( ) 1 , ze G zeea

LEÇONS SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES
PAR ÉMILE BOREL*
Drugi tom swych „nowych wykładów” o teorii funkcji
poświęcił autor funkcjom całkowitym przestępnym. Monografia ta obejmuje prawie wszystkie badania, począwszy od zasadniczego odkrycia Weierstrassa, aż do
­badań ostatnich lat, jakie zawdzięczamy głównie matematykom francuskim. Autor ograniczył się do funkcji
całkowitych o rodzaju skończonym, dziedzina bowiem
funkcji całkowitych o rodzaju nieskończenie wielkim,
pomimo interesujących badań Hadamarda i Borela,
nie jest jeszcze należycie zgłębioną.
Autor rozpoczyna swój wykład od przedstawienia zasadniczego twierdzenia Weierstrassa, o rozkładzie jakiejkolwiek funkcji całkowitej na iloczyn czynników
pierwszych. Weierstrass okazał, iż znając miejsca zerowe an funkcji, można przedstawić taką funkcję w postaci iloczynu:

z
e H ( z )G ( z ) = e H ( z ) ∏ 1 −
an
n =1 
∞
z
1 z 
 an + 2  an 
e

2
++
1  z 
 
ρ n  an 
ρn
,
*
Maitre de conférences à l’École normale supérieure. Gauthier
Villars. Paris 1900. 124 s.
51
Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel
gdzie H (z) oznacza dowolną funkcję całkowitą, zaś ρn
liczbę całkowitą dodatnią, zależną lub nie od skaźnika
n. Dla funkcji o rodzaju skończonym istnieje zawsze
taka liczba całkowita p, dla której szereg
∞
∑
n=k
1
an
p+1
, K >‗ 1
jest zbieżny, zaś szereg
∞
∑
n=k
1
p
an
rozbieżny; dla funkcji o rodzaju nieskończenie wielkim
liczba taka nie istnieje. Tak np. dla funkcji o miejscach
zerowych an = log n, log log n, log log log n, . . . , rodzaj jest
nieskończenie wielki. W pierwszym przypadku iloczyn
nieskończony jest już zbieżny dla ρn = p, w przypadku zaś
funkcji o rodzaju nieskończenie wielkim liczby ρn mogą
być rozmaicie dobrane. Weierstrass podaje ρn = n, B o r e l wskazuje, iż liczby te można znacznie zmniejszyć, np.
 2 log n 
, gdzie E oznacza
 log a 
n


przyjąć ρn = E (log n), lub ρ n = E 
dobrze znany symbol z teorii liczb. Funkcją o rodzaju
skończonym nazywamy taką funkcję, w której rozkładzie funkcja H (z) redukuje się do wielomianu całkowitego pewnego stopnia q, rodzaj jest równy większej spośród liczb p, q. Borel wprowadza dla funkcji o rodzaju
skończonym nowe nadzwyczaj ważne pojęcie „wykładnika zbieżności” ρ. Liczba ta wymierna lub niewymierna, wskazuje przy dowolnie małym ε rozbieżność
­szeregu
∑a
n
1
ρ −k
, zaś zbieżność szeregu
∑a
n
1
ρ +ε
;
52
Zdzisław Krygowski
przy pomocy tej liczby można okazać, iż począwszy od
pewnego n, mamy dla dowolnie małego dodatniego η stale
1 −η
an > n ρ
1
ρ
, zaś dla nieskończenie wielu liczb n także an < n
+η
.
Twierdzenie Weierstrassa było punktem wyjścia
dla późniejszych badań, głównie Laguerre’a, Picarda,
Poincarégo, Ha damarda i Borela. Laguerre wprowadził pojęcie rodzaju, a nadto odkrył dwa ciekawe
twierdzenia, których wywód, podany w formie zbyt zwięzłej, dzięki wykładowi Borela zyskał na jasności i ścisłości. Pierwsze twierdzenie, powiada, iż dla funkcji rzeczywistych o rodzaju równym zeru lub jedności, mającej
wszystkie miejsca zerowe rzeczywiste, funkcja pochodna ma także zera rzeczywiste, a nadto między dwoma po
sobie następującymi zerami funkcji pierwotnej znajduje
się tylko jedno zero funkcji pochodnej. Funkcja pochodna jest tedy tegoż samego rodzaju, co funkcja pierwotna.
Drugie twierdzenie Laguerre’a odnosi się do funkcji
dowolnego rodzaju k, posiadającej pewną liczbę q pierwiastków urojonych. W tym razie funkcja pochodna jest
również rodzaju k i ma obok przynajmniej jednego zera
rzeczywistego, znajdującego się między dwoma dowolnymi po sobie następującymi zerami pierwotnej funkcji
(jak to wynika z twierdzenia Rolle’a) jeszcze co najwyżej
k+q zer, zresztą dowolnych, tj. rzeczywistych lub urojonych.
Poincaré pierwszy w roku 1883 zwraca uwagę na
sposób, w jaki funkcja całkowita F (z) o rodzaju skończonym, dana przez szereg Taylora Σ cmzm, wzrasta,
oraz prawo, według którego maleje ogólny spółczynnik
cm w zależności od rodzaju k.
Według pierwszego twierdzenia mamy dla dowolnego
dodatniego a:
Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel
{
lim e
−α z
k +1
}
53
⋅ F (z) = 0
z =∞
tj. począwszy od pewnego | z | = r, mamy stale:
F ( z ) < eα r ;
k +1
według drugiego zaś twierdzenia iloczyn
{
lim cm
k +1
}
m ! = 0,
m =∞
tj. począwszy od pewnego m dla funkcji o rodzaju k
jest 1 cm <
1
k +1
m!
.
Borel uzupełnia pierwsze twierdzenie i dowodzi dla iloczynu czynników pierwszych, tj. funkcji G (z), skoro wykładnik zbieżności zer wynosi ρ, nierówności
G ( z ) < er ,
ρ +ε
w której ε jest dowolnie małą wielkością dodatnią.
Rezultaty, otrzymane przez Laguerre’a, Poincarégo,
jakkolwiek bardzo ważne i interesujące, nie miały cechy
systematycznej. Za twórcę właściwego teorii funkcji całkowitych należy, obok Weierstrassa, uważać Hadamarda, którego praca: „Étude sur les propriétés des
fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann” (Journal de C. Jordan 1893), nagrodzona przez Akademię Nauk w Paryżu w roku 1892,
zawiera wiele głębokich i interesujących twierdzeń, rozświetlających dotychczas dość ciemną teorię funkcji
całkowitych. Nie wchodząc w treść zupełną powyższej
pracy, przytoczymy kilka najważniejszych twierdzeń,
54
Zdzisław Krygowski
odkrytych przez Hadamarda. Przede wszystkim znajdujemy w pracy Hadamarda dowód twierdzenia ogólnego o wzrastaniu funkcji całkowitej. Według tego twierdzenia mamy:
F ( z ) < zε ⋅ e∫
ψ (z)
z dz
,
ε > 0,
przy czym ψ (z) oznacza funkcję odwrotną funkcji
1
ϕ (m) =
, w której spółczynnik ogólny cm z rozwinięcia
mc
m
funkcji na szereg Taylora może być uważany, jak tego
osobno dowiódł Hadamard, jako pewna zupełnie określona funkcja argumentu m. Mając górną granicę wzrostu funkcji, Hadamard rozwiązuje następujące zadanie:
Wiedząc, iż maximum M (r) wartości bezwzględnej
funkcji dla |z| = r czyni zadość nierówności:
M ( r ) < eV ( r ),
pytamy, jak znaleźć górną granicę liczby miejsc zerowych, których wartości bezwzględne są mniejsze od r.
Skoro ograniczymy się do funkcji o rodzaju skończonym, można, jak to dowiódł prościej Schou, otrzymać
dla tej ilości n nierówność:
n<
V (r )
, przy czym
log ( s − 1)
r
an = , s > 2.
s
Dla funkcji, dla których
M ( r ) < er
ρ ' +ε
, ε >0
Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel
55
i które nazywamy funkcjami o rzędzie pozornym ρ′,
mamy wtedy twierdzenie, iż wykładnik zbieżności szeregu
1
∑a
ρ
jest mniejszy lub co najwyżej równy ρ′. W tej
n
formie podaje Borel owo, jak nazywa, pierwsze twierdzenie Hadamarda.
Według drugiego twierdzenia Hadamarda, mamy
dla punktów w skończonej odległości od kół, przechodzących przez miejsca zerowe an funkcji, dla iloczynu
czynników pierwszych G (z) tej funkcji, której wykładnik zbieżności wynosi ρ:
G ( z ) > e − r , ε > 0;
ρ +ε
innymi słowy mamy na nieskończenie wielu kołach, na
podstawie powyższego twierdzenia oraz wyżej cytowanego twierdzenia Borela, równocześnie:
er
ρ +ε
> G ( z ) > e− r .
ρ +ε
Twierdzenie to umożliwiło, jak to okazał H a d a m a r d, znalezienie stopnia wielomianu H (z), skoro
znany jest rząd pozorny funkcji oraz wykładnik zbieżności. Twierdzenie odpowiednie powiada, iż rząd pozorny, jeśli nie jest liczbą całkowitą, jest zawsze równy wykładnikowi zbieżności. Według tego twierdzenia
wyznacza się natychmiast czynnik eH (z) dla funkcji
sin z, czego, jak wiadomo, nie rozwiązuje bezpośrednio teoria We i e r s t r a s s a. Inne zastosowanie, znacznie ważniejsze, odnosi się do zbadania rodzaju pewnej funkcji, wprowadzonej przez R ie manna w celu
56
Zdzisław Krygowski
rozwiązania zadania znalezienia liczby liczb pierwszych, mniejszych od pewnej danej liczby. Funkcja ta
ss
1
ξ ( t ) = Γ   ( s − 1) π − S 2 ζ ( s ) , przy czym s = + it , oraz
22
2
1
S , jest funkcją całkowitą i parzystą oraz,
n =1 n
∞
ζ (s) = ∑
jak dowiódł pierwszy Hadamard, jest jako funkcja argumentu t2 rodzaju równego zeru. Dowód tego ważnego
twierdzenia, na którym opiera się rachunek Rieman na, podany w jego pracy bez dowodu, był na próżno
poszukiwany przez Stieltjesa, Halphena i innych;
dopiero Hadamard przez stworzenie zupełnie odrębnych metod, zdołał zadanie w zupełności rozwiązać.
W pracy swej: „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (Ges. Werke, wyd. II, 145 s.)
oznacza Riemann symbolem F (x) liczbę liczb pierwszych
mniejszych od liczby x wtedy, gdy x nie jest liczbą pierwszą, gdy zaś x jest liczbą pierwszą p, natenczas kładzie
F ( p ) = lim
F ( p +ε )− F ( p −ε )
2
ε =0
.
Nadto wprowadza nową funkcję f (x), określoną równością:
f ( x) = F ( x) +
( )
( )
1
1
1
1
F x 2 + F x 3 + ,
2
2
skąd na odwrót mamy:
F ( x) = ∑
m
µ (m)
1
f xm ,
m
( )
57
Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel
gdzie µ (m) = 0, gdy m ma czynnik kwadratowy, zaś µ (m) = ±1,
skoro m w swym rozkładzie na iloczyn liczb pierwszych
zawiera parzystą lub nieparzystą ilość liczb pierwszych.
∞
Między funkcją ζ ( s ) = ∑ n − s = Π (1 − p − s ) −1 a funkcją f (x)
n =1
istnieje związek:
log ζ ( s )
s
∞
= ∫ f ( x ) x − s −1dx ,
1
skąd na odwrót
f ( x) =
log ζ ( s ) s
1
x dx ,
∫
2π i a −i∞
s
n + i∞
gdzie a jest rzeczywiste, większe od 1. Nareszcie dowodzi Riemann, iż wyrażenie
ξ (t ) =
s ( s − 1)
2
1
s
π − s / 2 Γ   ζ ( s ) , s = + it ,
2
2
nie zmienia się, skoro w nim zamiast s położymy 1 – s,
tj. zamiast t, – t.
Funkcję ξ (t) wyraża Riemann wzorem:
∞
ξ ( t ) = 4∫
1
d
3

1
−1
ψ ' ( x ) x 2 x 4 cos  t log x  dx ;
dx

2
(
)
∞
ψ ( x ) ∑ e− n π x .
2
n =1
O funkcji ξ (t) dowiódł, jak powiedziano wyżej, pierwszy Hadamard, iż można ją przedstawić w postaci:

t2
ξ ( t ) = ξ ( 0 ) Π 1 −
n 
 α n2

 ,

58
Zdzisław Krygowski
gdzie αn są zerami tejże funkcji.
Opierając się na możliwości powyższego przedstawienia funkcji ξ (t), podał Riemann wzór:
(
(A)
f ( x ) = Li ( x ) − ∑  Li x 2

αn
∞
+∫
x
1 + iα
n
) + Li ( x )
1 + iα
n
2
1
dx
⋅
− log 2
x − 1 x log x
2
(por. Crelle J., t. 114, uwagę v. Mangoldta co do wyrazu log ξ (0), który mylnie pojawia się w rozprawie oraz
I i II wyd. (tylko w tekście) dzieł Riemanna). We wzorze
tym oznacza Li (x) tzw. logarytm całkowy, przy czym
x
dx
±πi .
log x
0
dla x > 1 i rzeczywistego jest: Li ( x) = ∫
W pracy Riemanna nie są wyznaczone miejsca zerowe
αn funkcji ξ (t) jako też nie jest dowiedziona zbieżność
szeregu, stojącego po prawej stronie związku (A). Co do
zer funkcji ξ (t) ograniczył się Riemann do uwagi, iż
znajdują się one w części płaszczyzny, zawartej
1
t
między prostymi R   = ± ; i że liczbę pierwiastków
2
i
równania ξ (t) = 0, których część rzeczywista jest większa od zera a mniejsza niż T, w przybliżeniu można wyznaczać z wzoru:
T
T
T
log
−
.
2π
2π 2π
Opierając się na twierdzeniu Hadamarda o rodzaju
funkcji ξ (t), dowiódł v. Mangoldt w pracy: Zu Rieman-
Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel
59
n’s Abhandlung „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter
einer gegebenen Grösse”. Crelle J., t. 114, s. 255–305,
następujących twierdzeń:
1) Równanie ξ (t) = 0 nie posiada pierwiastków, mających część rzeczywistą co do wartości bezwzględnej
mniejszą niż liczba 12. Skoro część rzeczywista pierwiastków jest większa niż 12, a mniejsza niż h, przy
czym h > 12, natenczas liczbę tychże można przedstawić wzorem:
{
}
h
h
h 5
2
log
−
+ + η 0, 34 ( log h ) + 1, 35 log h + 1, 33 ,
2π
2π 2π 4
gdzie η oznacza pewną liczbę pośrednią między –1, i +1.
2) Szereg (A) jest zbieżny i przedstawia istotnie funkcję f (x).
W dowodzie pierwszego z tych twierdzeń posługiwał
się v. Mangoldt przedstawieniem funkcji log Γ (z), danym dla z zespolonego przez Stieltjesa (Journal de C.
Jordan 1889, s. 431, (20), oraz s. 432, (25)), a odpowiadającym dla z rzeczywistego formule Stirlinga. Obliczenia liczby pierwiastków uskutecznia v. Man goldt, obliczając najprzód w pewien sposób odchylenie funkcji
3
3
log ξ (t) wzdłuż odcinka linii prostej  a − i , b − i  , gdzie
2
2

a i b są wielkościami rzeczywistymi oraz b > a. Badania
v. Mangoldta potwierdzają wyniki otrzymane poprzednio przez Jensena co do natury pierwiastków αn. Według Jensena mianowicie funkcja ξ (t) nie posiada zer,
których część rzeczywista co do bezwzględnej wartości
byłaby mniejsza niż 8,4, v. Mangoldt dowodzi jeszcze,
iż równanie ξ (t) = 0 posiada przynajmniej jeden pierwia-
60
Zdzisław Krygowski
stek, którego część rzeczywiście leży w granicach 0 i 53,
pierwiastek ten lub ewentualnie pierwiastki są jednak
nieznane.
W drugiej części swej pracy, na podstawie rozległych
i subtelnych poszukiwań nad pewnymi całkami i szeregami, otrzymuje jako przypadek szczególny wzór (A),
który tedy ostatecznie łącznie z wzorem
F ( x) = ∑
m
µ (m)
1
f xm
m
( )
rozwiązuje problemat Riemanna.
Pozostaje jeszcze znalezienie pierwiastków αn. W roku
1896 dowiódł Hadamard (Bulletin de la Société mathématique, t. XXIV) w pracy: „Sur la distribution des
zéros de la fonction ξ (s) et ses conséquences arithmétiques” i równocześnie prawie de la Valléc-Poussin
(Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XX)
w pracy: „Recherches analytiques sur la théorie des
nombres premiers”, iż funkcja ξ (s) nie ma zer na prostych R (s) = 0, R (s) = 1. Ponieważ zewnątrz części płaszczyzny s, ograniczonej tymi dwiema prostymi, funkcja
ξ (s), prócz punktów s = – 2 n1, (n = 1, 2, 3,...) nie posiada
innych zer (jak to wynika z własności funkcji Γ (x)), przeto
wszystkie pierwiastki funkcji ξ (s) mogą się mieścić jedynie w części płaszczyzny 1 > R (s) > 0. Riemann wyraził
przypuszczenie, iż wszystkie pierwiastki równania ξ (t) = 0
są rzeczywiste (Werke, wyd. II, s. 148, wiersz 8), tj. iż wszystkie pierwiastki równania ξ (s) = 0 mieszczą się na prostej
1
R ( s ) = . Twierdzenie to dotychczas nie zostało dowiedzione.
2
1
Por. Riemann l. c. s. 146, wiersz 16. oraz uwaga 1., s. 154.
Leçons sur les fonctions entiéres par Émile Borel
61
Ostatni rozdział książki Borela poświęcony jest
twierdzeniu Picarda oraz jego rozmaitym uogólnieniom. Według tego twierdzenia, nieistnienie pierwiastków dwóch równań F (z) = a, F (z) = b, gdzie a i b oznaczają dwie wielkości stałe, pociąga za sobą, iż funkcja
taka może być tylko wielkością stałą. Dowód Picarda,
jakkolwiek prowadzony drogą bardzo oryginalną i subtelną – polega bowiem na wprowadzeniu w rozumowanie funkcji odwrotnej funkcji modułowej, eliptycznej
– oparty jest jednak na własnościach funkcji, obcej zupełnie funkcjom całkowitym.
To też Hadamard, a później Borel, starał się dojść
do tego twierdzenia drogą, na której korzysta się jedynie
z własności funkcji całkowitych i ogólnych własności
funkcji. Hadamard rozwiązał zadanie powyższe dla
funkcji, których wzrastanie można porównać z wrastaniem jednej z funkcji szeregu:
ϕ1 ( z ) = e z , ϕ 2 ( z ) = e 1 ( ) , , ϕ m ( z ) = eϕm−1 ( z ) , ,
ϕ z
istnieją jednak funkcje całkowite, np.
∞
(z)
F ( z ) = ∑ ϕmm ( m ) ,
ϕ
m =1
które rosną prędzej, aniżeli jakakolwiek funkcja powyższego szeregu. W tym przypadku metoda Hadamarda
okazuje się niewystarczającą, można jednakże dowód
twierdzenia Picarda sprowadzić do dowodu twierdzenia o nieistnieniu równania
e F1 ( z ) + e F2 ( z ) = 1 ,
62
Zdzisław Krygowski
w którym F1 (z), F2 (z) oznaczają dowolne funkcje całkowite. Dowód ten podał Borel w roku 1896 w „Comptes
rendus”, znajduje się on w pierwszej nocie umieszczonej na końcu książki; pewne uogólnienia tego twierdzenia można znaleźć w rozprawie tegoż autora: „Sur les
fonctions entières”, drukowanej w t. XX „Acta Mathematica”.
Z. Krygowski