0 dla xxxx≥5 1 - E-SGH
Transkrypt
0 dla xxxx≥5 1 - E-SGH
Jednowymiarowa zmienna losowa Zadanie 1 Zmienna losowa przyjmuje wartości –1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi, odpowiednio, ¼, ½ i ¼ . Należy: a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej b) Zdefiniować i przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej. Zadanie 2 Mając daną dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej X: F(x)= 0 dla x<0,5 1/3 dla 0,5≤x<1 2/3 dla 1≤x<5 1 dla x≥5 wyznacz: a) moment zwykły rzędu pierwszego zmiennej X b) P(X≤0,5), P(0,5≤X≤5), P(X≥1), P(X>0,5). c) Narysuj wykres funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuantę. Zadanie 3 Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisują następujące wartości P(-4)=0,1, P(-2)=0,2, P(0)=0,5, P(1)=0,1 i P(4)=0,1. a) Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=2X + 1. b) Czy przekształcenie matematyczne zmiennej X w zmienną Y zgodnie z powyższą regułą zmienia wartości dwóch podstawowych parametrów rozkładu, tj. wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y w stosunku do wartości parametrów zmiennej X. Udowodnij odpowiedź. c) Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z=2X2 + 1. Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej Z korzystając z jej własności. Zadanie 4 Zmienna losowa X ma rozkład: xi -1 0 1 2 P(xi) 0,1 0,4 0,2 0,3 a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y=X2+1 b) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Z=3X+1 Zadanie 5 Z wcześniejszych badań jakości produkcji wynika, że 20 partii produkcji na 100 nie spełnia przyjętych norm i zostaje odrzucona. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kontrola odrzuci 2 partie żarówek z 10 zbadanych? Zadanie 6 Prawdopodobieństwo, że sprzęt zakupiony w pewnym sklepie AGD nie trafi w ustalonym terminie pod wskazany adres wynosi 0,25. Ekipa transportowa ma dowieźć 6 lodówek do nowych właścicieli. Obliczyć a) jaka jest oczekiwana liczba lodówek dostarczonych w terminie na wskazany adres? b) prawdopodobieństwo, że wszystkie lodówki trafią pod wskazany adres, c) prawdopodobieństwo, że będą 2 pomyłki, d) prawdopodobieństwo, że będą co najmniej 3 pomyłki. Jakie założenia należy przyjąć w rozwiązaniu zadania? 1 Zadanie 7 Czas świecenia żarówki ma rozkład normalny z parametrami μ= 2000 godz. oraz σ = 200 godz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić: a) od 1800 do 2200 godzin? b) mniej niż 1600 godzin? c) więcej niż 2600 godzin ? d) dokładnie 2100 godzin? e) Dla jakiej wartości czasu świecenia żarówki dystrybuanta w badanym rozkładzie przyjmuje wartość 0,25? Proszę zinterpretować tę wielkość. Zadanie 8 Waga kotów dachowców jest zmienną losową (X) o rozkładzie normalnym ze średnią równą 3 kg i odchyleniu standardowym równym 0,5 kg. Waga psów podwórkowych jest zmienną losową (Y) o rozkładzie normalnym N(6 kg; 1 kg). Co jest bardziej prawdopodobne: że waga losowo wybranego kota będzie nie większa niż 2,5 kg, czy znalezienie psa, który będzie ważył więcej niż 7,5 kg. Zaznaczyć wyniki na wykresie funkcji gęstości przed i po standaryzacji. Zadanie 9 Zakładając, że czas oczekiwania w kolejce do banku na SGH ma rozkład normalny N(15, 5), określić, jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie się stało w kolejce: a) w czasie nie dłuższym niż 10 min? b) w czasie krótszym niż 18 min ale dłuższym niż 12 min? c) jaki procent klientów będzie oczekiwał w kolejce w czasie nie krótszym niż 18 min? Wyniki proszę zilustrować graficznie. Zadanie 10 Janek biega ze średnią prędkością 6 km. na godz. z odchyleniem standardowym wyników 2 godz., rzuca młotem zaś, średnio na 30 m, z odchyleniem standardowym 15 m. Dziś Janek przebiegł dystans z prędkością 7 km na godz. i rzucił młotem na 32 m. Jeśli przyjąć, że wyniki sportowe Janka mają rozkład normalny, to: a) Jaki procent wyników Janka w bieganiu jest gorszych od dzisiejszego? b) Jaki procent wyników w rzucie młotem jest lepszych od dzisiejszego? c) Jakie wyniki Janka należą do 5% najlepszych w bieganiu? d) Jakie wyniki Janka należą do 10% najgorszych w rzucie młotem? Zadanie 11 Średnia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładając, że waga ma rozkład normalny obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) losowo wybrany produkt waży nie mniej niż 21,2 kg, b) losowo wybrany produkt waży więcej niż 20 kg. Zadanie 12 Pewna zmienna losowa z wartością oczekiwaną 5 i wariancją 4 ma rozkład normalny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ta zmienna losowa przyjmie wartość ujemną. Zadanie 13 Określić odchylenie standardowe przyrządu pomiarowego, o którym wiadomo, że z prawdopodobieństwem 0,95 daje błąd nieprzekraczający 3 jednostek. Zakłada się, że rozkład błędu pomiaru jest normalny z wartością oczekiwaną równą zero. Zadanie 14 Zmienna losowa X ma rozkład N(m, 30). Znaleźć m wiedząc, że P( X < 80 ) = 0,6915. 2 Zadanie 15 Czas spóźnień studentów na zajęcia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wariancji 0,25. a) Jakie jest średni czas spóźnienia jeśli co piąte spóźnienie było krótsze od 2 min.? b) Jak często studenci spóźniają się dłużej niż o średni czas spóźnienia? Zadanie 16 Jeśli wynik ma rozkład normalny, to które wartości są bardziej prawdopodobne: bliższe środka rozkładu, czy dalej od środka położone? Zadanie 17 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5; 1,5). Obliczyć: c) P(m-σ < X < m+σ) d) P(m-2σ < X < m+2σ) e) P(m-3σ < X < m+3σ) Zadanie 18 Dane są następujące zmienne losowe: X∼ N(2;1), Y∼ N(5;2), Z∼ N(3;0,5), U∼ N(1;0). Obliczyć P(X+Y+Z+U > 12). Zadanie 19 Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta o 5 stopniach swobody. Obliczyć: a) P( | t| < 1,48) b) P( t < 2,5 ) c) P( t > 4,0 ) Zadanie 20 Zmienna losowa χ2 ma rozkład chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Obliczyć: a) P (χ2 >18,3) b) P (3,9 < χ2 < 18,3) Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu: Zbiór zadań: 1.1.1, 1.1.2, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.11, 1.1.15, 1.2.13 – 1.2.17, 1.2.19, 1.2.23 Zestaw dr Wieczorek: 1-5, 7-10. 3