Tytuł dokumentu

Metody Kinetyki Biomolekularnej
in vitro i in vivo
pierwsza seria zadań
3 października 2016
Wprowadzenie.
Dyfuzja to proces samorzutnego rozprzestrzeniania się cząsteczek lub energii w danym ośrodku
(np. w gazie, cieczy lub ciele stałym), będący konsekwencją bezładnego ruchu cieplnego cząsteczek ośrodka. Można mówić o dwóch aspektach dyfuzji. Jeden aspekt to tzw. dyfuzja śledzona
(ang. tracer diffusion) czyli mikroskopowy proces polegający na chaotycznym ruchu pojedynczej (”śledzonej”) cząsteczki (ruchy Browna). Drugi aspekt to dyfuzja “chemiczna” czyli proces
wyrównywania się stężenia składników w układzie wieloskładnikowym lub wyrównywania temperatury w różnych częściach układu. Z punktu widzenia procesów molekularnych zachodzących
w komórkach organizmów żywych takich jak tworzenie kompleksów przez cząsteczki lub reakcje
chemiczne, znaczenie dyfuzji polega na tym, że to ona doprowadza do zetknięcia się cząsteczek
ze sobą, a jedynie po tym zetknięciu się mogą nastąpić dalsze etapy tworzenia kompleksu czy
też reakcji chemicznej.
Błądzenie losowe jest matematyczną formalizacją procesu przemieszczania się, który składa
się z wykonania kolejnych kroków przypadkowych, czyli każdy następny w losowo wybranym
kierunku. Na przykład ścieżka kreślona przez molekułę przemieszczającą się w cieczy czy gazie.
Pojęcie błądzenia przypadkowego zostało wprowadzone przez Karla Pearsona w 1905 roku.
Zadanie 1. Wyprowadzenie jednowymiarowego równania dyfuzji z prawa Ficka i
zasady zachowania masy.
W 1855 roku, niemiecki fizjolog Adolf Fick sformułował prawo dyfuzji, mające w jednym wymiarze postać
∂c
(1)
J = −D
∂x
gdzie J = J(x, t) jest strumieniem cząsteczek (liczba cząsteczek przechodzących w jednostce
czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku ich ruchu), a c = c(x, t) jest
stężeniem cząsteczek w punkcie x. Obie wielkości są w ogólności funkcjami czasu. Korzystając
z prawa Fick’a i zasady zachowania masy, wyprowadź jednowymiarowe równanie dyfuzji.
Rozwiązanie: Prawo zachowania masy odniesione do cząsteczek rozważanej substancji w przypadku jednowymiarowym stwierdza, że jeśli oś x-ów przetniemy dwiema prostopadłymi płaszczyznami to zmiana liczby cząsteczek znajdujących się między nimi może nastąpić jedynie
wskutek różnicy strumieni cząsteczek przechodzących przez płaszczyzny. Oznaczając liczbę cząsteczek przez m, mamy następujący wzór na zmianę liczby cząsteczek, dm, w przedziale czasu
dt, między płaszczyznami o powierzchni S każda, odległymi o dx:
dm = J(x, t) · S · dt − J(x + dx, t) · S · dt
Rozwijając J(x + dx, t) w szereg Taylora
J(x + dx, t) = J(x, t) +
1
∂J
dx + . . .
∂x
dostajemy
∂J
dm = − Sdxdt
∂x
⇒
m
∂J
d
= − dt
Sdx
∂x
skąd
∂c
∂J
=−
∂t
∂x
gdzie c = m/(Sdx) jest stężeniem cząsteczek wyrażonym w ich liczbie przypadającej na jednostkę objętości (np. 1 cm3 ). Z pierwszego prawa Ficka i z powyższej postaci prawa zachowania
masy, mamy więc
∂c
∂ −D ∂x
∂c
∂ 2c
=−
=D 2
∂t
∂x
∂x
Jest to szukane jednowymiarowe równanie dyfuzji.
Zadanie 2. Wyprowadzenie równania dyfuzji z sumowania po mikrotrajektoriach
indywidualnych cząstek, przypadek kroków o stałej długości.
Dzieląc oś x-ów na małe odcinki o długości a, z perspektywy mikroskopowej, możemy opisać
jednowymiarową przypadkową trajektorię ruchu cząstki jako będącą wynikiem zachodzenia w
kolejnych przedziałach czasu ∆t jednego z trzech możliwych zdarzeń: cząstka przemieszcza się
w prawo o a, w lewo o a lub pozostaje do następnej chwili w tym samym położeniu. Wprowadzamy gęstość prawdopodobieństwa p(x, t) znalezienia cząstki w położeniu x w chwili t.
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale o długości a centrowanym na x, w chwili
t wynosi zatem p(x, t)a. Przyjmując, że prawdopodobieństwo wykonania skoku w prawo bądź
lewo o a jest proporcjonalne do wielkości przedziału czasu ∆t, wyprowadź jednowymiarowe
równanie dyfuzji na p(x, t). Oblicz średnie przemieszczenie i jego wariancję.
Rozwiązanie: W poprzednim problemie wyprowadzone zostało równanie dyfuzji dla stężenia,
tym razem wielkością rozważaną będzie gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w
pozycji x w chwili t, p(x, t). Zgodnie z przedstawionymi założeniami możemy zapisać prawdopodobieństwo wykonania skoku w każdym z kierunków jako k∆t, a wtedy prawdopodobieństwo
pozostawania w tym samym miejscu w przedziale czasu ∆t wynosi 1 − 2k∆t.
Poszukując równania jakie spełnia p(x, t) sumujemy wszystkie trajektorie rozpoczynające się
w chwili t, które dają w wyniku cząsteczkę w położeniu x w chwili t + ∆t. Zatem gęstość
prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w pozycji x w chwili t + ∆t jest określone przez
sumę trzech wkładów
p(x, t + ∆t) = (1 − 2k∆t) · p(x, t) + k∆t · p(x − a, t) + k∆t · p(x + a, t)
Powyższe równanie zakłada, że proces dyfuzji jest procesem Markowa, czyli że prawdopodobieństwo zachowania się cząsteczki w czasie między t a ∆t nie zależy od sytuacji jaka istniała w
chwilach wcześniejszych. Powyższe równanie jest równaniem różnicowym. Rozwijając w szereg
Taylora p(x, t + ∆t) i p(x ± a, t)
p(x, t + ∆t) = p(x, t) +
∂p(x, t)
∆t + . . .
∂t
p(x − a, t) = p(x, t) −
∂p(x, t)
1 ∂ 2 p(x, t) 2
a+
a ± ...
∂x
2 ∂x2
p(x + a, t) = p(x, t) +
∂p(x, t)
1 ∂ 2 p(x, t) 2
a+
a ± ...
∂x
2 ∂x2
i
2
dostajemy
∂p(x, t)
∂ 2 p(x, t)
∂ 2 p(x, t)
= (a2 k)
≡
D
∂t
∂x2
∂x2
2
gdzie D ≡ a k definiuje stałą dyfuzji.
Na koniec określmy wartość średnią i wariancję ∆x:
h∆xi = a · k∆t + (−a) · k∆t + 0 · (1 − 2k∆t) = 0
i
var = h(∆x − h∆xi)2 i = h∆x2 i = a2 · k∆t + (−a)2 · k∆t + 02 · (1 − 2k∆t) = 2a2 k∆t
W czasie ∆ttot cząsteczka robi N = ∆ttot /∆t “kroków”. Całkowite przemieszczenie
N
X
∆xtot =
∆xi
i=1
Średnia i wariancja wielkości ∆xtot są równe N razy średnia i wariancja wielkości ∆x (pokazanie tego można uczynić pracą domową). Z powyższego wynika, że wariancja całkowitego
przemieszczenia wynosi
vartot = h∆x2tot i = N · 2a2 k∆t =
∆ttot
· 2a2 k∆t = 2a2 k∆ttot ≡ 2D∆ttot
∆t
Zadanie 3. Wyprowadzenie równania dyfuzji z sumowania po mikrotrajektoriach
indywidualnych cząstek, przypadek kroków o dowolnej długości (Einstein).
Rozwiąż poprzedni problem rezygnując z założenia o stałości kroku a – niech gęstość prawdopodobieństwa kroku a w przedziale ∆t wynosi f (a), a możliwe wielkości przemieszczenia należą
do zbioru liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie: Niech n(x, t) oznacza liczbę cząstek w pozycji x w chwili t. Ruch każdej cząstki
polega na wykonaniu skoku o wielkości a, co zajmuje jej czas τ . Czas τ jest długi w porównaniu z czasem między kolejnymi zderzeniami z cząsteczkami rozpuszczalnika, natomiast a jest
algebraiczną sumą wszystkich przemieszczeń w czasie τ . Jeśli f (a) oznacza gęstość prawdopodobieństwa wykonania skoku o a1 , to zachodzi:
n(x, t + τ ) =
Z +∞
n(x − a, t) f (a) da
(2)
−∞
Jest to całkowy odpowiednik sumowania trzech wyrazów w analogicznym równaniu z poprzedniego zadania. Gęstość prawdopodobieństwa f (a) spełnia następujące warunki:
Z +∞
f (a) da = 1 oraz
f (a) = f (−a)
⇒
−∞
Z +∞
a f (a) da = 0
−∞
Rozwijamy w szereg Tylora dwie następujące wielkości:
n(x, t + τ ) = n(x, t) + τ
1
∂n
∂t
!
+ ...
τ =0
f (a)da określa prawdopodobieństwo wykonania w czasie τ przejścia o krok wynoszący między a i a + da.
3
oraz
∂n
∂x
n(x − a, t) = n(x, t) − a
!
a2
+
2
a=0
∂ 2n
∂x2
!
+ ···
a=0
Nasze poprzednie postępowanie polegało na urwaniu rozwinięcia względem a na wyrazie z
drugą pochodną, a teraz mamy z tym problem gdyż, a może w zasadzie mieć mieć dowolnie
dużą wartość bezwzględną. Jedyne co możemy wykorzystać to fakt, że nasze τ jest na tyle
małe, że gęstość prawdopodobieństwa przemieszczenia bardzo szybko staje się bliska zeru, gdy
|a| oddala się od zera i średnie kwadratowe przemieszczenie ha2 i w czasie τ jest bardzo małe.
Mamy więc
n(x − a, t) =
Z +∞
−∞
∞
X
a2k
n(x, t) +
k=1 (2k)!
∂ 2k n
∂x2k
więc
Z +∞
n(x − a, t) f (a) da =
Z +∞ "
−∞
−∞
!
∞
X
a2k−1
−
k=1 (2k − 1)!
a=0
∂ 2k−1 n
∂x2k−1
∞
X
#
a2k
n(x, t) +
k=1 (2k)!
∂ 2k n
∂x2k
!
!
f (a)da
a=0
(3)
a=0
gdyż całki z nieparzystymi potęgami a wynoszą zero i to nam daje
∞
X
ha2k i
n(x, t) +
k=1 (2k)!
∂ 2k n
∂x2k
!
ha2 i
= n(x, t) +
2
∞
X
∂ 2n
ha2k i
+
∂x2
k=2 (2k)!
!
∂ 2k n
∂x2k
!
Z równania (2) dostajemy zatem:
τ
∂n
∂t
!
ha2 i
=
2
∞
X
ha2k i
∂ 2n
+
∂x2
k=2 (2k)!
!
∂ 2k n
∂x2k
!
Aby otrzymać równanie dyfuzji identyczne z równaniami otrzymanymi w poprzednich zadaniach
musimy odrzucić sumę szeregu po prawej. Na razie przyjmiemy, że możemy to zrobić. Da nam
to
!
!
!
!
∂n
∂n
∂ 2 n 1 Z +∞ 2
ha2 i ∂ 2 n
a f (a) da ⇒
τ
=
=
∂t
∂x2 2 −∞
∂t
2τ ∂x2
Jest to jednowymiarowe równanie dyfuzji. Definiujemy współczynnik dyfuzji
Dt ≡
ha2 i
h∆x2 i
=
2τ
2∆t
Drugą równość wypisujemy w oparciu o rozwiązanie poprzedniego zadania. Uogólnienie do
trzech wymiarów daje
h∆r2 i = h∆x2 i + h∆y 2 i + h∆z 2 i = 3h∆x2 i = 6Dt ∆t
i równanie dyfuzji w trzech wymiarach ma postać:
∂n
∂t
!
= Dt
∂ 2n ∂ 2n ∂ 2n
+
+ 2
∂x2 ∂y 2
∂z
!
Powróćmy teraz do problemu pozostawienia tylko wyrazu z ha2 i w naszym rozwinięciu. To czy
odrzucenie wyrazów szeregu od k = 2 jest akceptowalne czy nie zależy od naszej funkcji f (a) jak wiemy τ zakładamy odpowiednio małe, aby istotnie prawdopodobne były tylko niewielkie
przemieszczenia w czasie τ . Aby uzyskać jakieś rozeznanie, możemy przyjąć jakąś knkretną
4
funkcję f (a), która spełnia nasze wymagania. Dobry jest tu wąski Gauss, który czasem używa
się przy okazji dyskusji funkcji delta Diraca
1
2 2
f (a) = √ e−a /
π
δ(a) = lim f (a)
→0
Sprawdźmy, że f (a) jest unormowane
1 Z ∞ −a2 /2
1 √
f (a)da = √
e
= √ π=1
π −∞
π
−∞
Z ∞
Z takim wyborem funkcji gęstości prawdopodobieństwa mamy do czynienia z całkami rodzaju
1 Z ∞ 2k −a2 /2
1 1 · 3 · 5 · . . . · (2k − 1) · 2k √
√
a e
da = √
π
π −∞
π
2k+1
Oznaczmy teraz k-tą całkę w równaniu (3) przez Ik , skąd mamy
Ik =
Z +∞
−∞
a2k
(2k)!
∂ 2k n
∂x2k
!
∂ 2k n
∂x2k
1
1
f (a)da = √
π (2k)!
a=0
!
Z ∞
a=0
2 /2
a2k e−a
da
−∞
czyli
1
Ik =
(2k)!
∂ 2k n
∂x2k
!
a=0
1 · 3 · 5 · . . . · (2k − 1) · 2k
2k+1
I1 to jest wyraz jaki zachowaliśmy w naszym wyprowadzeniu równania dyfuzji
1
I1 =
(2)!
!
∂ 2n
∂x2
a=0
ha2 i
1 · 2
≡
22
2
∂ 2n
∂x2
!
a=0
skąd wynika, że dla sprawdzanej funkcji gęstości
ha2 i =
2
4
weźmy k = 2
1
I2 =
(4)!
∂ 4n
∂x4
!
a=0
1 · 3 · 4
23
⇒
3
ha4 i = 4
8
Pamiętajmy, że jest wielkością małą (mierzone to jest w tych samych jednostkach co odległość
na naszej osi x-ów) bo inaczej nasza gęstość prawdopodobieństwa nie będzie wystarczająco
wąskim rozkładem Gaussa. Policzmy I2 /I1
!
1
∂ 4n
1 · 3 · 4
(4)! ∂x4 a=0 23
I2
!
=
=
I1
1
∂ 2n
1 · 2
(2)! ∂x2 a=0 22
!
∂ 4n
∂x4 a=0 2
!
·
8
∂ 2n
2
∂x a=0
Przyjmujemy, że jest to wielkość odpowiednio mała, aby można było zaniedbać I2 w porównaniu
z I1 , i odpowiednio Ik z k = 3, 4, ....
Zadanie 4. Dyfuzja w obecności zewnętrznej siły (równanie Smoluchowskiego).
Korzystając z metody zastosowanej w Problemie 2 wyprowadź jednowymiarowe równanie
5
dyfuzji cząsteczki poddanej działaniu siły zewnętrznej. Oblicz średnie przemieszczenie i jego
wariancję.
Rozwiązanie: Gdy na cząsteczkę działa zewnętrzna siła wtedy prawdopodobieństwa przemieszczenia się w prawo i lewo nie są równe, zapiszemy więc trzy prawdopodobieństwa przemieszczenia o −a, +a i pozostania w miejscu jako k− (F )∆t, k+ (F )∆t i 1 − [k+ (F ) + k− (F )]∆t.
Zacznijmy od określenia wartości średniej i wariancji ∆x:
h∆xi = a · k+ ∆t + (−a) · k− ∆t = a(k+ − k− )∆t
i
var = h(∆x − h∆xi)2 i = h∆x2 i − h∆xi2 = a2 · k+ ∆t + (−a)2 · k− ∆t − h∆xi2
≈ a2 (k+ + k− )∆t
w drugim równaniu pominęliśmy h∆xi2 = (a(k+ − k− )∆t)2 , gdyż wyraz ten jest znacznie
mniejszy niż a2 (k+ + k− )∆t, a to dlatego, że k± ∆t 1.
Jak widać z porównania z rozwiązaniem Problemu 2, wariancja ∆x jest taka sama jak przy
dyfuzji swobodnej, ze współczynnikiem dyfuzji zdefiniowanym obecnie jako
D≡
a2 (k+ + k− )
2
Z drugiej strony, średnia czyli h∆xi nie jest równa zeru i rośnie liniowo z czasem. Zatem ruch
wypadkowy może być określony jako dyfuzja z unoszeniem (dryftem - pojęcie wzięte z geologii),
gdzie prędkość unoszenia wynosi
v=
h∆xi
= a(k+ − k− )
∆t
Zanotujmy przy tym, że w przypadku cząstki poruszającej się przez ośrodek lepki pod działaniem siły F , w warunkach małej liczby Reynoldsa, prędkość unoszenia jest związana z siłą
równaniem F = γv, gdzie γ jest współczynnikiem oporu (tarcia). Współczynnik pojawił się w
1851 roku w pracy George’a Stokes’a, który wyprowadził związek, znany obecnie jako prawo
Stokes’a, na siłę oporu jakiej doznaje sfera o promieniu σ poruszająca się z prędkością v w płynie o lepkości η: f~d = −6πησ~v ≡ −γ~v . Postępując analogicznie jak w przypadku Problemu 2
możemy wyprowadzić równanie dyfuzji dla gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w położeniu x w chwili t. Jak poprzednio rozważamy trzy trajektorie, które prowadzą do
znalezienia się cząsteczki w położeniu x po czasie ∆t od chwili t:
p(x, t + ∆t) = [1 − (k+ + k− )∆t] · p(x, t) + k+ ∆t · p(x − a, t) + k− ∆t · p(x + a, t)
Po rozwinięciu, jak poprzednio, p(x, t + ∆t) i p(x ± a, t) w szeregi Taylora dostaniemy
∂p(x, t)
∂ 2 p(x, t)
∂p(x, t)
=v
+D
∂t
∂x
∂x2
gdzie prędkość unoszenia v = a(k+ − k− ) i współczynnik dyfuzji D = (k+ + k− )a2 /2, jak
zdefiniowano powyżej.
6