Część XVII

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Planimetria i stereometria
17. Planimetria i stereometria
17.1. Figury na płaszczyźnie
Oznaczenia: P – pole powierzchni, L – obwód.
Figura
Rysunek
Wzory
P = 12 ah
a – długość podstawy, h – wysokość
trójkąt
P = 12 ab sin α
α – miara kąta pomiędzy bokami a i b
równoległobok
P = ah
a – długość podstawy, h – wysokość
jeśli równoległobok jest rombem, to P = 12 d1 · d2
d1 , d2 – długości przekątnych
P = 12 (a + b)h
a, b – długości podstaw, h – wysokość
trapez
P = πr2
L = 2πr
r – długość promienia
koło
elipsa
P = πab
a, b – długości półosi (ognisk)
•
twierdzenie Talesa:
•
twierdzenie sinusów:
•
twierdzenie cosinusów: c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
•
okrąg wpisany w trójkąt
2P
r = a+b+c
P – pole trójkąta
90
a
b
=
a
sin α
c
d
=
b
sin β
=
c
sin γ
Planimetria i stereometria
•
okrąg opisany na trójkącie
a
abc
R = 2 sin
α lub R = 4P
P – pole trójkąta
17.2. Bryły
Oznaczenia: V – objętość, Pp – pole powierzchni.
Bryła
Rysunek
Wzory
graniastosłup
V =P ·h
P – pole podstawy, h – wysokość
ostrosłup
V = 13 P · h
P – pole podstawy, h – wysokość
kula
V = 43 πR3
Pp = 4πR2
R – długość promienia
walec
V = πr2 h
Pp = 2πr2 + 2πrh
r – promień podstawy, h – wysokość
stożek
V = 13 πr2 h
Pp = πr2 + πrl
r – promień podstawy, h – wysokość, l – tworząca
91
Planimetria i stereometria
17.3. Zadania
1. O ile procent wzrośnie pole koła, jeśli jego obwód zwiększymy o 10%.
2. Obliczyć pole trapezu równoramiennego o podstawach o długości 10 i 4 oraz kącie przy podstawie
60◦ .
√
3. Obliczyć pole trapezu prostokątnego o wysokości 3 cm, w którym przekątne mają długość 3 3 cm
i 4 cm.
4. Obliczyć pole trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 5 cm, w którym stosunek
przyprostokątnych wynosi 3:4.
5. Obliczyć pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120o ,
a bok BC ma długość 4 cm.
6. Na pewnym kole opisano kwadrat i w to koło wpisano kwadrat. Różnica pól tych kwadratów jest
równa 5cm2 . Obliczyć pole koła.
7. Wysokość dzieli podstawę trójkąta na odcinki o długościach 14 cm i 36 cm. Prostopadle do podstawy poprowadzono prostą, która dzieli trójkąt na figury o równych polach. Jakie są długości
odcinków, na które dzieli ta prosta podstawę trójkąta?
8. Obliczyć pole trójkąta równobocznego mając daną różnicę d między bokiem i wysokością tego
trójkąta.
9. Pole trójkąta prostokątnego wynosi 600 cm2 , zaś stosunek przeciwprostokątnej do jednej z przyprostokątnych 5 : 4. Obliczyć obwód trójkąta.
10. Bok rombu ma długość 4 cm, a jeden z kątów ma miarę
rombu.
π
3.
Obliczyć pole i długości przekątnych
11. Stojące na brzegu rzeki drzewo o wysokości 12 metrów rzuca cień równy szerokości rzeki. W tym
samym czasie patyk o wysokości 20 cm rzuca cień o długości 35 cm. Jaka jest szerokość rzeki?
12. W trapezie krótsza podstawa wynosi 2, zaś ramiona mają długość 6 i 9. Ramiona trapezu przedłużono tak, iż powstał trójkąt. Oblicz obwód trójkąta wiedząc, że ramię trapezu o długości 6 zostało
przedłużone o odcinek długości 4.
13. Boki trójkąta mają długości 3, 5 i 7. Obliczyć wartości sinusów kątów wewnętrznych tego trójkąta.
14. Koło, kwadrat i trójkąt foremny mają równe pola. Znaleźć stosunek ich obwodów.
15. W pewnym wielokącie jest o 13 przekątnych więcej niż w wielokącie, który ma o 2 boki mniej. Ile
boków ma ten wielokąt?
√
16. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, którego pole jest równe 16 3 cm2 . Obliczyć
pole powierzchni całkowitej stożka.
17. Obliczyć pole powierzchni kuli, której objętość jest równa 36π cm3 .
18. Obliczyć pole powierzchni walca, którego promień podstawy r i wysokość h są równe promieniowi
kuli o objętości 166 23 π cm3 .
19. Obliczyć objętość graniastosłupa trójkątnego prawidłowego, którego wszystkie krawędzie są równe
√
6
3. Wynik przedstawić w najprostszej postaci.
92
Planimetria i stereometria
20. Najdłuższa przekątna prawidłowego graniastosłupa sześciokątnego ma długość d i tworzy z krawędzią boczną kąt α. Obliczyć objętość graniastosłupa.
21. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 5, a stosunek promienia podstawy walca do jego
wysokości wynosi 23 . Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
√
√
22. Obliczyć objętość walca o promieniu podstawy r = 2 3 3 cm i wysokości h = 3 3 cm.
23. Obliczyć długość przekątnej sześcianu o boku 3.
24. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, pozostałe dwie tworzą z płaszczyzną podstawy kąt β. Która ze
ścian bocznych ma największe pole? Obliczyć to pole.
25. W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym krawędź podstawy ma długość a i tworzy z krawędzią
boczną kąt α. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
26. Prawidłowy ostrosłup czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i wysokość ostrosłupa. W przekroju otrzymano trójkąt prostokątny. Obliczyć pole powierzchni bocznej
ostrosłupa, jeśli krawędź podstawy ma długość a.
27. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnej a. Wszystkie krawędzie boczne są równe b. Obliczyć objętość ostrosłupa.
28. Jak zmieni się objętość stożka, gdy:
a) wysokość zwiększymy 2 razy,
b) promień podstawy zwiększymy 3 razy, a wysokość zmniejszymy 9 razy?
29. Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy r =
h = 4 cm.
√
3 cm i wysokości
30. Obliczyć objętość pnia drzewa w kształcie walca o promieniu 50 cm i wysokości 10 m.
31. Wyznaczyć wysokość stożka o promieniu 3 cm, którego objętość jest równa 24π cm3 .
32. Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli opisanej na sześcianie o boku 1.
√
33. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 6, a krawędź podstawy 10. Obliczyć długość krawędzi bocznej i znaleźć miarę kąta jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną
podstawy.
34. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 5, a przekątna podstawy
ma długość 2. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
35. Walec o promieniu podstawy 4 i wysokości 6 przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy,
przechodzącą przez środki podstaw. Obliczyć pole koła opisanego na otrzymanym przekroju.
93