ALGEBRA M2 Lista 4 Zadania standardowe: 1,2,4,6,10,13 Zad.1
Transkrypt
ALGEBRA M2 Lista 4 Zadania standardowe: 1,2,4,6,10,13 Zad.1
ALGEBRA M2 Lista 4 Zadania standardowe: 1,2,4,6,10,13 Zad.1. Które z odwzorowań są funkcjonałami liniowymi? 1. ϕ : R3 → R, zadane wzorem ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x1 − x3 2. ϕ : R2 → R, zadane wzorem ϕ(x1 , x2 ) = x1 x2 R1 3. ϕ : C[0, 1] → R, zadane wzorem ϕ(f ) = 0 f (t)g 2 (t)dt, gdzie g(t) ∈ C[0, 1] jest ustalona Zad.2. Niech B = {e1 , e2 , . . . , en } będzie bazą w przestrzeni liniowej V . Wykazać, że zbiór funkcjonałów B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn }, gdzie ϕi zadany jest następująco 1 i=j ϕi (ej ) = 0 i 6= j jest bazą przestrzeni V ∗ (jest to tzw. baza sprzężona lub dualna do bazy B). Wywnioskować, że dimV ∗ = n. Zad.3. Dla przekształcenia liniowego T ∈ L(V, W ) definiujemy przekształcenie sprzężone T ∗ ∈ L(W ∗ , V ∗ ) wzorem (T ∗ ϕ)(v) = ϕ(T v) dla ϕ∗ ∈ W ∗ , v ∈ V . Uzasadnić, że 1. odwzorowanie T → T ∗ jest liniowe i różnowartościowe 2. jeśli T −1 istnieje, to (T ∗ )−1 istnieje i (T ∗ )−1 = (T −1 )∗ 3. jeśli dimV < ∞, dimW < ∞ i ustalimy bazy w V i W , przy czym T ma macierz A, to T ∗ ma macierz AT jeśli w V ∗ i W ∗ weźmie się bazy dualne do baz w V i W . Zad.4. Które z podanych niżej funkcji są funkcjonałami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych? 1. ϕ(x, y) = xT ◦ y w przestrzeni Kn 2. ϕ(u, v) = Re(uv) w przestrzeni C 3. ϕ(u, v) = Re(uv) w przestrzeni C Rb 4. ϕ(f, g) = a f (t)g 0 (t)dt w przestrzeni funkcji różniczkowalnych znikających w a oraz b Rb 5. ϕ(f, g) = a (f (t) + g(t))2 dt w przestrzeni C[a, b] Które z odpowiadająych im form dwuliniowych sa symetryczne? Zad.5. Wykazać, że jeżeli dimV = n < ∞, to istnieje bijekcja między zbiorem L(V × V, K) przekształceń dwuliniowych, a zbiorem macierzy Mn (K) dla n ∈ N. 1 Zad.6. Niech będzie dana forma dwuliniowa w pewnej bazie B1 = {e1 , e2 , e3 } o macierzy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Znależć macierz tej formy w bazie B2 = {f1 , f2 , f3 } jeżeli f1 = e1 − e2 , f2 = e1 + e3 , f3 = e1 + e2 + e3 . Zad.7. Wykazać, że jeżeli A, P ∈ Mn (K) oraz P jest macierzą nieosobliwą, to rz(A) ≤ rz(AP ) oraz rz(A) ≤ rz(P A). Wywnioskować, że rząd formy dwuliniowej (formy kwadratowej) nie zależy od wyboru bazy. Zad.8. Pokazać, że następujące warunki są równoważne dla formy dwuliniowej ϕ na przestrzeni V : 1. ∀v ∈ V ϕ(v, v) = 0 2. ∀u, v ∈ V ϕ(u, v) = −ϕ(v, u) Formę spełniającą powyższe warunki nazywamy antysymetryczną. Jaką własność ma macierz takiej formy? Zad.9. Rozłożyć formę dwuliniową x1 y1 − 3x1 y2 − 5x2 y1 + x2 y2 na sumę formy symetrycznej i antysymetrycznej. Jak to zrobić ogólnie dla dowolnej formy dwuliniowej ϕ? Zad.10. Stosując metodę Lagrange’a, sprowadzić podane formy kwadratowe w przestrzeni R3 do postaci kanonicznej, a następnie do postaci normalnej. 2x21 + 3x22 + 4x23 − 2x1 x2 + 4x1 x3 − 3x2 x3 x21 + 2x22 + 2x1 x2 + 4x2 x3 + 5x23 x 1 x2 + x1 x3 x1 x 2 + x2 x3 + x1 x3 2x21 + 5x22 + 11x23 + 2x1 x2 + 8x1 x3 + 6x2 x3 Wyznaczyć macierz przejścia z wyjściowej bazy do bazy kanonicznej. Zad.11. Stosując metodę Lagrange’a, sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową w przestrzeni Rn postaci X X x2j + xj xk j j<k Zad.12. Wykorzystując wynik z zadania 6, znaleźć postać kanoniczną formy kwadratowej w przestrzeni Rn postaci X xj xk j<k 2 Zad.13. Stosując metodę Jacobiego do tych form kwadratowych z zad. 10, dla których jest to możliwe, wyznaczyć ich postać kanoniczną. Na wybranym przykładzie przeprowadzić procedurę ortogonalizacji bazy względem formy dwuliniowej. Zad.14. Dla każdej z form kwadratowych z zadania 9 wyznaczyć jej rząd oraz zbadać czy jest dodatnio określona oraz istotnie dodatnio określona. 3