próbka x

STATYSTYKA OPISOWA
Przykłady problemów statystycznych:
- badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;
- badanie skuteczności nowego leku;
- badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami ciężkimi w pewnym obszarze;
- badanie socjologiczne na temat spędzania wolnego
czasu przed telewizorem bądź komputerem, itd.
Działamy poprzez przeprowadzenie doświadczeń. Uzyskane wyniki mają charakter losowy: nie da się ich
przewidzieć przed doświadczeniem. Zakładamy, że jesteśmy w stanie powtórzyć pewną liczbę razy (a nawet
dowolną liczbę razy) te doświadczenia w tych samych
warunkach.
Podstawowe cechy badań.
1. Mamy do czynienia ze zbiorem (populacja generalna)
pojedynczych nośników informacji (jednostka statystyczna). Populacja może być skończona (najczęściej) lub
nieskończona.
2. Jednostki statystyczne są charakteryzowane przez
pewne cechy. Interesujące nas cechy jednostek, które
nie są takie same dla wszystkich jednostek, nazywamy
zmiennymi.
1
3. Badanie może być pełne i częściowe. W przypadku
drugim, badając tylko małą część populacji (próbka losowa) chcemy sądzić o całej populacji. Próbka musi
być reprezentatywna.
Nawet prowadzone poprawnie wnioskowanie statystyczne może być błędne.
Etapy badania statystycznego:
- przygotowanie badania;
- gromadzenie danych i ich opracowanie;
- wnioskowanie statystyczne;
- prezentacja wyników.
Rozkład częstości zmiennej: jakie wartości zmienna przyjęła i jak często.
Metody przedstawiania rozkładu częstości zmiennej: w
postaci tabeli i w postaci wykresów (słupkowe, kołowe).
Gdy zmienna przyjmuje dużo różnych wartości i liczebność próbki nie jest mała, rysujemy histogram. W tym
celu obserwowane wartości grupujemy w klasach, czyli
przedziałach o jednakowej długości. Liczba klas r zależy od liczebności próbki (patrz np. tabelę):
2
Liczebność próbki n Liczba klas r
30-60
5-8
60-100
7-10
100-200
9-12
200-500
11-17
500-1000
16-25
Długość każdej klasy ∆d określamy dzieląc zakres zmiany zmiennej d = xmax −xmin przez liczbę klas i zaokrąglając z nadmiarem: ∆d > d/r.
Granice poszczególnych klas obliczamy, dodając kolejno ∆d do początku pierwszej klasy.
Gdy podział na klasy został przeprowadzony, rozpoczynamy obliczanie liczebności poszczególnych klas.
Liczebnością j-tej klasy nj nazywamy liczbę wartości,
którzy trafiły do j-tej klasy; oczywiście n1 +· · ·+nr = n.
Częstością względną j-tej klasy wj nazywamy wj =
nj /n; oczywiście w1 + · · · + wr = 1.
W wyniku takiego grupowania wartości z próbki otrzymujemy tzw. szereg rozdzielczy, który jest określony
przez środki kolejnych klas x0j i liczebności klas nj , j =
1, . . . , r.
3
Stosowane są również liczebności i częstości skumulowane, które otrzymujemy poprzez kolejne sumowanie
nj i wj od pierwszej klasy do ostatniej.
Przykład. Rozważmy wyniki badania wzrostu (w centymetrach) 100 uczniów pewnej szkoły wyższej. Wyniki
badania są zawarte w tabeli:
185
188
163
177
179
182
187
175
177
184
187
171
171
171
182
173
172
166
181
173
165
162
180
174
163
185
185
174
173
168
183
178
159
175
164
160
187
179
172
168
167
190
173
165
166
186
164
161
158
178
180
184
185
166
181
157
183
173
177
173
165
168
176
173
161
184
169
181
170
162
175
172
165
158
160
194
183
186
179
178
170
184
181
182
176
163
191
181
188
170
164
180
189
182
184
169
171
178
189
191
Jakie wartości zmienna przyjęła i jak często? Rozkład liczebności występowania poszczególnych wartości
zmiennej pokazują następujące tabele:
Wzrost
157 158 159 160 161 162 163 164 165 166
Liczeb.
1 2 1 2 2 2 3 3 4 3
Liczeb. skum. 1 3 4 6 8 10 13 16 20 23
4
167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179
1 3 2 3 4 3 7 2 3 2 3 4 3
24 27 29 32 36 39 46 48 51 53 56 60 63
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 194
3 5 4 3 5 4 2 3 2 2 1 2 1
66 71 75 78 83 87 89 92 94 96 97 99 100
Tworzymy szereg rozdzielczy. Przyjmijmy, że liczba
klas r wynosi 10.
Klasy
157-160
161-164
165-168
169-172
173-176
177-180
181-184
185-188
189-192
193-196
Klasy dokł.
156,5-160,5
160,5-164,5
164,5-168,5
168,5-172,5
172,5-176,5
176,5-180,5
180,5-184,5
184,5-188,5
188,5-192,5
192,5-196,5
Środek Liczeb. Liczeb. skum.
158,5
6
6
162,5
10
16
166,5
11
27
170,5
12
39
174,5
14
53
178,5
13
66
182,5
17
83
186,5
11
94
190,5
5
99
194,5
1
100
5
Na podstawie szeregu rozdzielczego budujemy histogram. Jest to wykres słupkowy pokazujący rozkład badanej cechy. Podstawy słupków są klasy, a wysokości liczebności bądź częstości.
Łącząc łamaną punkty o współrzędnych (x0j , nj ) (bądź
(x0j , wj )), otrzymujemy tzw. wielobok (liczebności bądź
częstości).
6
MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ I
ROZPROSZENIA
Są to liczbowe charakterystyki rozkładu zmiennej.
Miary tendencji centralnej. Odpowiadają na pytanie, jaka wartość zmiennej jest najbardziej typowa.
Średnia arytmetyczna:
∑n
1
– na podstawie danych z próbki x̄ = n i=1∑xi;
– na podstawie szeregu rozdzielczego x̄ = n1 rj=1 x0j nj .
W naszym przykładzie wyliczając średnią z próby mamy
x̄ = 175,07, natomiast z szeregu rozdzielczego x̄ ≈
175,18.
Mediana jest wartością środkową, która dzieli próbkę
na dwie równe części:
– na podstawie danych z próbki

, n jest nieparzyste

 x( n+1
2 )
Me =

 x( n2 )+x( n2 +1)
, n jest parzyste;
2
indeksy w nawiasach oznaczają, że wartości x1, . . . , xn
zostały uporządkowane w sposób niemalejący, czyli
x(1) 6 x(2) 6 . . . 6 x(n);
7
– na podstawie szeregu rozdzielczego


m−1
∆d  n ∑ 
Me = a +
−
nj ,
nm 2 j=1
gdzie a jest dolną granicą klasy, gdzie znajduje się mediana, ∆d jest długością klasy, nm jest liczebnością
klasy, gdzie znajduje się mediana.
W naszym przykładzie wyliczając mediane z próby mamy M e = 175, natomiast z szeregu rozdzielczego M e =
4
172,5 + 14
(50 − 39) ≈ 175,64.
Oprócz mediany czasami wyliczamy też kwartyle: Q1,
Q2, Q3. Kwartyle dzielą próbkę na 4 równoliczne (mniej
więcej) części; Q2 = M e, natomiast Q1 to mediana
lewej połowy uporządkowanego zbioru wartości zmiennej, a Q3 to mediana prawej połowy uporządkowanego
zbioru wartości zmiennej.
Moda (wartość modalna) to najczęściej powtarzająca
się wartość w próbce.
Na podstawie szeregu rozdzielczego wylicza się w sposób następujący:
nm − nm−1
M o = a + ∆d
,
(nm − nm−1) + (nm − nm+1)
gdzie a jest dolną granicą najliczniejszej klasy, nm jest
liczebnością najliczniejszej klasy.
8
W naszym przykładzie na podstawie danych z próbki
mamy M o = 173, natomiast na podstawie szeregu roz17−13
dzielczego mamy M o = 180,5 + 4 (17−13)+(17−11)
≈ 182,1.
Miary rozproszenia.
Rozstęp: Ro = x(n) − x(1);
w naszym przykładzie Ro = 194 − 157 = 37.
√
∑n
1
Odchylenie standardowe z próby: s = n−1 i=1(xi − x̄)2
√ ∑
(lub sb = n1 ni=1(xi − x̄)2). W naszym przykładzie
s ≈ 9,16.
Na podstawie szeregu rozdzielczego wyliczamy odchylenie standardowe według wzoru:
v
u
r
u 1 ∑
nj (x0j − x̄)2.
s=t
n − 1 j=1
W naszym przykładzie s ≈ 9,20.
Współczynnik zmienności: v = x̄s ;
9,16
w naszym przykładzie v = 175,07
≈ 0,05.
Bardziej zaawansowane miary: asymetrii (skośność),
koncentracji (kurtoza).
9