samolot xp

Rachunek Prawdopodobieństwa
Zestaw 2
Katarzyna Lubnauer
Zmienna losowa dyskretna
1. Rzucamy dwa razy kostką do gry, niech zmienna losowa X to suma oczek w
obu rzutach. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące
prawdopodobieństwa:
a)
b)
c)
P0  X  10
P X  5
P X  5,8/ X  7
Policz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.
2. Rzucamy cztery razy monetą, niech zmienna losowa X to liczba wyrzuconych
reszek. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa:
a)
P0  X  10
b)
P( X  2,5)
c)
P( X  2,5 / X  1,3)
3. Policz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X z zadania 2.
4. Rzucamy kostką, jeśli wypadnie parzysta liczba oczek wygrywamy 5 zł, jeśli
wypadnie liczba oczek podzielna przez 5 wygrywamy 10 zł, w pozostałych
przypadkach przegrywamy 7 zł. Znajdź rozkład wygranych. Znajdź jego wartość
oczekiwaną i wariancję.
5. Rzucamy 2 razy kostką, jeśli wypadnie suma oczek większa niż 6 ale
mniejsza niż 11 wygrywamy 5 zł, jeśli wypadnie suma oczek większa niż 10
wygrywamy 7 zł, w pozostałych przypadkach przegrywamy 6 zł. Znajdź rozkład
wygranych. Znajdź jego wartość oczekiwaną i wariancję. Czy jest to gra uczciwa?
6. Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X ilość pól
pod jego biciem. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące
prawdopodobieństwa:
a)
b)
P( X  3)
P X  a , a  R
1
7. Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieństwem p 
1
. Niech
4
zmienna X ilość strzałów poprzedzających trafienie. Znajdź rozkład zmiennej X.
Policz EX , D 2 X .
8. Rzucamy kostką do wyrzucenia 6. Niech zmienna X ilość wykonanych rzutów.
Znajdź rozkład zmiennej X. Policz EX , D 2 X .
9. W urnie znajduje się 10 kulek zielonych i 5 białych. Z urny losujemy 4 kule.
Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład
zmiennej X. Znajdź jego wartość oczekiwaną i wariancję.
10. W urnie znajduje się 7 kulek czarnych i 7 białych. Z urny losujemy 3 kule.
Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład
zmiennej X. Znajdź jego wartość oczekiwaną i wariancję.
11.
Znajdź rozkład zmiennej Y  X 2 dla X o rozkładzie danym tabelą:
X
1
0
1
2
PX
1
4
1
4
1
4
1
4
Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych X , Y .
12. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y  3 X  4 dla zmiennej X
z poprzedniego zadania.
13. Wiemy, że EX  1, D2 X  1 . Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję
zmiennej Y  3X  4 .
14. Wiemy, że EX  1, D2 X  1 . Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję
zmiennej Y  2 X  10 .
15.
1
 3
k
Niech P(k )  c  , dla k  0,1,2,... , dla jakiego c jest to rozkład pewnej
zmiennej.
16.
Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję w podstawowych rozkładach
dyskretnych
17.
a)
0-1(zero-jedynkowym) z parametrem p ( P(1)  p, P(0)  1  p )
b)
Bernouliego ( P(k )    p k q n k , gdzie k  0,1,2,..., n i p  q  1 )
c)
Geometrycznym Pk   q k p, k  0,1,2,..., p  q  1
d)
Poissona Pk  
n
k 
k
k!
e  , k  0,1,2,...
Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła, niech X zmienna, który
przyjmuje wartość równą
ma wartość oczekiwaną?
 2k
k
, gdzie k  1,2,... liczba rzutów. Czy zmienna ta
2
18. Gracz rzuca jeden raz symetryczną kostką i wygrywa 6 złoty jeśli wypadnie
6 oraz przegrywa s złotych jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest
sprawiedliwa.
19. Gracz rzuca dwa raz monetą i wygrywa 14 złotych jeśli wypadną 2 orły
oraz przegrywa s złotych jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest
sprawiedliwa.
20.
*Dwaj gracze grają w następującą grę:

Pierwszy losuje z urny zawierającej 5 kul białych i 5 czarnych do
momentu wylosowania kuli białej i zdobywa tyle punktów ile razy
losował

Drugi rzuca monetą do momentu wyrzucenia orła, ale niezależnie od
wyniku kończy po maksymalnie 6 rzutach. Zdobywa on tyle punktów
ile wykonał rzutów monetą.
Wygrywa ten z graczy, który zdobędzie więcej punktów. Którym graczem chcesz
zostać?
21. Rzucamy kostką do momentu wyrzucenia 1 po raz drugi. Znajdź wartość
oczekiwaną ilości wykonanych rzutów kostką.
22. Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła po raz trzeci. Znajdź
wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów.
23. W urnie jest n kul, spośród, których jedna jest biała. Losujemy z urny po 1
kuli do momentu wylosowania kuli białej. Niech X ilość losowań. Znajdź rozkład X
jeśli:
a)
losujemy ze zwrotem,
b)
losujemy bez zwracania.
Zmienna losowa ciągła
1. Z odcinka  3,5 losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie:
a) wybraną liczbą,
b) odległością wybranej liczby od 5,
c) odległością wybranej liczby od 0,
d) kwadratem wybranej liczby,
e) całością z wybranej liczby.
W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość
rozkładu( o ile istnieje).
2. Z odcinka  2,1 losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie:
a) wybraną liczbą,
b) odległością wybranej liczby od 0,
3
c) kwadratem wybranej liczby pomniejszonym o 2,
d) maksimum z wybranej liczby i liczby 1,
e) minimum z wybranej liczby i liczby 1.
W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość
rozkładu( o ile istnieje).
3. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
1
 2 dla  2  x  1

f  x   ax 2 dla 0  x  1
0 dla pozostaych x


gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.
Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję.
4. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
1
 3 dla  1  x  0

f  x   ax dla 0  x  1
0 dla pozostaych x


gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.
Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję.
5. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
e   x dla x  0
f x   
dla x  0
0
gdzie pewna  nieznana stała.(Rozkład mający powyższą gęstość to
rozkład wykładniczy). Znajdź  wiedząc, że
P   : X w  2  2P   : X w  4 . Policz dystrybuantę tej zmiennej.
6. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
2e  ax dla x  0
f x   
dla x  0
0
gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X oraz
EX , D 2 X .
7. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem: f x   ae
P X  1
x
. Znajdź a oraz
4
8. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny nad odcinkiem 0, b,
P   : X w  2  2P   : X w  4, znajdź b oraz policz dystrybuantę,
wartość oczekiwaną i wariancję.
9. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny nad  2,5; 0  1; 4,5 . Podaj gęstość

1

oraz P X   1 .Policz dystrybuantę, wartość oczekiwaną i wariancję.
2


10. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję (o ile istnieją) w podstawowych
rozkładach ciągłych:
a) jednostajnym nad odcinkiem a, b
b) Couchiego
c) Gaussa
d) wykładniczego
11. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem  2,2. Znajdź wartość
oczekiwaną i wariancję rozkładu Y  2 X  3 . Skorzystaj z własności wartości
oczekiwanej i wariancji.
12.
Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem  2,2. Znajdź wartość
oczekiwaną rozkładu Y  X 2 . Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej.
13. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem 0,2 . Znajdź rozkład
zmiennej Y  2 X  3 . Policz wartość oczekiwaną i wariancję Y.
14.
Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem  2,2. Znajdź rozkład
zmiennej Y  X .
15. Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem  1,2 . Znajdź rozkład
zmiennej Y   X .
16.
Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem  1,2 . Znajdź rozkład
zmiennej Y  X 2 .
17.
Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem  1,2 . Znajdź rozkład
zmiennej Y  max 0, X  . Jaki to typ rozkładu?
18. Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem   1 . Znajdź rozkład
zmiennej Y  X .
19. Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem   1 . Znajdź rozkład
zmiennej Y  2 X  3 .
20. *Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem   1 . Znajdź rozkład
zmiennej Y  e  X .
1
.
X
21.
*Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y 
22.
Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y  2 X .
5
23.
Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami  i m . Znajdź rozkład
zmiennej Y 
X m

.
24.
Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami   1 i m  2 . Korzystając z
25.
Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami   1 i m  3 . Korzystając z
tablic matematycznych znajdź prawdopodobieństwo P0  X  2 .
tablic matematycznych znajdź prawdopodobieństwo P 1  X  1 .
Zmienne losowe mieszane
1. Dwie osoby mają się spotkać między godziną 18 a 19 w pubie. Osoba która
przyjdzie pierwsza czeka na drugą, ale nie dłużej niż 15 minut. Zmienna
losowa X to czas oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza. Znajdź
dystrybuantę tego rozkładu. Zbadaj czy istnieje gęstość.
2. Niech zmienna X przyjmuje wartość 1 z prawdopodobieństwem
1
, oraz
2
przyjmuje wszystkie wartości z 2,3 jednostajnie. Policz wartość oczekiwaną
zmiennej X.
3. Tomek umówił się z Anią do kina między 17.00 a 18.00 i postanowił, że nie
czeka dłużej niż pół godziny. Znajdź rozkład zmiennej będącej czasem
oczekiwania Tomka, jeśli wiemy, że Tomek przyszedł przed Anią. Policz
wartość oczekiwaną czasu oczekiwania.
4. Losujemy punkt z koła jednostkowego, X przyjmuje wartość równą odległości
1
1
od środka koła i wartość dla
2
2
pozostałych punków. Znajdź rozkład X, zbadaj jego rodzaj. Znajdź EX .
od środka koła dla punków odległych o ponad
Rozkłady dwuwymiarowe, niezależność zmiennych
1. Wektor losowy  X , Y  . Niech rozkład wektora losowego  X , Y  wyraża się
macierzą P gdzie Pi , j oznacza prawdopodobieństwo przyjęcia przez wektor X
1
4
wartości xi , y j  , gdzie y1  0, y 2  1, y3  2 zaś x1  0, x j  1 , P  
0

1 
0
3 
 .
1 1
4 6 
Znajdź dystrybuantę wektora losowego, zbadaj niezależność zmiennych X,Y.
2. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y
suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady
brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.
6
3. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y
suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady
brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.
4. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X minimum wyników z obu rzutów, a Y
maksimum wyników z obu rzutów. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź
rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.


dla x  0,1 i y 0,2
dla pozostaych x, y
c x 2 y  y ,
5. Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X ,Y x, y   
0
była gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj
niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.
ce  x  y  ,
0
6. Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X ,Y x, y   
dla x  0 i y  0
była
dla pozostaych x, y
gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj
niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.

cy ,
7. Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X ,Y  x, y   
0

1
i y 0,1
y
była
pozostaych x, y
dla 0  x 
dla
gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj
niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.
8. Znajdź macierz kowariancji dla wektorów losowych z zadań 1,2,3,4,5,6.
1
 , dla x, y   D
9. Niech funkcja: f X ,Y x, y    2
gdzie

0 dla pozostaych x, y
D  x, y   R 2 : y  x  1 i y  x  1 , gęstość dwuwymiarowego wektora (X,Y).


Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Policz, że E(XY)=E(X)∙E(Y).
Prawa Wielkich Liczb
1. Samolot ma 120 miejsc, prawdopodobieństwo, że losowy pasażer nie pojawi
się wynosi 0,1. Sprzedano 125 biletów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a. każdy przybyły pasażer będzie miał miejsce
b. samolot odleci bez pustych miejsc
2. Średnio 1 osoba na 1000 ma pewną rzadką grupę krwi.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowej grupie 10000 osób, żadna
nie będzie miała tej grupy krwi?
b. Ile osób trzeba przebadać, aby z prawdopodobieństwem niemniejszym
niż
1
, co najmniej jedna osoba miała tę grupę krwi.
2
3. Średnio w jednej na 500 torebek kaszy znajduje się kamyczek z pola. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że zużywając 5000 torebek kaszy w restauracji, nie
trafimy na żaden kamyk?
7
4. Książka składa się z 500 stron i zawiera 50 błędów. Oszacować
prawdopodobieństwo, że losowo wybrana strona będzie zawierać co najmniej
3 błędy.
5. Kwadrat podzielono na 100x100 mniejszych, identycznych kwadracików.
Jeden z kwadracików malujemy na czerwono, następnie 1000 razy losuję
jeden punkt z kwadratu. Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że co
najmniej 3 razy trafimy na czerwony kwadrat?
6. Dwóch korektorów przeczytało książkę. Pierwszy znalazł 91 błędów, drugi 53,
przy czym błędów zauważonych przez obu było 39. Następnie obaj korektorzy
zostali zwolnieni. Dlaczego?
7. W Warszawie na Ursynowie ginie średnio 7 samochodów tygodniowo. Jaka
jest szansa, że jutro będzie „ Dzień bez skradzionego samochodu” na
Ursynowie, przy założeniu, że działania złodziei mają charakter stały.
8. Co miesiąc w dużym mieście wybucha ok. 60 pożarów, regularnie przez cały
rok. Jak jest szansa, że w dniu dzisiejszym straż pożarna nie będzie musiała
interweniować ani razu?
8