, że c0 (s0 ) 6= 0. Istnieje
zamiana zmiennych (map) φ : U → V 0 ⊂ M , gdzie V 0 jest otwartym otoczeniem
c(s0 ), taka, że spełnione są poniższe warunki.
(i) c(s) = φ(u1 (s), u2 (s)) dla |s − s0 | dostatecznie małych, ma parametryzację
u1 = 0, u2 = s.
(ii) Krzywe u2 = const są geodezyjnymi sparametryzowanymi przez długość łuku.
Krzywe u1 = const przecinają się z nimi ortogonalnie.
(iii) Parametryzacja u = (u1 , u2 ) jest ortogonalnym układem współrzędnych dla φ,
tzn. g12 = 0, g11 = 1, g22 > 0.
"
#
1 0
Odwrotnie, jeżeli macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać
, to punkt
0 g22
(ii) jest prawdziwy.
Definicja 2.6.20 (współrzędne geodezyjne). Współrzędne spełniające warunki (i),
(ii) z powyższego twierdzenia nazywamy współrzędnymi geodezyjnymi.
Twierdzenie 2.6.21. Niech powierzchnia M ma współrzędne geodezyjne. Wtedy
geodezyjna dana wzorem:
c = {c(t) = f (t, u0 ) : t0 ¬ t ¬ t1 }
jest krótsza od każdej krzywej b = {b(s) = f (x(s), y(s)) : s0 ¬ s ¬ s1 } prowadzącej
z punktu p0 = f (t0 , u20 ) do p1 = f (t1 , u20 ). Innymi słowy: L(b) ­ L(c).
Dowód.
L(b) =
Z s1 q
s0
(x0 (s))2 + g22 (x(s), y(s))y 0 (s)2 ds ­
Z s1
|x0 (s)| ds
s0
­ x(s1 ) − x(s0 ) = t1 − t0 = L(c).
Twierdzenie 2.6.22 (Levi–Civita). Niech U , c = ∂S, będą kolejno mapą na powierzchni M , obszarem i jego brzegiem, przy czym c : I = [0, α] → M jest parametryzacją ∂S. Niech p ∈ ∂S, oraz niech c jest krzywą gładką, zamkniętą. Niech
ρ(0) ∈ Tp M takie, że |ρ(0)| = 1, oraz ρ(t) = ζt (ρ(0)) będzie przesunięciem po
równoległym polu wektorowym wzdłuż c. Jeśli c leży w U RR
i ogranicza obszar homeomorficzny kołu, to kąt pomiędzy ρ(0) a ρ(α) jest równy: S Kds.
2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA
35
Definicja 2.6.23 (krzywizna geodezyjna). Niech M powierzchnia, c krzywa na M ,
oraz niech e1 (t), e2 (t) pola wektorowe wyznaczające reper Freneta wzdłuż c. Wtedy
krzywizną geodezyjną w punkcie c(t) nazywamy liczbę:
kg (t) = h
De1
(t), e2 (t)i,
dt
gdzie iloczyn skalarny liczony jest zgodnie z metryką Riemanna w punkcie c(t).
2.6.3
Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta
Przejdziemy teraz do dowodu twierdzenia Gaussa–Bonneta. Udowodnimy je w nieco
ogólniejszej postaci niż ta, która została podana wcześniej, a mianowicie:
Twierdzenie 2.6.24 (Gaussa–Bonneta, 1848). Niech M powierzchnia, F wielokąt
geodezyjny ograniczający obszar w M , αi kąty zewnętrzne F , P : F → M pewne
odwzorowanie. Wtedy:
ZZ
K dM +
P
Z
∂P
kg dt +
X
αj = 2π.
j
Zanim rozpoczniemy dowód, wprowadzimy kilka oznaczeń i wyprowadzimy kilka
dodatkowych faktów. Zakładamy, że w M mamy" współrzędne
geodezyjne (x, y),
#
1 0
macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać:
, oraz:
0 g
E1 =
∂
∂x
1 ∂
E2 = √
.
g ∂y
Lemat 2.6.25. Jeśli c : [a, b] → R2 jest krzywą regulrną, oraz e1 (t), e2 (t) stanowią
układ Freneta dla tej krzywej, to istnieje funkcja θ : [a, b] → R, taka, że:
e1 (t) = (cos θ(t), sin θ(t)),
oraz różnica θ(b) − θ(a) nie zależy od wyboru θ.
Dowód. Podzielmy przedział [a, b] na podprzedziały:
a = t0 < t1 < . . . < tk = b
tak, że e1 |[tk−1 ,tk ] ⊂ S 1 . Jest to możliwe ponieważ e1 (t) ciągła. Niech θ(a) będzie
takie, że e1 (a) = (cos θ(a), sin θ(a)). Z ciągłości e1 (t) możemy określić θ na [t0 , t1 ].
Następnie poprzez indukcję możemy rozszerzać θ na kolejnych przedziałach [tj−1 , tj ],
korzystając wciąż z ciągłości.
Przypuśćmy, że mamy dwa odwzorowania θ i φ spełniające warunki lematu.
Wtedy φ(t) − θ(t) = 2πk(t), gdzie k(t) ∈ Z i k funkcja ciągła, co jest możliwe tylko,
gdy k stała. Stąd φ(a) − θ(a) = φ(b) − θ(b), co daje natychmiast, że:
θ(b) − θ(a) = φ(b) − φ(a).
36
ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI
Z powyższego lematu i definicji Ei wynika:
e1 (t) = cos θ(t)E1 + sin θ(t)E2
e2 (t) = − sin θ(t)E1 + cos θ(t)E2
Lemat 2.6.26. Przy powyższych oznaczeniach i założeniach, zachodzi wzór:
kg (t) = θ̇(t) +
√
g 1 ẏ 2 (t)
Dowód. Wiadomo, że: hEi , Ek i = δik . Różniczkując tą równość i stosując twierdzenie 2.6.14, otrzymujemy:
h
DEk
DEi
, Ek i + hEi ,
i = 0,
dt
dt
i
k
co oznacza, że w szczególności jest spełnione: h DE
, Ek i = −h DE
, Ei i.
dt
dt
Z poprzedniego lematu oraz twierdzenia 2.6.14, mamy:
D(cos θ(t)E1 + sin θ(t)E2 )
D(cos θ(t)E1 ) D(sin θ(t)E2 )
De1
=
=
+
dt
dt
dt
dt
DE1
DE2
+ cos θ(t)E2 θ̇(t) + sin θ(t)
dt
dt
Wykorzystując powższe zależności wyliczymy teraz kg zgodnie z definicją:
= − sin θ(t)E1 θ̇(t) + cos θ(t)
h
DE1
DE2
De1
, e2 i = hθ̇(t)(− sin θ(t)E1 + cos θ(t)E2 ), e2 i + hcos θ(t)
+ sin θ(t)
, e2 i
dt
dt
dt
DE1
DE1
i + cos2 θ(t)h
, E2 i
dt
dt
DE2
DE2
− sin2 θ(t)h
, E1 i + sin θ(t) cos θ(t)h
, E2 i
dt
dt
DE1
DE2
, E2 i − sin2 θ(t)h
, E1 i
= θ̇(t) + cos2 θ(t)h
dt
dt
DE1
= θ̇(t) + (cos2 θ(t) + sin2 θ(t))h
, E2 i
dt
DE1
√
= θ̇(t) + h
, E2 i = θ̇(t) + g 1 ẏ 2 (t)
dt
= θ̇(t) − cos θ(t) sin θ(t)hE1 ,
Twierdzenie 2.6.27 (o dywergencji). Niech M zorientowana powierzchnia z metryką Riemanna, X pole wektorowe na M , F wielokąt w M , P : F → M . Wtedy:
ZZ
(div X) dM =
P
gdzie: X = ξ 1 e1 + ξ 2 e2 , div X =
Z
∂P
√1
g
iX dM,
P ∂ √ i
gξ ,
i
∂xi
√
√
ix dM = −ξ 2 gdx1 + ξ 1 gdx2 .
Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta. Wcześniej pokazaliśmy, że:
√
− g 11
R1212
= √
K=
det[gij ]
g
Niech X =
√
− g1
√ e1 ,
g
wtedy mamy dalej:
1
K=√
g
!
√ !
∂ √ − g1
∂
g √
+ 2 · 0 = div X.
∂x1
g
∂x
Z twierdzenia o dywergencji (ξ 2 = 0), mamy:
ZZ
K dM =
p
√ 1 2 √ 2 1
gξ dx − gξ dx = −
Z
√
Z
∂P
∂P
g 1 dx2 .
Zakładamy, że możemy łukowo sparametryzować i dodatnio zorientować brzeg ∂P .
Niech u(t) = (u1 (t), u2 (t)) będzie taką właśnie parametryzacją. Niech Ij = [aj , bj ]
będzie podziałem dziedziny powyższej parametryzacji takim, że parametryzacja ta
jest gładka na każdym z tych odcinków. Z lematu 2.6.26 mamy:
−
Z
∂P
X
√
g 1 dx2 =
Z
Lemat 2.6.28.
XZ
j
θ̇(t)dt −
Ij
Ij
j
θ̇(t)dt +
Z
X
Ij
!
kg (t)dt .
αj = 2π
j
Lemat podajemy bez dowodu. Mamy teraz:
ZZ
K dM = −
P
Z
∂P
X
√
g 1 dx2 =
j
Z
θ̇(t)dt −
Z
Ij
Ij
!
kg (t)dt .
No a stąd dostajemy:
ZZ
K dM +
P
XZ
j
Ij
kg (t) dt = 2π −
X
j
co natychmiast daje tezę twierdzenia.
37
αj ,
38
Bibliografia
Większość tekstu została napisana w oparciu o notatki z wykładu dr. hab. Andrzeja
Szczepńskiego, prof. UG, który odbywał się w semestrze letnim roku akademickiego 2006/2007 na Uniwersytecie Gdańskim. Dodatkowo, niektóre fragmenty zostały
rozbudowane na podstawie poniższych źródeł.
1. M. Sadowski – Geometria różniczkowa, Gdańsk, 1998.
2. W. Klingenberg – A course in differential geometry, Nowy Jork, 1978.
3. J. Oprea – Geometria różniczkowa i jej zastosowania, Warszawa 2002.
W internecie można też znaleźć inne opracowania wykładów z Geometrii Różniczkowej z różnych uczelni. Poniżej zebrano najciekawszych z nich. Wszystkie podane odnośniki działały poprawnie dnia 14 czerwca 2007.
1. A. Altland – Differential Geometry
http://www.thp.uni-koeln.de/alexal/PDF_DOCUMENTS/diff_geo.pdf
2. A. Białynicki-Birula – Geometria różniczkowa II
http://www.mimuw.edu.pl/~bbirula/matdyd/g_roz99_00/wyk1.pdf
3. B. Csikós – Differential Geometry
http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html
4. P. Michor – Topics in Differential Geometry
http://www.mat.univie.ac.at/~michor/dgbook.pdf
5. R. Sharipov – Course of differential geometry, The Textbook
http://babbage.sissa.it/PS_cache/math/pdf/0412/0412421v1.pdf
6. P. Walczak – Geometria różniczkowa 2
http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Difgeo.pdf
7. P. Walczak – Wstęp do Geometrii Różniczkowej
http://math.uni.lodz.pl/~pawelwal/Dg-wstep.pdf
8. G. Weinstein – Elementary Differential Geometry: Lecture Notes
http://www.math.uab.edu/weinstei/notes/dg.pdf
39
9. S. Yakovenko – Lecture notes for the course in Differential Geometry
http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/Geometry/
10. D. Zaitsev – Diffential Geometry: Lecture Notes
http://www.maths.tcd.ie/~zaitsev/ln.pdf
40