PRZYK¸ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

ARKUSZ 21
MATURA 2010
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.
W zadaniach od 1. do 20. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.
Rozwiàzania zadaƒ od 21. do 29. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.
Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.
Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà
Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
3
Matematyka. Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNI¢TE
W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.
Zadanie 1. (1 pkt)
3
2
Wielomiany W (x) = (x - 2)( x + 1)( x + 2) + x i P (x) = (a + b) x + x + (a - b) x - 4 sà równe. Z tego
wynika, ˝e:
A. a = 1, b = 2
B a =-1, b =- 2
C. a =-1, b = 2
D. a = 2, b =-1
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczby sin 60c, cos 60c, 1 tg a w podanej kolejnoÊci sà trzema kolejnymi wyrazami ciàgu
2
geometrycznego. Kàt a jest kàtem ostrym. Zatem jego miara jest równa:
A. 30c
B. 60c
C. 45c
D. 15c
Zadanie 3. (1 pkt)
3
Liczba niewymiernych pierwiastków równania x log 3 9 - x = 0 jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 4. (1 pkt)
Uk∏ad równaƒ (
4x + 5y = 2
8x + 10y = p dla p = 3:
A. ma jedno rozwiàzanie
C. nie ma rozwiàzania
B. ma dwa rozwiàzania
D. ma nieskoƒczenie rozwiàzaƒ
Zadanie 5. (1 pkt)
W turnieju zapaÊniczym rozegrano 36 walk. Ka˝dy walczy∏ z ka˝dym dok∏adnie raz. Liczba
zawodników bioràcych udzia∏ w turnieju to:
A. 9
B. 18
C. 8
D. 12
Zadanie 6. (1 pkt)
Liczb pi´ciocyfrowych, które mo˝na zapisaç tylko za pomocà cyfr 0 i 5, jest:
A. 5
B. 10
C. 16
D. 32
Zadanie 7. (1 pkt)
7-1
i 7 + 1 to liczby:
6
A. przeciwne
C. wymierne
Liczby
B. równe
D. b´dàce swoimi odwrotnoÊciami
Zadanie 8. (1 pkt)
Liczba n jest liczbà naturalnà wi´kszà od 1 i n + 1 jest liczbà naturalnà. Z tego wynika, ˝e liczbà
n-1
naturalnà jest równie˝ liczba:
A.
3
n+2
B. 6
n
C.
n
n+3
D.
1
n+1
4
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 9. (1 pkt)
Suma pierwiastków wielomianu W (x) = (x - 1)( x - 2) $ ... $ (x - 99)( x - 100) jest równa:
A. 100
B. 10000
C. 10100
D. 5050
Zadanie 10. (1 pkt)
Punkty A = (0, 4) i B = (6, 0) sà koƒcami odcinka AB. Prosta y = x przecina odcinek AB w punkcie C .
Wówczas liczba
A. 1
2
AC
jest równa:
CB
B. 3
C. 2
2
D.
3
52
10
Zadanie 11. (1 pkt)
Przedzia∏ przedstawiony na rysunku:
–4
jest zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci:
A. x - 1 < 3
B. x + 1 < 3
0
2
C. x - 1 > 3
D. x + 1 > 3
Zadanie 12. (1 pkt)
Piàty wyraz ciàgu _ a n i okreÊlonego wzorem a n = 3n - 1 jest równy:
A. 1
B. 5
2n + 4
C. 10
D. 0,5
Zadanie 13. (1 pkt)
3
W puszce w kszta∏cie walca o Êrednicy 10 cm mieÊci si´ 785 cm soku. Przyjmij, ˝e r . 3,14. Wtedy
wysokoÊç puszki jest równa oko∏o:
A. 2,5 cm
B. 50 cm
C. 25 cm
D. 10 cm
Zadanie 14. (1 pkt)
W trapezie prostokàtnym kàt ostry ma miar´ 60c, a podstawy majà d∏ugoÊci 6 i 9. WysokoÊç tego
trapezu jest równa:
A. 3 3
B. 2 3
C. 6
D.
3 3
2
Zadanie 15. (1 pkt)
Przez kilka dni o godz. 12.00 mierzono temperatur´ powietrza w miejscowoÊci Tkaczewska Góra.
Wyniki pomiarów zapisano w tabelce.
Temperatura w cC
Liczba wskazaƒ
Obliczono, ˝e Êrednia temperatur wynosi 0,7cC.
Zatem liczba m jest równa:
A. 13
B. 4
Zadanie 16. (1 pkt)
-1
5
C. 10
2
m
3
2
D. 3
Liczba dodatnich wyrazów ciàgu _ a n i okreÊlonego wzorem a n = 2 - 1 n jest równa:
4
A. 8
B. 7
C. 4
D. 16
5
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 17. (1 pkt)
Prosta y = ax + b przecina oÊ OX pod kàtem 60c, a oÊ OY w punkcie (0, 2 3). Wska˝ punkt, który le˝y
na tej prostej.
A. P = (1, 3)
B. P = (3 3, 1)
C. P = (- 1, 3)
D. P = (- 3, - 1)
Zadanie 18. (1 pkt)
Liczba ` 3 j
3
3 64
jest liczbà:
A. naturalnà mniejszà od 81
C. ca∏kowità wi´kszà od 81
B. niewymiernà mniejszà od 81
D. niewymiernà wi´kszà do 81
Zadanie 19. (1 pkt)
Kod, który zapisany jest na karcie do bankomatu, sk∏ada si´ z czterech cyfr. Chcemy, aby
prawdopodobieƒstwo odkrycia tego kodu zmniejszy∏o si´ stukrotnie. Ile jeszcze cyfr nale˝y dopisaç
do kodu?
A. 1
B. 2
C. 100
D. 50
Zadanie 20. (1 pkt)
Cyfra jednoÊci liczby 2015
A. 5 $ 10
2015
jest taka sama jak cyfra jednoÊci liczby:
2015
2015
10
+5
B.
C. 10
5
2015
D. 10
2015
+ 10
2015
ZADANIA OTWARTE
Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 21. do 29. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod
treÊcià zadania.
Zadanie 21. (2 pkt)
2
2
Wierzcho∏kami trójkàta ABC sà Êrodki okr´gów okreÊlonych równaniami: (x + 1) + (y - 4) = 7,
2
2
2
2
(x + 1) + (y + 1) = 3, (x - 2) + (y + 1) = 9. Oblicz pole tego trójkàta.
6
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 22. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e 997 $ 2998 + 2 = 1.
997 + 999
Zadanie 23. (2 pkt)
Powierzchnia boczna sto˝ka po rozwini´ciu na p∏aszczyzn´ jest pó∏kolem. Oblicz miar´ kàta
rozwarcia sto˝ka.
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Zadanie 24. (2 pkt)
Pani Ela zamierza za∏o˝yç lokat´, wp∏acajàc do banku 10000 z∏ na okres jednego roku. Bank
proponuje oprocentowanie kapita∏u 8% w stosunku rocznym, z kapitalizacjà odsetek co kwarta∏.
Oblicz, jakà kwot´ (nie uwzgl´dniajàc podatku) b´dzie mog∏a wyp∏aciç pani Ela po roku.
Zadanie 25. (2 pkt)
January kopnà∏ pi∏k´, która zakreÊli∏a w powietrzu fragment toru opisanego równaniem
2
p (x) = 12x - 2 x . Oblicz, na jakà najwi´kszà wysokoÊç wznios∏a si´ pi∏ka.
5
8
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 26. (4 pkt)
Wyka˝, ˝e
3 (x + y + z)
2
2
2
> x + y + z , gdy x, y, z sà d∏ugoÊciami boków dowolnego trójkàta.
2
Matematyka. Poziom podstawowy
9
Zadanie 27. (6 pkt)
Liczby x, y sà liczbami naturalnymi, wi´kszymi od zera. OkreÊl liczb´ rozwiàzaƒ równania
(1 - 3) x + ` 2 + 3j y = 3.
10
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 28. (4 pkt)
Kraw´dê boczna ostros∏upa prawid∏owego trójkàtnego jest dwa razy d∏u˝sza od kraw´dzi podstawy.
Kraw´dê podstawy jest równa a. Oblicz pole powierzchni bocznej i sinus po∏owy kàta mi´dzy Êcianami bocznymi ostros∏upa.
Matematyka. Poziom podstawowy
11
Zadanie 29. (6 pkt)
Pos∏aniec codziennie przebywa tras´ w kszta∏cie trójkàta równobocznego, którego wierzcho∏ki stanowià miejscowoÊci A, B, C . Z miejscowoÊci A do miejscowoÊci B pos∏aniec jedzie z pr´dkoÊcià
40 km/h. Z miejscowoÊci B do miejscowoÊci C jedzie z pr´dkoÊcià dwukrotnie wi´kszà. Ârednia pr´dkoÊç na ca∏ej trasie jest równa 55 5 km/h. Oblicz, z jakà pr´dkoÊcià jedzie pos∏aniec z miejscowoÊci
13
C do miejscowoÊci A.