Zadania wraz z rozwiązaniami dla grupy elektroniczno

„EUROELEKTRA”
OLIMPIADA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA
Rok szkolny 2007/2008 – Etap drugi - Grupa elektroniczno-telekomunikacyjna
Zestaw zawiera 5 zadań. Wszystkie zadania są jednakowo punktowane. Czas rozwiązywania - 120 minut.
ZADANIA
Zad. 1
W układzie jak na rysunku, nazywanym układem mnożącym Gilberta, prądy wyjściowe (Ic2, Ic3) są związane z
prądami wejściowymi (Ic1, Ic4) wzorem (2), a ponadto z prądem sterującym (IS) wzorami (3) i (4). Pokaż, że
wzory te są prawdziwe przy założeniu, że wszystkie cztery tranzystory mają identyczne właściwości, pracują
w zakresie aktywnym i zależność prądu kolektora (Ic) od napięcia baza emiter (UBE) tranzystora jest dana
wzorem (1), w którym A i UT są współczynnikami.
Ic2
U BE
Ic3
Ic1
Ic4
T1
T2
UBE1
T4
T3
UBE2
UBE3
UBE4
IS
I c ≅ Ae U T
(1)
I c1 I c 3 = I c 2 I c 4
(2)
I c2 =
I c1 I S
I c1 + I c 4
(3)
I c3 =
I c4 I S
I c1 + I c 4
(4)
Zad. 2
Na rys. A przedstawiono wzmacniacz zbudowany z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego typu CFA
(Current Feedback Amplifier). Rys. B przedstawia makromodel samego wzmacniacza CFA, składający się ze
sterowanego prądem źródła napięcia wyjściowego i wtórnika napięciowego na wejściu. Wydajność
wyjściowego źródła napięciowego jest kontrolowana za pomocą prądu IN zgodnie ze wzorem Vout = ZT IN, w
którym IN jest prądem wypływającego z wejścia odwracającego wzmacniacza CFA (wejście „ -”). Wtórnik
napięciowy jest natomiast włączony między wejście nieodwracające i odwracające wzmacniacza CFA, co
oznacza, że V - = V +, rezystancja widziana z wejścia „+” jest bardzo duża, a z wejścia „ -” bardzo mała.
Oblicz wzmocnienie napięciowe AV =Vout /Vin oraz 3-dB częstotliwość graniczną ( f3dB) wzmacniacza z rys. A
przyjmując, że transimpedancja ZT, charakteryzująca właściwości transmisyjne wzmacniacza CFA, jest
opisana wzorem (1), gdzie j = − 1 jest zmienną urojoną, f częstotliwością, RT transrezystancją, a fg 3-dB
częstotliwością graniczną wzmacniacza CFA.
ZT =
Dane:
R1 =500Ω
R2 =20kΩ
RT =10MΩ
fg =10kHz
Vin
Szukane:
V
AV = out =?
Vin
f3dB=?
IN
+
CFA
_
Vout
RT
(1)
f
1+ j
fg
V+
Vout
1
R2
V
R1
Wzmacniacz CFA
+
-
IN
Rys. A
ZT IN
_
Rys. B
Zad. 3.
Sygnał analogowy o postaci
x(t ) = 2 + 2 sin(5 ⋅ 10 3 πt ) + sin(10 4 πt )
ma być przekształcony na postać cyfrową i przesłany torem o przepływności 64 ⋅ 10 3 symboli na sekundę
( 64 ⋅ 10 3 body). Ile maksymalnie bitów można przeznaczyć na zakodowanie każdej próbki tego sygnału, jeżeli
oprócz kodowania wartości próbek zastosuje się dodatkowo kodowanie 2B1Q w celu zamiany otrzymanego
sygnału binarnego na czterowartościowy?
Zad. 4
W układzie pokazanym na rysunku blok o wzmocnieniu A przedstawia idealny wzmacniacz napięciowy. Cały
układ jest natomiast wzmacniaczem transimpedancyjnym. Oblicz rezystancję wejściową Rin= uin /iin dla
sygnałów zmiennych, traktując kondensator C jako zwarcie dla tych sygnałów oraz przyjmując, że tranzystor
MOS pracuje w zakresie silnej inwersji, a jego przejściowa charakterystyka statyczna, opisującą zależność
prądu drenu ID od napięcia bramka-źródło UGS, jest dana wzorem (1), w którym K jest współczynnikiem, a Up
napięciem odcięcia kanału.
(1)
I D ≅ K (U GS − U P ) 2
Dane:
VDD
K =2,5x10-2 A /V
UP =1V
R
UB =1,2V
uout
A
I =1mA
A = -10 V/V
R =1kΩ
UB
id
Rf =200Ω
iin
if
C Rf
uin
Szukane:
u
I
Rin = in = ?
iin
Zad. 5.
Charakterystyka przejściowa, T=Vout /Vin, układu z rys. A jest pokazana na rys. B. Oblicz szerokość pętli
histerezy Vh tej charakterystyki. Przyjąć, że użyty wzmacniacz operacyjny jest układem idealnym.
Dane:
VR = 6V
R1 =1kΩ
R2 = 9kΩ
R3 =1kΩ
Vin
R3
9V
_
Vout
μ
Vout
Vin
0
+
VR
R1
R2
Vh
Rys. B
Rys. A
Opracowali :
Dr hab. inż. Felicja Wysocka-Schillak
Dr hab. inż. Ryszard Wojtyna
prof. nadzwyczajny UTP
-9V
Sprawdzili:
Dr inż. Andrzej Borys
Dr inż. Jarosław Majewski
Zatwierdził:
Przewodniczący Rady Naukowej
Olimpiady „EUROELEKTRA”
Dr hab. inż. Ryszard Wojtyna
prof. nadzwyczajny UTP
„EUROELEKTRA”
OLIMPIADA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA – rozwiązania
Rok szkolny 2007/2008 - Etap drugi– grupa elektroniczno-telekomunikacyjna
Zad. 1
W układzie jak na rysunku, nazywanym układem mnożącym Gilberta, prądy wyjściowe (Ic2, Ic3) są związane z
prądami wejściowymi (Ic1, Ic4) wzorem (2), a ponadto z prądem sterującym (IS) wzorami (3) i (4). Pokaż, że
wzory te są prawdziwe przy założeniu, że wszystkie cztery tranzystory mają identyczne właściwości, pracują
w zakresie aktywnym i zależność prądu kolektora (Ic) od napięcia baza emiter (UBE) tranzystora jest dana
wzorem (1), w którym A i UT są współczynnikami.
U BE
Ic2
Ic3
Ic1
Ic4
T1
T2
UBE1
T4
T3
UBE2
UBE3
IS
I c ≅ Ae U T
(1)
I c1 I c 3 = I c 2 I c 4
(2)
I c2 =
I c1 I S
I c1 + I c 4
(3)
I c3 =
I c4 I S
I c1 + I c 4
(4)
UBE4
Rozwiązanie
Dla pokazanego układu suma wszystkich napięć baza-emiter jest równa zeru, co można zapisać w postaci:
(5)
U BE1 − U BE 2 + U BE 3 − U BE 4 = 0
Z podanego w treści zadania wzoru (1) otrzymuje się następującą funkcję odwrotną:
I
(6)
U BE ≅ U T ln c = U T ln I c − U T ln A
A
Składnik UT ln A w równaniu (6) przyjmuje identyczne wartości dla wszystkich czterech tranzystorów.
Wykorzystując wzór (6) do przedstawienia napięć UBE1, UBE2, UBE3 i UBE4 można równanie (5) napisać w
postaci:
U T ln I c1 + U T ln I c 3 = U T ln I c 2 + U T ln I 4
(7)
Dzieląc to równanie stronami przez UT i stosując wzór na logarytm iloczynu otrzymuje się równanie:
ln I c1 I c 3 = ln I c 2 I c 4 ,
które prowadzi do zależności:
I c1 I c 3 = I c 2 I c 4 ,
co należało udowodnić.
Traktując prądy bazy jako dużo mniejsze od prądów kolektora, z rysunku widać, że:
I c 2 + I c3 ≅ I S
W rezultacie równanie (9) można napisać w postaci:
I c1 ( I S − I c 2 ) = I c 2 I c 4 ,
albo w postaci: I c1 I c 3 = ( I S − I c 3 ) I c 4
Wyznaczając z równania (11) Ic2 otrzymuje się zależność:
I c1 I S
I c2 =
,
I c1 + I c 4
co należało udowodnić,
a z równania (12) Ic3 otrzymuje się zależność:
I I
I c3 = c 4 S ,
I c1 + I c 4
co należało udowodnić.
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Zad. 2
Na rys. A przedstawiono wzmacniacz zbudowany z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego typu CFA
(Current Feedback Amplifier). Rys. B przedstawia makromodel samego wzmacniacza CFA, składający się ze
sterowanego prądem źródła napięcia wyjściowego i wtórnika napięciowego na wejściu. Wydajność
wyjściowego źródła napięciowego jest kontrolowana za pomocą prądu IN zgodnie ze wzorem Vout = ZT IN, w
którym IN jest prądem wypływającego z wejścia odwracającego wzmacniacza CFA (wejście „ -”). Wtórnik
napięciowy jest natomiast włączony między wejście nieodwracające i odwracające wzmacniacza CFA, co
oznacza, że V - = V +, rezystancja widziana z wejścia „+” jest bardzo duża, a z wejścia „ -” bardzo mała.
Oblicz wzmocnienie napięciowe AV =Vout /Vin oraz 3-dB częstotliwość graniczną ( f3dB) wzmacniacza z rys. A
przyjmując, że transimpedancja ZT, charakteryzująca właściwości transmisyjne wzmacniacza CFA, jest
opisana wzorem (1), gdzie j = − 1 jest zmienną urojoną, f częstotliwością, RT transrezystancją, a fg 3-dB
częstotliwością graniczną wzmacniacza CFA.
ZT =
Dane:
R1 =500Ω
R2 =20kΩ
RT =10MΩ
fg =10kHz
Szukane:
V
AV = out =?
Vin
f3dB=?
Vin
IN
+
CFA
_
Vout
RT
1+ j
(1)
f
fg
V+
Wzmacniacz CFA
+
Vout
1
R2
V
R1
Rys. A
-
IN
ZT IN
_
Rys. B
Rozwiązanie
Uwzględniając fakt, że V - = V +, że rezystancja wejścia „ -” wzmacniacza CFA jest pomijalnie mała oraz
stosując zasadę superpozycji można prąd IN przedstawić jako funkcję napięć Vin i Vout w postaci:
⎛ 1
1 ⎞
1
⎟⎟ − Vout
I N = Vin ⎜⎜ +
(2)
R2
⎝ R1 R2 ⎠
Z właściwości transmisyjnych wzmacniacza CFA wynika, że:
V
(3)
I N = out
ZT
Przyrównując do siebie prawe strony równań (2) i (3) i wykonując proste przekształcenia otrzymuje się:
1
1
+
R
R2
(4)
Vout = Vin 1
1
1
+
R2 Z T
Wstawiając w miejsce ZT zależność (1), dzieląc obie strony równania (4) przez Vin i uwzględniając, że RT >>R2
otrzymujemy:
R
1
1
1
1
+
+
1+ 2
AV 0
V
R1 R2
R1 R2
R1
,
(5)
≅
=
=
AV = out =
1
1
1
R2 f
f
f
f
Vin
+
+ j
+ j
1+ j
1+ j
f 3dB
R2 RT
RT f g
R2
RT f g
RT f g
R2
⎡V ⎤
= 41⎢ ⎥
R1
⎣V ⎦
jest wzmocnieniem układu z rys. A dla małych częstotliwości (wzmocnienie w pasmie przenoszenia
R
wzmacniacza), natomiast:
f 3dB = f g T = 5MHz
R2
jest 3-dB pasmem przenoszenia tego wzmacniacza.
gdzie:
AV 0 = 1 +
(6)
(7)
Zad. 3.
Sygnał analogowy o postaci
x(t ) = 2 + 2 sin(5 ⋅ 10 3 πt ) + sin(10 4 πt )
ma być przekształcony na postać cyfrową i przesłany torem o przepływności 64 ⋅ 10 3 symboli na sekundę
( 64 ⋅ 10 3 body). Ile maksymalnie bitów można przeznaczyć na zakodowanie każdej próbki tego sygnału, jeżeli
oprócz kodowania wartości próbek zastosuje się dodatkowo kodowanie 2B1Q w celu zamiany otrzymanego
sygnału binarnego na czterowartościowy?
Rozwiązanie
Podany sygnał analogowy ma widmo dyskretne, a największa częstotliwość tego widma wynosi f g = 5kHz .
Z twierdzenia o próbkowaniu wynika, że częstotliwość próbkowania fs powinna być przynajmniej dwa razy
f s ≥ 10 kHz
(1)
większa od fg, tj:
Kodowanie 2B1Q daje dwukrotne zwiększenie szybkości binarnej (b/s) w porównaniu do szybkości
symbolowej (body). Oznacza to, że torem o przepustowości symbolowej 64 ⋅ 10 3 body można przesłać
strumień binarny z szybkością nie większą niż:
v = 128 kb/s
(2)
Maksymalna liczba bitów, jaką można przeznaczyć na jedną próbkę jest równa części całkowitej liczby l
v
128 ⋅ 10 3
(3)
określonej wzorem:
l=
=
= 12,8
f s min
10 4
Ze wzoru (3) wynika, że na jedną próbkę można przeznaczyć maksymalnie n =12 bitów .
Zad. 4
W układzie pokazanym na rysunku blok o wzmocnieniu A przedstawia idealny wzmacniacz napięciowy. Cały
układ jest natomiast wzmacniaczem transimpedancyjnym. Oblicz rezystancję wejściową Rin= uin /iin dla
sygnałów zmiennych, traktując kondensator C jako zwarcie dla tych sygnałów oraz przyjmując, że tranzystor
MOS pracuje w zakresie silnej inwersji, a jego przejściowa charakterystyka statyczna, opisującą zależność
prądu drenu ID od napięcia bramka-źródło UGS, jest dana wzorem (1), w którym K jest współczynnikiem, a Up
napięciem odcięcia kanału.
I D ≅ K (U GS − U P ) 2
(1)
Dane:
VDD
K =2,5x10-2 A /V
UP =1V
R
UB =1,2V
uout
A
I =1mA
A = -10 V/V
R =1kΩ
UB
id
Rf =200Ω
iin
if
C Rf
uin
Szukane:
u
I
Rin = in = ?
iin
Rozwiązanie
W układzie działa ujemne sprzężenia zwrotne ( za sprawą rezystora Rf ) typu napięciowo-równoległego.
Sprzężenia takie zmniejsza rezystancję wejściową układu.
Zmienny prąd wejściowy iin jest sumą zmiennego prądu drenu id tranzystora MOS pracującego w konfiguracji
ze wspólnym źródłem i zmiennego prądu if płynącego przez rezystor Rf.
Prąd id jako funkcja uin opisany jest wzorem:
dI D
(2)
uin = g m uin
id =
dU GS
gdzie pochodna dID /dUGS reprezentuje transkonduktancję gm i jest liczona dla funkcji (1) w punkcie ID=I.
Prowadzi to do wzoru:
(3)
g m = 2 K I D = 2 K I = 10mS
Prąd if można natomiast wyrazić następująco:
u − uout uin − g m uin RA
1 − g m RA
i f = in
=
= uin
Rf
Rf
Rf
(4)
gmRA = -100
Dla podanych wartości składnik
(5)
jest dużo większy niż jeden (co do wartości bezwzględnej) i wzór (4) upraszcza się do postaci:
R
i f = −uin g m A
Rf
(6)
Dodając prądy (2) i (6) otrzymujemy:
⎛
R
iin = i d + i f = uin g m ⎜1 − A
⎜
Rf
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Pomijając w nawiasie po prawej stronie równania (7) jedynkę wobec A
Rin =
(7)
R
= −50 można napisać:
Rf
uin
uin
−1
≅
= Rf
≅ 2Ω
R
iin
Ag
R
m
− uin g m A
Rf
(8)
Zad. 5.
Charakterystyka przejściowa, T=Vout /Vin, układu z rys. A jest pokazana na rys. B. Oblicz szerokość pętli
histerezy Vh tej charakterystyki. Przyjąć, że użyty wzmacniacz operacyjny jest układem idealnym.
Dane:
VR = 6V
R1 =1kΩ
R2 = 9kΩ
R3 =1kΩ
R3
Vin
9V
_
μ
Vout
R1
V2
0
Vin
V1
+
VR
Vout
R2
-9V
Vh
Rys. A
Rys. B
Rozwiązanie
Widoczna na rysunku B pętla histerezy ma dwa punktu charakterystyczne, V1 oraz V2. Zmiana napięcia
wyjściowego z 9V na –9V (przy wzroście napięcia Vin) wymaga przekroczenia przez Vin wartości V2. Ruch w
przeciwną stronę (przy zmniejszaniu napięcia Vin) wymaga spadku Vin poniżej wartości V1. Zakładając, że
wzmacniacz jest idealny, oznaczając przez VP stan dodatni napięcia wyjściowego (9V), a przez VN stan ujemny
tego napięcia (-9V), wartości V1 i V2 można określić z zasady superpozycji:
R2
R1
dla Vout = VP,
,
(1)
V2 = V R
+ VP
R1 + R2
R1 + R2
R2
R1
dla Vout = VN,
(2)
V1 = VR
+ VN
R1 + R2
R1 + R2
Szerokość pętli histerezy jest różnicą obu tych napięć i wyraża się wzorem:
R1
Vh = V2 − V1 = (VP − V N )
= 1,8V
(3)
R1 + R2
Opracowali :
Dr hab. inż. Felicja Wysocka-Schillak
Dr hab. inż. Ryszard Wojtyna
prof. nadzwyczajny UTP
Sprawdzili:
Dr inż. Andrzej Borys
Dr inż. Jarosław Majewski
Zatwierdził:
Przewodniczący Rady Naukowej
Olimpiady „EUROELEKTRA”
Dr hab. inż. Ryszard Wojtyna
prof. nadzwyczajny UTP