Zadania - dynamika relatywistyczna

Zadania z dynamiki relatywistycznej
Zad. 1
Dwa jednakowe ciała o masach spoczynkowych mo, w układzie O poruszające się naprzeciw
siebie z jednakowymi prędkościami vo=0.8c, zderzają się ze sobą zlepiając się (nie ma ubytków
masy w postaci „odprysków”). Korzystając z zasad zachowania, obliczyć prędkość v, masę
spoczynkową Mo i relatywistyczną M ciała po zderzeniu. Znaleźć prędkości obu ciał w układzie
O’ poruszającym się z prędkością u=0.6c i w podobny sposób obliczyć analogiczne wielkości v’,
M’o , M’ w układzie poruszającym się.
Porównać sumę mas relatywistycznych i sumę mas spoczynkowych przed zderzeniem i po
zderzeniu osobno w obu układach odniesienia.
Porównać wyliczone masy spoczynkowe Mo i M’o ciała po zderzeniu w obu układach.
Wyznaczyć czterowektor energii-pędu w układzie O i stosując transformację Lorenza
wyznaczyć ten czterowektor w układzie O’. Porównać z czterowektorem wyznaczonym z
wcześniejszych obliczeń w układzie O’.
Zad. 2
Bryła o masie spoczynkowej m1 = 1 kg i prędkości v = 12/13 c uderza w bryłę nieruchomą o
masie m2 = 1 kg. Po zderzeniu bryły zlepiają się, a odpryski można zaniedbać. Obliczyć
prędkości i masę spoczynkową zlepionej bryły.
Zad. 3
Dwa ciała o masach m1 =144 kg i m2 =25 kg, poruszające się naprzeciw siebie z prędkościami
v1= 5/13 c i v2= 12/13 c zderzają się i zlepiają. Czy powstała bryła będzie w spoczynku, czy nie?
Obliczyć masę spoczynkową powstałej bryły.
Zad. 4
Rakieta o napędzie fotonowym, rozpędzając się od prędkości początkowej równej zeru,
emituje przez pewien czas promieniowanie..
a) Jaki ułamek masy spoczynkowej zostanie rakiecie po osiągnięciu prędkości v= 12/13 c?
b) Jaką (całkowitą) energię będzie posiadać wtedy rakieta, jeśli jej masa początkowa wynosi mo?
c) Do jakiej wartości dąży energia rakiety przy zmniejszaniu się jej masy spoczynkowej do zera
(zamiana całej masy spoczynkowej na promieniowanie)?
(Przyjąć jako dodatkową niewiadomą łączną energię wyemitowanego promieniowania w
układzie nieruchomym)
Odp: a) m = 0.2 mo b) E = 0.52 moc2 c) E = 12 mo c 2
Zad. 5 Gwiezdne wojny I
Nieruchoma rakieta o masie mo strzela z działa fotonowego do drugiej nieruchomej rakiety o
takiej samej masie, zamieniając na promieniowanie swoją masę spoczynkową w ilości m1. Druga
rakieta posiada jednak „absorber” energii i pochłania całą energię promieniowania, bez szkody
dla siebie.
a) Obliczyć prędkość pierwszej rakiety po wystrzale.
b) Obliczyć energię wyemitowanego promieniowania.
c) Obliczyć prędkość, jaką uzyska druga rakieta.
d) Obliczyć masę spoczynkową m2 , jaką dodatkowo uzyska druga rakieta.
Odp:
a) v =
2
2
2
2
mo − (mo − m1 )
mo + (mo − m1 )
c;
gdy m1<<mo , to v = (m1/mo)c
2

m 
b) E f =  m1 − 1 c 2 < m1c 2 ;
2 mo 

2
2
mo − (mo − m1 )
c) v =
c ;
2
2
3mo + (mo − m1 )
2
gdy m1<<mo , to v = m1c2
gdy m1<<mo , to u = (m1/mo)c = v
d) m2 = 2mo2 − (mo − m1 ) − mo ;
gdy m1<<mo , to m2 = m1
Zad. 6 Gwiezdne wojny II
Nieruchoma rakieta o masie mo strzela z działa fotonowego do drugiej nieruchomej rakiety o
takiej samej masie, zamieniając na promieniowanie swoją masę spoczynkową w ilości m1. Obie
rakiety bronią się za pomocą doskonałych luster, wzajemnie odbijających promieniowanie w
stronę przeciwnika, aż do praktycznego zaniku jego energii (patrz Zad. 5, punkt b).
Obliczyć prędkość, jaką uzyska po długim czasie:
a) pierwsza rakieta, b) druga rakieta.
c) Do jakiej wartości dąży energia pierwszej rakiety przy zmniejszaniu się jej masy
spoczynkowej do zera (zamiana całej masy spoczynkowej na promieniowanie)?
Odp:
a) v =
(9 − x )(1 − x ) c ;
gdzie x =
b) u =
(9 − x )(1 − x ) c ;
gdy m1<<mo , to u = v = (m1/mo)0.5 c
2
3+ x
2
2
2
c) E rakiety
2
2
5− x
= (3 + x 2 ) mc 2 ;
1
4
mo − m1
mo
gdy mo-m1→ 0 , to Erakiety = 3/4 mc2 , v=c
Zad. 7
Nieruchoma bryła eksplodując dzieli się na dwie bryły o masach m1 = 9 kg i m2 = 16 kg.
Prędkość drugiej bryły wynosi v2 = 3/5 c.
a) Ile wynosi prędkość pierwszej bryły?
b) Jaka była masa bryły przed eksplozją?
Odp:
a) v1 = 4/5 c
b) M = 35 kg.