IDENTYFIKACJA RÓWNAŃ DYNAMIKI SILNIKA PRĄDU STAŁEGO
Transkrypt
IDENTYFIKACJA RÓWNAŃ DYNAMIKI SILNIKA PRĄDU STAŁEGO
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLV NR 3 (158) 2004 Jan Idzikowski Marek Zellma IDENTYFIKACJA RÓWNAŃ DYNAMIKI SILNIKA PRĄDU STAŁEGO STRESZCZENIE W artykule przedstawiono możliwości zastosowania bazowych funkcji sklejanych służących identyfikacji równań silnika elektrycznego. Do opisu przebiegów zastosowano bazowe funkcje sklejane stopnia trzeciego. WSTĘP W celu dokonania analizy właściwości dynamicznych zachodzących w układach napędowych z zastosowaniem maszyn elektrycznych oraz ich optymalnego działania niezbędne są modele matematyczne dogodne dla elektronicznej techniki obliczeniowej. Podstawą analizy stanów nieustalonych silników prądu stałego są następujące równania różniczkowe: − równanie obwodu wzbudzenia Rw iw (t ) + Lw − d iw (t ) = U w ( t ); dt równanie obwodu twornika k eiw (t )ω( t ) + Rt it ( t ) + Lt − (1) d it ( t ) = U t (t ); dt (2) równanie równowagi mechanicznej J dω(t ) + M o (t ) = k m iw (t )it (t ) , dt (3) 35 Jan Idzikowski, Marek Zellma gdzie: iw (t ) – prąd wzbudzenia; U w (t ) – napięcie wzbudzenia; Rw , Lw – rezystancja i indukcyjność uzwojenia stojana; it ( t ) – prąd twornika; U t (t ) – napięcie twornika; ω(t ) – prędkość kątowa twornika; Rt , Lt – rezystancja i indukcyjność twornika; ke – indukcyjność wzajemna stojan-wirnik; M o (t ) – moment mechaniczny silnika; km J – moment bezwładności układu mechanicznego; – indukcyjność rotacji. Powyższe równania wyprowadzono, przyjmując szereg założeń upraszczających. Opis stanów przejściowych i parametrów konkretnej maszyny wymaga określenia współczynników występujących w jej równaniach. W artykule tym przedstawimy algorytm identyfikacji układu sterowania obejmujący: − opis przebiegów i w , u w , i t , u t , ω(t ), M 0 (t ) w postaci funkcji regresji; − − dobór optymalnych współczynników równań (1 – 3); weryfikację modelu. APROKSYMACJA SYGNAŁÓW ZA POMOCĄ BAZOWYCH FUNKCJI SKLEJANYCH STOPNIA TRZECIEGO W oparciu o dane pomiarowe ~ ~ ~ ~ u~w ,k = u~w ( t k ), iw ,k = iw (t k ), u~t ,k = u~t ( t k ), it ,k = it ( t k ); ~ ~ n~ = n~( t ), M = M ( t ), k ∈ 0, n k k k k 1 wyznaczymy funkcje regresji ˆ (t ) Uˆ W (t ), iˆw (t ), Uˆ t (t ), iˆt (t ), Mˆ o (t ), ω 36 (4) Zeszyty Naukowe AMW Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego opisujące przebiegi rzeczywiste U W (t ), i w (t ), U t (t ), it (t ), M o (t ), ω(t ) silnika prądu stałego. Funkcje (4) przedstawimy w postaci kombinacji liniowych uˆ w = N +1 ∑ i = −1 αi Φ i (t ), iˆw = N +1 ∑ i = −1 N +1 N +1 i = −1 i = −1 β i Φ i (t ), uˆ t = ∑ γ i Φ i (t ), iˆt = ∑ δi Φ i (t ), (5) ˆ = ω N +1 ∑ i = −1 N +1 λ i Φ i (t ), M̂ 0 = ∑ ηi Φi (t ); i = −1 α i , βi , γ i , δ i , λ i , ηi ∈ R, i ∈ − 1, N + 1 bazowych funkcji sklejanych stopnia trzeciego ⎧0 ⎪ f (t ) ⎪ 1 1 ⎪ f 2 (t ) Φ i (t ) = ⎨ 3! h 4 ⎪ f 3 (t ) ⎪ f 4 (t ) ⎪ ⎩0 dla t ≤ t0 + (i − 2)h dla t0 + (i − 2)h ≤ t ≤ t0 + (i − 1)h dla t0 + (i − 1)h ≤ t ≤ t0 + ih dla t0 + ih ≤ t ≤ t0 + (i + 1)h , i ∈ − 1, N + 1, ( 2) dla t0 + (i + 1)h ≤ t ≤ t0 + (i + 2)h dla t ≥ t0 + (i + 2)h gdzie: f 1 ( t ) = τ 3 , τ = t − ( t 0 + (i − 2 ) h ) ; f 2 (t ) = h 3 + 3h 2τ + 3hτ 2 − 3τ 3 , τ = t − (t 0 + (i − 1)h ); f 3 (t ) = h 3 + 3h 2τ + 3hτ 2 − 3τ 3 , τ = t0 + (i + 1)h − t; f 1 ( t ) = τ 3 , τ = t 0 + (i + 2) h − t . Załóżmy, że przebieg rzeczywisty y , którym może być U w (t ), iw (t ), U t (t ), it (t ), M o (t ), ω(t ) opisany jest funkcją y (t ) . Ponadto zakładamy, że dla każdego t zmienna losowa y (t ) ma rozkład normalny ze średnią ŷ . 3 (158) 2004 37 Jan Idzikowski, Marek Zellma Niech ΔN , gdzie N < n − 3 , będzie układem punktów ti = t + ih, h := ' 0 [ tn' − t0' N ' i ∈ 0, N ] dzielących przedział t0' , t n' 1 = [t 0 , t N ] na N podprzedziałów Δ n : t0 < K < t N . Uzupełnimy podział Δ N punktami t − i := t 0 − ih, t n + i := t 0 + ih , i ∈ 1,2 . Dalej wyznaczymy funkcję yˆ = c−1Φ −1 (t ) + c0 Φ 0 (t ) + L + c N Φ N (t ) + c N +1Φ N +1 (t ) , taką że dla każdego ustalonego ti ∈ 0, n zmienna losowa yi ma rozkład normalny ze średnią yˆ i = c−1Φ −1 (ti ) + c0 Φ 0 (ti ) + L + c N Φ N (ti ) + c N +1Φ N +1 (ti ) i odchyleniem standardowym σ , gdzie ci ∈ R, i ∈ − 1, N + 1 . Ponadto zakładamy, że zmienne y i są zmiennymi niezależnymi. Optymalne współczynniki ci0 , i ∈ − 1, N + 1 wyznaczymy metodą największej wiarogodności. Zagadnienie doboru optymalnych współczynników ci0 , i ∈ − 1, N + 1 sprowadza się do rozwiązania równania macierzowego: BC = G, (6) ⎡n ⎤ B = ⎢∑ Φ i (t k' )Φ j (t k' )⎥ ; k =0 ⎣ ⎦ N N ( + 3 ) ( + 3 ) x gdzie: n C = [c ] ; G =[ ~ y Φ (t ' ) ] i ( N + 3 ) x1 ∑ k =0 k i k ( N + 3 ) x1 ; i, j ∈ − 1, N + 1 . Macierz B jest macierzą wstęgową 7-diagonalną. 38 Zeszyty Naukowe AMW Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego Niech n λi = ∑ Φ (t ' k )Φ i +1 ( t k' ) , i ∈ − 1, N + 1; ϑi = ∑ Φ (t ' k )Φ i +1 ( t k' ) , i ∈ − 1, N ; ηi = ∑ Φ (t ' k )Φ i +1 ( t k' ) , i ∈ − 1, N − 1 ; ςi = ∑ Φ (t ' k )Φ i +1 ( t k' ) , i ∈ − 1, N − 2 ; gi = ∑ ~y (t )Φ i +1 ( t k' ) , k =0 n k =0 n k =0 n k =0 n k =0 i i i i ' k i ∈ − 1, N + 1 . Rozwiązanie C równania (6) można wyznaczyć rekurencyjnie wg wzorów: z i = g i − zi −1 pi −1 − zi − 2 qi − 2 − zi − 3 ri − 3 , i ∈ − 1, k + 1; ci = zi − ci + 3 ri − ci + 2 qi − ci +1 pi , i ∈ k + 1,−1 , wi gdzie: wi = λ i − wi −1 + pi2−1 − wi − 2 qi2− 2 − wi − 3 ri 2− 3 ; 1 pi = (ϑi − wi −1 pi −1qi −1 − wi − 2 qi − 2 ri − 2 ) ; wi 1 qi = ( ηi − wi −1 pi −1ri −1 ); wi ςi ri = ; wi i ∈ − 1, N + 1 ; pi − 2 = 0 ; qi = 0 dla i ∈ − 3,−2 ; ri = 0 dla i ∈ − 4,−2 ; ς i = 0 dla i ∈ N − 1, N + 1 ; ηi = 0 dla i ∈ N , N + 1 ; ϑ N +1 = 0 . IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW SILNIKA Optymalne współczynniki Rw , Lw , Rt , Lt , k e , k m równań (1 – 3) wyznaczmy poprzez minimalizację błędów równań (wskaźników identyfikacji): 3 (158) 2004 39 Jan Idzikowski, Marek Zellma diˆ (t ) J( Rw , Lw ) =|| Rwiˆw (t ) + Lw w − uˆw (t ) ||= dt t n1 ∫ [ R iˆ (t ) + L w w w t0 diˆw (t ) − uˆw (t )]2 dt ; dt d iˆ (t ) J( Rt , Lt ) =|| Rt iˆt (t ) + Lt t − k e iˆw (t )ω̂(t ) − uˆ t ||= dt t n1 d iˆt (t ) ˆ [ R i ( t ) + L − k e iˆw (t )ω̂(t ) − uˆ t ]2 dt ; t ∫t t t dt 0 J ( J , k m ) =|| J dωˆ (t ) − k m iˆt (t ) iˆw (t ) − Mˆ o (t ) || dt , gdzie ||⋅ || jest normą indukowaną przez iloczyn skalarny (⋅ | ⋅) w przestrzeni Hilberta L2 ([t 0 , t n1 ], R1 ) , której elementami są funkcje x = x(t ), y = y (t ) , [t0 , t n1 ] → R 1 , a iloczyn skalarny i norma mają odpowiednio postać: tn ( x | y ) := ∫ x (t ) y (t )dt , || x ||:= t0 tn1 ∫ [ x(t )] dt . 2 t0 Zagadnienie doboru optymalnych parametrów zostało rozwiązane za pomocą twierdzenia o rzucie ortogonalnym [1]: TWIERDZENIE. Niech H 0 będzie domkniętą podprzestrzenią liniową prze- strzeni Hilberta H . Wówczas każdemu elementowi x ∈ H odpowiada jeden i tylko jeden element h0 ∈ H 0 , taki że || x − h0 ||≤|| x − h || dla wszystkich h ∈ H 0 . Ponadto h0 ∈ H 0 minimalizuje wyrażenie || x − h || wtedy i tylko wtedy, gdy element x − h0 jest ortogonalny do H 0 . Element h0 nazywamy rzutem ortogonalnym elementu x na podprzestrzeń H 0 . Wyznaczenie współczynników równań (1 – 3) sprowadza się do rozwiązania układów równań liniowych: tn tn ⎧ 0 tn 0 ' ˆ ˆ ˆ ˆ ⎪ Rw ∫ iw (t )iw (t )dt + Lw ∫ iw (t )iw (t )dt = ∫ uˆ w (t )iˆw (t )dt ⎪ t0 t0 t0 ; ⎨ tn tn tn ⎪ R 0 iˆ (t )iˆ ' (t )dt + L0 iˆ ' (t )iˆ ' (t )dt = uˆ (t )iˆ ' (t )dt w∫ w w ∫ w w ⎪ w t∫ w w t0 t0 ⎩ 0 40 (7) Zeszyty Naukowe AMW Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego tn tn tn ⎧ 0 tn 0 ˆ' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (t )it (t )dt = ∫ uˆ t (t )iˆt (t )dt ⎪ Rt ∫ it (t )it (t )dt + Lt ∫ it (t )it (t )dt − k e ∫ iw (t )ω t0 t0 t0 ⎪ t0 tn tn tn ⎪ 0 tn ' 0 ˆ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R i t i t dt L i t i t dt k i t t i t dt uˆ t (t )iˆti (t )dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − ω = ⎪ t∫ t t t ∫ t t e∫ w t ∫ ⎪ t0 t0 t0 t0 ; (8) ⎨ tn tn tn ⎪ R 0 iˆ (t )iˆ (t )ω ˆ (t )dt + L0t ∫ iˆt' (t )iˆw (t )ω ˆ (t )dt − k e ∫ iˆw2 (t )ω ˆ 2 (t )dt = t ∫ t w ⎪ t0 t0 t0 ⎪ tn ⎪ ˆ (t )dt = ∫ uˆt (t )iˆw (t )ω ⎪ t0 ⎩ tn tn tn ⎧ ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 't (t )dt ω ω − ω = J ( t ) ( t ) dt k i ( t ) i ( t ) ( t ) dt Mˆ 0 (t )ω ⎪ t t m∫ t w t ∫ ∫ ⎪ t0 t0 t0 , ⎨ tn tn tn ' 2 ⎪J ω ˆ (t )iˆ (t )iˆ (t )dt − k m ∫ (iˆt (t )iˆw (t )) dt = ∫ Mˆ 0 (t )iˆt (t )iˆw (t )dt ⎪ t∫ t t w t0 t0 ⎩ 0 (9) gdzie: tn tn N +1 N +1 ∫ iˆw (t )iˆw (t )dt = ∑ ∑α t0 ν= −1 μ = −1 tn N +1 N +1 ' ' ∫ iˆw (t )iˆw (t )dt = ∑ ν= −1 μ = −1 tn N +1 N +1 ν μ ∑α β d ν=−1 μ=−1 t0 αμ d ; ∑α α d t0 ∫ uˆw (t)iˆw (t)dt = ∑ ν 00 νμ 11 νμ 00 ν μ νμ ; N +1 N +1 ' ∫ iˆw (t )iˆw (t )dt = ∑ ∑α α d t0 ν= −1 μ = −1 tn N +1 N +1 01 νμ ; 01 ν μ νμ ; ν μ ; ' ∫ uˆw (t )iˆw (t)dt = ∑ t0 ∑α β d ν=−1 μ =−1 tN 00 dνμ = ∫ Φν (t) Φμ (t)dt, ν, μ ∈ − 1, N + 1 ; t0 tN d 10 νμ = ∫ Φ ν (t )Φ ′μ (t ) dt , ν, μ ∈ − 1, N + 1 . t0 Współczynniki dν0μ0 , dν10μ można wyznaczyć w sposób analityczny. Wtedy powyższe wzory nie zawierają całek oznaczonych. Ma to duże znaczenie w obliczeniach numerycznych. W ten sposób znacznie skraca się czas i zmniejsza błąd obliczeń. Do opracowania algorytmu identyfikacji napisano program komputerowy w języku Borland Pascal 7.0. 3 (158) 2004 41 Jan Idzikowski, Marek Zellma PRZYKŁAD NUMERYCZNY Dla przykładu numerycznego dokonano pomiarów wartości przebiegów ~ ' ~ ~ ~(t ' ), M u~w (t k' ), iw (t k' ), u~t (t k' ) , it (t k' ), ω (t k ), k ∈ 0,n1 k obcowzbudnego silnika prądu stałego sterowanego od strony wzbudzenia twornika. Zebrane wartości przedstawiono na rysunku 1. Rys. 1. Pomiary rzeczywiste przebiegów Do opisu przebiegów wykorzystano 30 funkcji sklejanych stopnia trzeciego. W wyniku obliczeń otrzymano: R w0 = 1.18 [Ω], L0w = 0.07 [ H ] , Rt0 = 0.048 [Ω], L0t = 0.00144 [ H ] , k e0 = 0.0001 [ H ], J 0 = 0.48 [kg ⋅ m 2 ] , k m0 = 0.0048 [ s]. 42 Zeszyty Naukowe AMW Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego BIBLIOGRAFIA [1] Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1970. [2] Mańczak K., Metody identyfikacji wielowymiarowych obiektów sterowania, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1979. [3] Rao C. R., Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1982. [4] Stieczkin S., Subbotin J., Splines in mathematica, Science, Moscow 1976. [5] Załęska-Fornal A., Zellma M., Applications of Basic Splines to Identification of Sailing Object Equations, „Zeszyty Naukowe” WSM (w druku). [6] Zawiałow J., Kwasow B., Splines methods, Science, Moscow 1980. ABSTRACT The paper presents possibilities of using base splice functions to identify equations of a DC engine. Third degree base splice functions were used to describe the distributions. Recenzent kmdr prof. dr hab. Franciszek Grabski 3 (158) 2004 43