Kanoniczna posta¢ diagonalna macierzy wielomianowych (t

1
Kanoniczna posta¢ diagonalna macierzy wielomianowych (t-macierzy).
(A. Mróz
04.2010)
Denicje.
k -ustalone
• t-macierz¡
•
k=R
lub
nazywamy dowoln¡ macierz
k = C).
M ∈ Mn×m (k[t]), n, m ≥ 1.
A, B ∈ Mm×n (k[t]) nazywamy równowa»nymi (ozn. A ≈ B ), je»eli istniej¡
C ∈ Mm×m (k[t]) i D ∈ Mn×n (k[t]) takie, »e A = CBD.
Dwie t-macierze
odwracalne
•
ciaªo (np.
Elementarn¡ operacj¡ wierszow¡ (EOW) na
t-macierzy A
nazywamy ka»d¡ z poni»szych
trzech operacji:
1. przestawienie dwóch dowolnych wierszy
A
miejscami,
2. pomno»enie dowolnego wiersza przez niezerowy skalar,
3. dodanie do dowolnego wiersza
innego wiersza pomno»onego przez dowolny wielomian.
•
Analogicznie deniujemy elementarne operacje kolumnowe (EOK) na
•
Mówimy, »e
gdzie
t-macierz A ∈ Mm×n (k[t]) jest w kanonicznej postaci diagonalnej


E1 . . . 0 . . . 0
.
. 
..
 ..
.
.
.
.
. 
 .


A =  0 . . . Er . . . 0  ∈ Mx×y (k[t]) ,
 ..
.
. 
.
. 
 .
.
.
0 ... 0 ... 0
Ej = Ej (A) ∈ k[t], j = 1, . . . , r = r(A),
malizowanymi (tzn.
E1 |E2 , . . . , Er−1 |Er
•
Dla
t-macierzy.
o ile
s¡ niezerowymi wielomianami znor-
t
równy 1) takimi, »e
1 ≤ s ≤ min(m, n), przez Ds (A) oznaczamy
A stopnia s (przyjmujemy, »e
nwd takiego ukªadu
maj¡ wspóªczynnik przy najwy»szej pot¦dze
(w pozostaªych miejscach stoj¡ zera).
A ∈ Mm×n (k[t])
i
dzielnik wszystkich minorów macierzy
najwi¦kszy wspólny
wielomianów, w którym przynajmniej jeden wielomian jest ró»ny od zera, jest wielomianem
unormowanym; przyjmujemy, »e nwd wielomianów zerowych jest
»e
0;
ponadto przyjmujemy,
D0 (A) = 1).
Fakty.
1. Dla dowolnej
t-macierzy A ∈ Mm×n (k[t]) istnieje
A ≈ ∆(A).
dokªadnie jedna macierz
∆(A)
nicznej postaci diagonalnej taka, »e
2. Dla dowolnych
A, B ∈ Mm×n (k[t]),
poni»sze warunki s¡ równowa»ne
• A ≈ B,
• A
mo»na sprowadzi¢ do
B
poprzez sko«czony ci¡g EOW i EOK,
• ∆(A) = ∆(B),
• Ds (A) = Ds (B),
3. Dla dowolnej
(Wielomiany
dla wszystkich
1 ≤ s ≤ min(m, n).
t-macierzy A ∈ Mm×n (k[t]) oraz 1 ≤ s ≤ min(m, n) zachodzi
( D (A)
s
Ds−1 (A) , gdy Ds (A) 6= 0,
Es (∆(A)) =
0,
gdy Ds (A) 6= 0.
Es (∆(A))
nazywamy czynnikami niezmienniczymi
wzór
t-macierzy A).
w kano-
2
Zadanie.
Dla dowolnej ustalonej
posta¢ diagonaln¡
t-macierzy A = [aij ] ∈ Mm×n (k[t])
znajd¹ jej kanoniczn¡
∆(A).
Rozwi¡zanie 1.
Macierz
∆(A)
jest wyznaczona przez czynniki niezmiennicze
mo»na znale¹¢ bezpo±rednio stosuj¡c wzór z Faktu 3.
Es (A),
które
Zauwa»my jednak, »e ten sposób jest
bardzo zªo»ony obliczeniowo, gdy» wymaga wyliczenia du»ej liczby wyznaczników! Dlatego dla
wi¦kszych
t-macierzy
Rozwi¡zanie 2.
Krok 1.
bardziej optymalny jest algorytm podany w rozwi¡zaniu poni»ej.
Algorytm wyznaczania
∆(A):
Znajdujemy niezerowy wspóªczynnik macierzy
A o najmniejszym stopniu i wykonuj¡c EOW
a11 ). Je»eli
i EOK przestawiamy go w lewy górny róg (tzn. staje si¦ on wspóªczynnikiem
takiego nie ma - KONIEC.
Krok 2.
Po kroku 1 element
2.1.
Je»eli
a11 | aij ,
wspóªczynniki
a11 6= 0
ma najmniejszy stopie«.
dla wszystkich
A),
i = 1, . . . , m
oraz
j = 1, ..., n
(tzn.
to wykonuj¡c EOW i EOK sprowadzamy

a11 0 · · ·
 0

 ..
 .
A0
0
0
A
a11
dzieli wszystkie
do postaci





a1j
a11 od kolumny j -tej, dla j =
i analogicznie dla wierszy). Normalizujemy wielomian a11 tzn. dzielimy go
(czyli odejmujemy pierwsz¡ kolumn¦ pomno»on¡ przez
1, . . . , n
przez wspóªczynnik stoj¡cy przy najwy»szej pot¦dze
A0
t.
Przechodzimy z podmacierz¡
do kroku pierwszego.
2.2. Je»eli nie zachodzi 2.1, tzn. gdy istniej¡ i, j takie, »e a11 - aij
2.2.1. Je»eli istnieje j ≥ 2 takie, »e a11 - a1j to
a1j = qa11 + a01j oraz deg(a01j ) <
deg(a11 ) (tzn. wykonujemy dzielenie z reszt¡ a1j przez a11 ),
· odejmujemy pierwsz¡ kolumn¦ pomno»on¡ przez q od kolumny j -tej. Wówczas
0
w miejscu 1j stoi a1j .
Je»eli nie 2.2.1 oraz istnieje i ≥ 2 takie, »e a11 - ai1 to wykonujemy analogiczne
·
2.2.2.
2.2.3.
szukamy wielomianów
a01j , q
to
takich, »e
operacje jak w 2.2.1 w wersji wierszowej.
Je»eli nie 2.2.1 i nie 2.2.2 (⇒
takie, »e
·
a11 - aij ),
a11 |a1s i a11 |at1 , dla wszystkich s, t, i istniej¡ i, j ≥ 2
to
1j
a11 - f ),
(wówczas w miejscu
zauwa»my, »e
stoi
a11
a w
a
1j
− a11
+ 1 dodajemy do kolumny j -tej
a1j
miejscu ij stoi f = aij + ai1 (−
a11 + 1);
pierwsz¡ kolumn¦ pomno»on¡ przez
a0ij , q takich, »e f = qa11 + a0ij i deg(a0ij ) < deg(a11 )
(tzn. dzielimy z reszt¡ f przez a11 ),
· odejmujemy pierwszy wiersz pomno»ony przez q od wiersza i-tego. Wówczas
0
w miejscu ij stoi aij .
·
szukamy wielomianów
Zauwa»my, »e w ka»dym z wykluczaj¡cych si¦ przypadków 2.2.* nowy element
jest niezerowym wielomianem o najni»szym stopniu (<
macierzy
A.
deg(a11 ))
a0ij
w zmodykowanej
Przechodzimy z t¡ zmodykowan¡ macierz¡ do kroku pierwszego.
3
Szkic dowodu poprawno±ci algorytmu. Zauwa»my najpierw, »e algorytm zawsze si¦ zatrzyma,
gdy» z kroku 2 przechodzimy do kroku 1 albo z macierz¡ o mniejszym rozmiarze, albo z macierz¡
o istotnie zmniejszonym stopniu
deg(A) = min{deg(aij ) : aij 6= 0}
(st¡d co sko«czon¡ liczb¦
kroków b¦dziemy wykonywali operacj¦ 2.1 zmniejszaj¡c¡ rozmiar macierzy).
Oznaczmy przez
B
macierz powstaª¡ z
A
po zako«czeniu algorytmu. Poniewa» w ka»dym
kroku wykonujemy jedynie EOW i EOK, na mocy Faktu 2 mamy
z konstrukcji operacji 2.1 ªatwo wynika, »e
B
A ≈ B.
Z drugiej strony,
jest w kanonicznej postaci diagonalnej. Poniewa»
na mocy Faktu 1 posta¢ kanoniczna jest jednoznaczna, otrzymujemy ostatecznie
Przykªad.
B = ∆(A). Sprowadzimy macierz
t−1
t3 − 1
t2 − 1 t2 + 2t + 1
A=
do kanonicznej postaci diagonalnej
∆(A).
∈ M2×2 (R[t])
Zauwa»my, »e dla tak maªej macierzy ªatwiej jest
2 (A)
E1 (A) = D1 (A), E2 (A) = D
D1 (A) .
3
2
2
5
3
Poniewa» D1 (A) = nwd{t − 1, t − 1, t − 1, t + 2t + 1} = 1 oraz D2 (A) = det(A) = t − 2t −
2t2 + t + 2, mamy zatem
1
0
E1 (A)
0
.
=
∆(A) =
0 t5 − 2t3 − 2t2 + t + 2
0
E2 (A)
skorzysta¢ z Rozwi¡zania 1.
Zilustrujemy teraz na
A
Stosujemy wzory z Faktu 3:
algorytm z Rozwi¡zania 2.
Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia
operacji elementarnych:
• ZWij
(odp.
• DWij (f )
(odp.
wielomian
• MWi (α)
ZKij )
f
zamiana miejscami wierszy (odp. kolumn) o numerach
DKij (f ))
dodanie wiersza (odp.
do wiersza (odp. kolumny)
(odp.
MKi (α))
kolumny) nr
i
pomno»onego przez
j,
pomno»enie wiersza (odp. kolumny)
i
przez skalar
A wspóªczynnik a11 ma najmniejszy stopie«, przechodzimy
3
2
2
Mamy a11 = t − 1 | t − 1, t − 1, ale a11 - t + 2t + 1, jeste±my wi¦c w sytuacji
t3 −1
2
Wykonujemy wi¦c DK12 (f1 ), gdzie f1 = −
t−1 + 1 = −t − t i otrzymujemy
Widzimy, »e w
"
i i j,
t−1
α ∈ R.
wi¦c do Kroku 2.
2.2.3 z
i = j = 2.
#
t−1
t2 − 1 −t4 − t3 + 2 t2 + 3 t + 1
Poniewa»
−t4 −t3 +2 t2 +3 t+1 = (−t3 −2 t2 +3)(t−1)+4, wykonujemy DW12 (−(−t3 −2 t2 +3))
i mamy
"
t−1
t−1
t4 + t3 − t2 − 3 t + 2
4
i przechodzimy do Kroku 1. Najmniejszy stopie« ma
#
a22 = 4,
wykonujemy wi¦c
i dostajemy
4
t4 + t3 − t2 − 3 t + 2
t−1
t−1
"
Jeste±my zatem w sytuacji 2.1. Robimy
"
4
#
.
DW12 (− 14 (t − 1)):
t4 + t3 − t2 − 3 t + 2
0 − 14 (t5 − 2 t3 − 2 t2 + t + 2)
#
ZW12
i
ZK12
4
Nast¦pnie
DK12 (− 14 (t4 + t3 − t2 − 3 t + 2))
"
1
i normalizacja
a11 ,
czyli
MW1 ( 41 )
i otrzymujemy
#
0
0 − 14 (t5 − 2 t3 − 2 t2 + t + 2)
.
Przechodzimy z macierz¡
1 5
3
2
A = − (t − 2 t − 2 t + t + 2) ∈ M1×1 (R[t])
4
0
do Kroku 1. W Kroku 1 oczywi±cie nic sie nie dzieje i jeste±my w trywialny sposób w sytuacji
2.1.
Pozostaje wykona¢ jedynie normalizacj¦, czyli
MW1 (−4)
na macierzy
A0
i przechodzimy
z macierz¡ pust¡ do Kroku 1. Nie ma w macierzy pustej niezerowego wielomianu, wi¦c algorytm
si¦ zatrzymuje. Reasumuj¡c, dostali±my macierz
1
0
0 t5 − 2t3 − 2t2 + t + 2
,
czyli wszystko ok (dostali±my to samo, co powy»ej z formuª Faktu 3).
Uwaga.
Powy»sze rozwa»ania i algorytm mo»na ªatwo uogólni¢ dla macierzy o wspóªczyn-
nikach w dowolnym pier±cieniu Euklidesa
acji). Np. dla
R=Z
R
(a nie tylko dla
R = k[t]
jak w rozwa»anej sytu-
rol¦ stopnia odgrywa po prostu warto±¢ bezwzgl¦dna, element znormali-
zowany to element dodatni. Nale»y jeszcze zmodykowa¢ drug¡ operacj¦ elementarn¡. W przypadku
R = k[t] mno»yli±my wiersz (kolumn¦) przez niezerowy skalar, tj. wielomian odwracalny.
R = Z, mo»na mno»y¢ równie» przez elementy odwracalne, a takimi s¡ jedynie 1
W przypadku
−1.
w Z.
i
Po tych modykacjach mo»na caªe rozumowanie powtórzy¢ dla macierzy o wspóªczynnikach
Literatura
[1] F. R. Gantmacher, Matrix Theory, Chelsea, New York, 1959.
[2] I. M. Gelfand, Wykªady z algebry liniowej, Wyd. 2, PWN, Warszawa, 1974.
[3] J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach., PWN, Warszawa, 2008.