Modele wartości pieniądza w czasie

Joanna Cieślak, Paulina Bawej
Modele wartości pieniądza w czasie
Podstawowe pojęcia i oznaczenia
Kapitał (ang. principal), kapitał początkowy, wartośd początkowa inwestycji - pieniądze jakie
zostały wpłacone na początku inwestycji (na początku roku, oznaczamy przez P lub PV).
Kapitał koocowy, wartośd przyszła, kapitał przyszły - kwota jaką uzyskamy po pewnym czasie,
lub na koniec inwestycji (oznaczamy przez F lub FV).

𝑃𝑉 - Present Value – kapitał początkowy
𝐹𝑉 - Future Value – kapitał koocowy
𝐼 – odsetki, zysk 𝐼 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉

𝑟 - stopa procentowa









𝐼
𝑟 = 𝑃𝑉
Okres stopy procentowej (okres oprocentowania) – najkrótszy przedział czasowy, podczas
którego są generowane odsetki
Oprocentowanie – generowanie zysku, generowanie odsetek przez ustalony kapitał
Kapitalizacja odsetek – dołączenie odsetek do kapitału
Oprocentowanie proste – odsetki są kapitalizowane pod koniec inwestycji
Oprocentowanie składane – odsetki generowane podczas trwania inwestycji podlegają
kapitalizacji w trakcie inwestycji, (odsetki generują odsetki)
Dyskontowanie – wyznaczanie wartości wcześniejszej kapitału na podstawie wartości
przyszłych
Dyskonto – kwota o jaką trzeba pomniejszyd 𝐹𝑉 aby otrzymad 𝑃𝑉.
Współczynnik akumulacji kapitału
Niech [0, T] będzie czasem inwestycji, 𝑇 ≥ 0. Rozważmy inwestycję kapitału jednej
jednostki. Niech 𝑎 𝑡 ≥ 0 oznacza wartośd przyszłą tego kapitału w momencie
𝑡 ∈ [0, 𝑇].
Funkcję 𝒂: 𝒕 → 𝒂(𝒕) nazywamy funkcją akumulacji (accumulation function) jednej jednostki
kapitału. Funkcja akumulacji posiada następujące własności:
1. a(0) = 1.
2. a jest funkcją rosnąca. Gdyby funkcja przyjmowała wartości mniejsze przy wzroście t,
to generowała by ujemne odsetki, co od strony matematycznej jest możliwe natomiast
od strony finansowej takimi przypadkami nie będziemy się zajmowad.
3. Jeżeli generowane odsetki będą gromadzid się w sposób ciągły, to funkcja akumulacji
też będzie ciągła. Jeżeli odsetki będą gromadzid sie w sposób skokowy zależnie od
okresu oprocentowania, to funkcja akumulacji będzie w tych punktach nieciągła, a
dokładnie będzie ciągła z prawej strony.
1
Dla ustalonego t wartośd a(t) będziemy nazywali t- okresowym czynnikiem akumulacji
(accumulation factor).
Jeżeli inwestycją będzie kapitał P, to wartośd przyszła tego kapitału w czasie
𝑡 ∈ [0, 𝑇] wyrazi się wzorem 𝐹𝑡 = 𝑃 ∙ 𝑎(𝑡). Oczywiście 𝐹0 = 𝑃.
W celu wyznaczenia wartości początkowej kapitału 1 jednostki po czasie T należy
rozważyd funkcję 𝑎−1 : 𝑡 → 𝑎−1 (𝑡) spełniającą 𝑎 −1 𝑡 ∙ 𝑎 𝑡 = 1 dla każdego 𝑡 ∈ [0, 𝑇].
𝒂−𝟏 nazywamy funkcją dyskontowania (discount function) jednej jednostki
kapitału. Dla ustalonego t wartośd bedziemy nazywali t-okresowym
czynnikiem dyskontowania (discount factor ).
Oczywiście dla kapitału 𝐹𝑡 wartośd początkowa tego kapitału wyraża się wzorem
𝑃 = 𝐹𝑡 ∙ 𝑎−1 (𝑡). Przypuśdmy teraz, że dana jest pewna inwestycja o horyzoncie
czasowym [0, T] i ze w momencie 𝑡1 ∈ [0, 𝑇] został zainwestowany pewien kapitał
P1. W celu wyznaczenia wartości przyszłej Ft2 tego kapitału w momencie 𝑡2 ∈ [0, 𝑇],
t2 > t1 należy skorzystad ze wzoru 𝐹𝑡2 = 𝑃1 ∙ 𝑎−1 (𝑡1 ) ∙ 𝑎(𝑡2 ) .
Oprocentowanie – Kapitał i odsetki
Podstawowa zasada naliczania odsetek jest dobrze znana: jeśli wpłacimy 1,00$ na rachunek,
którego oprocentowanie w skali roku wynosi 8%, to na koniec pierwszego roku będziemy
mieli kapitał w wysokości 1,00$ oraz odsetki równe 0,08$, co w sumie da nam kwotę 1,08$.
Jeżeli zainwestujemy w taki sposób kwotę 𝐴 $, to na koniec roku wartośd zgromadzonych na
rachunku środków wzrośnie do 𝐴 ∙ 1,08 $. Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli oprocentowanie
wyniesie 𝑟, wyrażone w ułamku dziesiętnym, to po roku początkowa inwestycja zwiększy się
do (1 + 𝑟) razy.
Oprocentowanie proste
ODSETKI NIE GENERUJĄ KOLEJNYCH ODSETEK, „NIE PRACUJĄ”; SĄ DOPISYWANE NA KOOCU INWESTYCJI
Zgodnie z zasadą procentu prostego, pieniądze zainwestowane na okres inny niż 1 rok są
oprocentowane proporcjonalnie do czasu trwania inwestycji. Dwuletnia inwestycja przynosi
zatem odsetki w wysokości 2𝑟 razy kapitał początkowy itd. Inaczej, w każdym roku inwestycja
przynosi odsetki w wysokości 𝑟 razy kapitał początkowy. W sytuacji, kiedy czas trwania
inwestycji nie jest wielokrotnością roku, oprocentowanie także naliczane jest proporcjonalnie,
tzn. że po upływie 𝑘 -tej części roku naliczone zostaną odsetki w wysokości iloczynu 𝑟𝑘 i
początkowego kapitału.
Ogólnie możemy zapisad, że w przypadku oprocentowania prostego koocowa wartośd
kapitału 𝐴 złożonego na koncie oprocentowanym według stopy 𝑟 po 𝑛 latach wyniesie:
𝐹𝑉 = 1 + 𝑟𝑛 𝐴.
2
Jeśli w okresach krótszych niż rok procent naliczany jest proporcjonalnie do czasu trwania
inwestycji, to po czasie 𝑡 (mierzonym w pełnych latach) wartośd kapitału wyniesie:
𝐹𝑉 = 1 + 𝑟𝑡 𝐴.
Zgromadzone na takim koncie środki przyrastają liniowo w czasie. Jak wynika z formuł,
wartośd rachunku w dowolnym momencie jest równa sumie kwoty wpłaconej na początku
(kapitału) i dopisanych do niego odsetek, których wartośd jest proporcjonalna do czasu
trwania inwestycji.
Oprocentowanie składane
ODSETKI GENERUJĄ KOLEJNE ODSETKI,
„ PRACUJĄ”
Większośd rachunków bankowych i pożyczek jest oprocentowana według procentu
składanego. Rozważmy rachunek o rocznej stopie procentowej 𝑟. Jeżeli procent jest składany
rocznie, to odsetki uzyskane w pierwszym roku zostają dodane do kapitału początkowego,
zwiększając tym samym kapitał początkowy dla drugiego roku. Możemy zatem powiedzied,
że w drugim roku na rachunku dopisane zostaną odsetki od odsetek. Jest to właśnie efekt
składania, który kontynuuje się w opisany sposób przez kolejne lata.
Jeżeli procent jest dopisywany do rachunku corocznie, to po jednym roku pieniądze złożone
na rachunku zostają pomnożone przez (1 + 𝑟). Po drugim roku czynnik ten rośnie do
(1 + 𝑟)2 . Po 𝑛 latach początkowy kapitał wzrośnie (1 + 𝑟)𝑛 razy.
Za pomocą tej zależności wyrażamy analitycznie wzrost kapitału podlegającego
oprocentowaniu według procentu składanego. Mówimy, że jest to wzrost geometryczny,
ponieważ wartośd kapitału rożnie do 𝑛-tej potęgi. Kiedy 𝑛 jest duże, wzrost wynikający ze
składania może byd znaczny.
Poniższy wykres przedstawia, jak przyrasta w czasie kapitał o wartości 100$ oprocentowany
według stopy procentowej równej 10% przy oprocentowaniu prostym i składanym. Procent
prosty prowadzi do liniowego przyrostu kapitału, podczas gdy składanie procentu powoduje
przyspieszenie tempa wzrostu. W przypadku procentu składanego kapitał rośnie w postępie
geometrycznym.
1200
1000
800
600
400
200
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25
oprocentowanie proste
oprocentowanie składane
3
Kapitalizacja okresowa i ciągła
W dotychczasowych rozważaniach odsetki dopisywaliśmy do kapitału na koocu kolejnych lat.
Jednak większośd banków nalicza i wypłaca odsetki częściej – co kwartał, co miesiąc, a czasem
codziennie. Częstsza kapitalizacja podnosi efektywną stopę procentową. W tej sytuacji
umówiono się, aby zawsze podawad stopę procentową roczną, a odsetki obliczad
proporcjonalnie do długości okresu odsetkowego.
Rozważmy np. kapitalizację kwartalną. Oprocentowanie rachunku według rocznej stopy 𝑟 z
kapitalizacją kwartalną oznacza, że co kwartał zostaną naliczone odsetki według stopy równej
𝑟
4
𝑟
. Zatem na koniec kwartału wartośd lokaty złożonej w banku wyniesie (1 + 4) jej wartości
początkowej. Jeśli lokata nie zostanie zlikwidowana przed koocem następnego kwartału, jej
𝑟
wartośd wzrośnie o kolejne (1 + 4) razy. Po roku wartośd takiej lokaty będzie już równa
𝑟
iloczynowi wartości początkowej i (1 + 4) 4 . Dla każdego 𝑟 > 0 zachodzi nierównośd
𝑟
(1 + 4) 4 > (1 + 𝑟). Jak widad przy tej samej stopie rocznej wartośd lokaty po roku jest
większa przy kapitalizacji kwartalnej niż bez kapitalizacji.
Wpływ kapitalizacji na roczny przyrost lokaty wyraża efektywna stopa procentowa,
równoważna z roczną stopą procentową, dla której bez kapitalizacji osiąga się ten sam
przyrost wartości lokaty na koniec roku. Na przykład, kapitał o wartości 1,00 $ złożony na
lokacie oprocentowanej według stopy 8% rocznie z kapitalizacją kwartalną urasta po roku do
wartości 1,024 $ = 1,0824. Efektywna stopa procentowa dla tej lokaty wynosi 8,24%.
Podstawowa roczna stopa procentowa (tutaj: 8%) nazywana jest stopą nominalną.
Kapitalizacja okresowa – oprocentowanie proste i złożone, zgodne i niezgodne
Odsetki mogą byd dopisywane z dowolną częstotliwością. Zwykle rok dzielony jest na ustaloną
liczbę okresów o równej długości – powiedzmy 𝑚 okresów. Stopa procentowa w każdym z 𝑚
𝑟
okresów jest wtedy równa 𝑚 , gdzie 𝑟 jest nominalną stopą procentową. Kapitał o wartości
𝑟
1,00 $ złożony na takiej lokacie w ciągu jednego okresu rośnie do wartości (1 + 𝑚 ). Po 𝑘
𝑟
okresach jest już równy (1 + 𝑚 )𝑘 , a po upływie całego roku składającego się z 𝑚 okresów
𝑟
urasta do wartości (1 + 𝑚 )𝑚 .
Efektywna stopa procentowa 𝑟′ spełnia przy tym równanie:
𝑟
1 + 𝑟 ′ = (1 + 𝑚 )𝑚 .
4
Kapitalizacja ciągła
Rok możemy podzielid na coraz mniejsze okresy, stosując kapitalizację miesięczną,
tygodniową, dzienną, a nawet dopisywad odsetki co minutę lub co sekundę. Dalsze
zmniejszanie długości okresu prowadzi w efekcie do kapitalizacji ciągłej. Efekt kapitalizacji
ciągłej możemy ustalid obliczając granicę zwykłej kapitalizacji, w której liczba okresów 𝑚 dąży
do nieskooczoności.
Ustalając efekt składania procentu w kapitalizacji ciągłej, wykorzystujemy fakt, że:
𝑟
lim𝑚 →∞ (1 + 𝑚 )𝑚 = 𝑒 𝑟 ,
Gdzie 𝑒 = 2,7818 … jest podstawą logarytmu naturalnego.
5
Efektywna stopa procentowa 𝑟′ spełnia przy tym równanie:
1 + 𝑟′ = 𝑒𝑟 .
Jeśli nominalna stopa procentowa jest równa 8% rocznie, to dla kapitalizacji ciągłej kapitał o
wartości 1,00 $ rośnie do wartości 𝑒 0,08 = 1,0833 $. A zatem efektywna stopa procentowa
wynosi w tym przypadku 8,33%.
(efektywna stopa procentowa w przypadku kapitalizacji kwartalnej wyniosła 8,24%).
W poniższej tabeli dla wybranych stóp procentowych obliczono odpowiadające im stopy
efektywne przy założeniu kapitalizacji ciągłej. Różnica pomiędzy stopą nominalną a efektywną
staje się wyraźnie widoczna dla wyższych stóp nominalnych. Zatem efekt kapitalizacji ciągłej
jest tym większy, im wyższa jest stopa nominalna.
Rodzaj
stopy
procentowej
nominalna
1,00
efektywna
1,01
Stopa procentowa (%)
5,00
5,13
10,00
10,52
20,00
22,14
30,00
34,99
50,00
64,87
75,00
111,70
100,00
171,83
Łatwo możemy teraz obliczyd wartośd lokaty po upływie dowolnego okresu. Długośd tego
okresu oznaczymy przez 𝑡. Okresowi jednego roku odpowiadad będzie 𝑡 = 1, a kwartałowi
𝑡 = 0,25. Weźmy dowolny okres 𝑡 i podzielmy rok na 𝑚 bardzo krótkich okresów, każdy o
1
𝑘
długości 𝑚 . W tej sytuacji 𝑡 ≈ 𝑚 oznacza, że okresowi 𝑡 odpowiada 𝑘 okresów, każdy o
1
długości . Stąd 𝑘 ≈ 𝑚 ∙ 𝑡. Wykorzystując ogólną zależnośd wyrażającą przyrost wartości
𝑚
kapitału, możemy zapisad, że po 𝑘 okresach kapitał początkowy 1,00 wzrośnie do:
𝑟
𝑟
(1 + 𝑚 )𝑘 = (1 + 𝑚 )𝑚𝑡 = [ 1 +
𝑟 𝑚 𝑡
]
𝑚
→ 𝑒 𝑟𝑡 .
Wartośd kapitału
Ostatnie wyrażenie jest prawdziwe, gdy 𝑚 dąży do nieskooczoności, co odpowiada
kapitalizacji ciągłej. Widad zatem, że kapitalizacja ciągła prowadzi do znanego skądinąd
wzrostu wykładniczego.
14
12
10
8
6
4
2
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25
Lata
6
Wykres przedstawia wzrost wartości kapitału 1,00 w kapitalizacji ciągłej, przy stopie
nominalnej 10%. W tym przypadku wartośd kapitału podwaja się po około 7 latach. Po 20
latach kapitał jest ośmiokrotnie większy od kapitału początkowego.
Wartośd przyszła i obecna kapitału
Do tej pory poznaliśmy pojęcie oprocentowania, kapitalizacji, czynnika akumulacji oraz
czynnika dyskonta. Teraz wykorzystamy je do obliczania wartości przyszłej i obecnej kapitału.
Przypomnijmy:


𝑎(𝑡) - czynnik akumulacji, używany przy obliczaniu wartości przyszłej 𝐹𝑉
𝑎−1 (𝑡) - czynnik dyskontowania, stosowany przy obliczaniu wartości początkowej 𝑃𝑉
Korzystając z własności, iż wartośd przyszła kapitału jest równa:
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 ∙ 𝒂(𝒕)
Natomiast wartośd obecna kapitału:
𝑷𝑽 = 𝑭𝑽 ∙ 𝒂−𝟏 (𝒕)
przy oznaczeniach: 𝑟 jest nominalną stopą procentową, 𝑛 jest liczbą lat, a 𝑚 liczbą okresów
kapitalizacji w ciągu roku;
dla poszczególnych typów kapitalizacji możemy wyznaczyd następujące wzory:

kapitalizacja prosta
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 ∙ 𝟏 + 𝒓𝒏
𝑷𝑽 =
𝑭𝑽
𝟏 + 𝒓𝒏
Przykład: Jaka kwota w oprocentowaniu prostym na 40% rocznie pozwoli po 5 latach uzyskad
kwotę 30 mln złotych?
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∙ (1 + 𝑛𝑟)
30 = 𝑃𝑉 ∙ 1 + 5 ∙ 0,4
3
𝑃𝑉 =
= 10 𝑚𝑙𝑛
30
Tak więc obecna wartośd 30 mln jest równa 10 mln.
7

kapitalizacja złożona roczna
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 ∙ 𝟏 + 𝒓
𝑷𝑽 =
𝑭𝑽
𝟏+𝒓
𝒏
𝒏
Przykład: Jaka jest wartośd przyszła 1000 złotych złożonych na lokacie 4-letniej, z
oprocentowaniem złożonym rocznym równym 12%?
𝐹𝑉 = 1000 ∙ 1 + 0,12 4 = 1000 ∙ 1,5735 = 1573 𝑧ł
Wartośd przyszła 1000 zł złożonych na 4-letniej lokacie z oprocentowaniem złożonym 12%
wynosi 1573 zł.

kapitalizacja złożona częstsza niż raz w roku
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 ∙ 𝟏 +
𝑷𝑽 =
𝑭𝑽
𝒓
𝟏+𝒎
𝒓
𝒎
𝒏∙𝒎
𝒏∙𝒎
Przykład: Bank A i B oferują odpowiednio dwie lokaty:
- Bank A – 5-letnią, oprocentowaną stopą nominalną 5%, kwartalna kapitalizacja odsetek
- Bank B – 5-letnią, oprocentowaną stopą kwartalną równą 2%, roczna kapitalizacja odsetek
Jaka będzie wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zainwestowaniu w banku A i B?
Dla banku A:
kapitalizacja w podokresach – okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością okresu
kapitalizacji
okres stopy procentowej = 1 rok
okres kapitalizacji = 3 miesiące
liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku = 4
𝐹𝑉 = 1000 ∙ (1 +
5% 4∙5
0,05 20
) = 1000 ∙ (1 +
) = 1000 ∙ 1,012520 = 1282,04 𝑧ł
4
4
Wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zainwestowaniu w banku A wynosi 1282,04 𝑧ł
Dla banku B:
kapitalizacja w nadokresach – okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu stopy
procentowej
8
okres stopy procentowej = 1 rok
okres kapitalizacji = 5 lat
𝑜𝑘𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑦 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜𝑤𝑒𝑗 1
=
𝑜𝑘𝑟𝑒𝑠 𝑘𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑗𝑖
5
𝑚=
𝐹𝑉 = 1000 ∙ (1 +
0,05 1∙5
)5 = 1000 ∙ (1 + 5 ∙ 0,05)1 = 1250 𝑧ł
1
5
Wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zainwestowaniu w banku B wynosi 1250 𝑧ł.

kapitalizacja ciągła
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 ∙ 𝒆𝒓𝒏
𝑷𝑽 =
𝑭𝑽
𝒆𝒓𝒏
Przykład:
1. Jaką wartośd po 8 latach będzie miał kapitał 1000 złotych, umieszczony na lokacie
oprocentowanej stopą nominalną równą 10%, przy kapitalizacji ciągłej?
𝐹𝑉 = 1000 ∙ 𝑒 0,10∙8 = 1000 ∙ 2,2255 = 2225 𝑧ł
2. Jaką kwotę należy zainwestowad w lokatę 5letnią oprocentowaną stopą nominalną 10%, z
kapitalizacją ciągłą, aby w czasie wygaśnięcia lokaty otrzymad kwotę 10 000 zł?
𝑃𝑉 =
10000
= 6065,31 𝑧ł
𝑒 5∙0,10
Kapitalizacja
𝑭𝑽
prosta
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∙ 1 + 𝑟𝑛
roczna
złożona
częściej niż raz
do roku
ciągła
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∙ 1 + 𝑟
𝑟
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∙ 1 +
𝑚
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∙ 𝑒 𝑟𝑛
𝑷𝑽
𝑛
𝑛∙𝑚
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1 + 𝑟𝑛
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1+𝑟
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
𝑟
1+𝑚
𝑃𝑉 =
𝑛
𝑛∙𝑚
𝐹𝑉
𝑒 𝑟𝑛
9
Pojęcie renty
Renta (ang. annuity) jest zdefiniowana jako ciąg płatności dokonywanych w równych
odstępach czasu. Płatności, które składają się na rentę, nazywane są ratami. Okres między
kolejnymi ratami nazywamy okresem bazowym. Momentem początkowym renty jest t=0,
natomiast momentem koocowym renty jest koniec okresu, za który płacona jest ostatnia rata.
Rentę charakteryzują następujące elementy:






liczba rat,
długośd okresu bazowego,
wysokośd rat- raty nie muszą byd równe, mogą np. tworzyd ciąg geometryczny,
arytmetyczny etc.,
moment pierwszej płatności,
stopa procentowa okresu bazowego,
zasady naliczenia odsetek w podokresach.
Renta prosta – renta, której długośd okresu bazowego pokrywa się z okresem kapitalizacji
odsetek.
Renta uogólniona – renta, dla której okres bazowy i okres kapitalizacji odsetek są różne.
Renta czasowa – renta o skooczonej liczbie rat.
Renta wieczna (ang. perpetual annuity, perpetuity) – renta o nieskooczonej liczbie rat.
Renta płatna z dołu – renta, w której płatności następują na koniec okresu.
Renta płatna z góry – renta, w której płatności są dokonywane na początku okresu.
Przykłady rent: comiesięczne wynagrodzenie, kwartalne płatności z tytułu spłaty długu, roczna
dywidenda z tytułu podsiadania akcji.
Głównym zagadnieniem rachunku rent jest ich wycena, która polega na określeniu kapitału
równoważnego rencie. Wycenę można przeprowadzid na dowolny moment t. W tym celu
należy zaktualizowad wartośd wszystkich rat na ten moment i obliczyd ich sumę. Najczęściej
wycena renty następuje na koniec lub początek renty.
Wartośd początkowa renty jest sumą wartości rat aktualizowanych na moment początkowy
renty.
Wartośd koocowa renty jest sumą wartości rat zaktualizowanych na moment koocowy renty.
10
Podstawowe wzory dotyczące rent
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
P – wartośd początkowa renty,
F – wartośd koocowa renty,
Rj – rata płatna w momencie j, j=1,…,n
R – równe raty renty
i – stopa procentowa okresu bazowego
Renta płatna z dołu – n płatności dowolnej wielkości
𝑅𝑗
𝑛
𝑗 =1∙ (1+𝑖)𝑗
𝑃=
Mówi my, że dwie renty są równoważne jeżeli ich wartości początkowe są takie same.
𝑛
[𝑅𝑗 ∙ (1 + 𝑖)𝑛−𝑗 ]
𝐹=
𝑗 =1
Renta płatna z dołu – n płatności tej samej wielkości
𝑛
𝑛
−𝑗
𝑃=
𝑗 =1
𝑗 =1
1
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
=𝑅∙
∙
𝑖
1+𝑖
1+𝑖
𝑎𝑛 𝑖 =
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
1 1 − (1 + 𝑖)−𝑛
∙
1
1+𝑖
1−1+𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
=𝑅∙
𝑖
(1 + 𝑖)−𝑗 = 𝑅 ∙
[𝑅 ∙ (1 + 𝑖) ] = 𝑅 ∙
- nazywamy czynnikiem oprocentowania renty płatnej z dołu
𝑃 = 𝑅 ∙ 𝑎𝑛 𝑖
𝑛
𝐹=
𝑛
[𝑅 ∙ (1 + 𝑖)
𝑛−𝑗
]= 𝑅∙
𝑗 =1
−𝑗
[(1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) ] = 𝑅(1 + 𝑖)
𝑗 =1
= 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 ∙
𝑠𝑛 𝑖 =
𝑛
𝑛
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
1 − (1 + 𝑖)
𝑖
𝑛
(1 + 𝑖)−𝑗
𝑗 =1
−𝑛
𝑛
=𝑅
(1 + 𝑖) − 1
𝑖
- nazywamy czynnikiem dyskontującym renty płatnej z dołu
𝐹 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑛 𝑖
11
Przykład.
Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200zł na rachunek oprocentowany według
stopy i12=0,5%. Obliczmy stan oszczędności na koniec drugiego roku. Wpłaty tworzą rentę, w
któ®ej n-24, R=200, i=i12=0,5%.
Korzystając ze wzoru: 𝐹 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 ∙
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
.
𝐹 = 200 ∙ 𝑠24 0,5% = 5086,39𝑧ł
Renta płatna z dołu - n płatności tej samej wielkości
𝑛−1
𝑃
(+1)
𝑛 −1
−𝑗
=
[𝑅 ∙ (1 + 𝑖) ] = 𝑅 ∙
𝑗 =0
𝑗 =0
=𝑅∙
𝑎𝑛 𝑖 =
(1 + 𝑖)
1− 1+𝑖
𝑖
1− 1+𝑖
𝑖
−𝑛
𝐹
=
(1 + 𝑖)
(1 + 𝑖)
𝑛−1
[𝑅 ∙ (1 + 𝑖)
𝑛−𝑗
𝑛
𝑛
]= 𝑅∙
𝑗 =0
−𝑗
[(1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) ] = 𝑅(1 + 𝑖)
𝑗 =0
= 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 ∙
𝑠𝑛 𝑖 =
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
=𝑅∙1∙
=𝑅∙
𝑖
1
1−1+𝑖
1+𝑖
−𝑛
𝑛−1
(+1)
−𝑗
1− 1+𝑖
𝑖
𝑛
(1 + 𝑖)−𝑗
𝑗 =1
−𝑛
𝑛
1+𝑖 =𝑅
(1 + 𝑖) − 1
1+𝑖
𝑖
1+𝑖 𝑛 −1
(1 + 𝑖)
𝑖
Renta wieczysta
𝑃∞ - wartośd obecna renty wieczystej
𝑃∞ =
𝑛
𝑗 =1
[𝑅 ∙ (1 + 𝑖)−𝑗 ] = 𝑅 ∙ lim𝑛→∞
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
=
𝑅
𝑖
Przykład.
Niech dana będzie renta wieczna o ratach 1000zł płatnych każdego roku. Obliczyd wartośd
obecną renty przy stopie procentowej 10%.
𝑃=
1000
= 10000𝑧ł
0,1
12
Kredyt – pojęcie i podstawowe wzory
Zaciągnięty dług, inaczej kredyt, oznaczmy przez S. Dług ten jest najczęściej spłacany w
częściach zwanych ratami łącznymi lub płatnościami.
N - ilośd rat, r - stopa procentowa (czynnik pomnażający oznaczmy jako q=1+r).
Mówimy, że dług został spłacony jeżeli w określonym przedziale czasu suma spłaconych rat
jest równa zaciągniętej pożyczce wraz z odsetkami z tytułu „użytkowania” wypożyczonego
kapitału. Inaczej: dług został spłacony, jeżeli obecna wartośd sumy spłaconych rat jest równa
wartości zaciągniętego długu.
Przyjmijmy oznaczenia:
Rn – n-ta rata łączna, n- ta spłata długu, n- ta płatnośd,
Tn – n-ta rata długu, częśd kapitałowa długu spłacana w n-tej racie,
In – odsetki spłacane w n-tej racie,
Sn – reszta długu pozostała do spłacenia po spłaceniu n rat,
Z – suma wszystkich odsetek.
Każda rata łączna zawiera dwa składniki: ratę długu (rata kapitałowa) oraz odsetki.
Rn=Tn+In, n=1,2,…
Jeżeli raty są spłacane zgodnie z okresem stopy procentowej i okresem kapitalizacji, wtedy
mówimy o spłatach zgodnych. W przeciwnym przypadku mówimy o spłatach niezgodnych.
Spłat można dokonywad zarówno z góry jak i z dołu. W rozważaniach zostaną pominięte
spłaty z góry, gdyż można je zinterpretowad jako spłaty z dołu pożyczki pomniejszonej
o pierwszą ratę. Raty łączne mogą byd równej lub różnej wysokości.
Można określid wiele różnych planów spłat kredytu (długu). Określenie takiego planu
sprowadza się do wyznaczanie ciągów (Rn), (Tn), (In), (Sn) oraz I. Wielkości te nie są niezależne,
dlatego znając niektóre z nich można wyznaczyd pozostałe. Najczęściej plan spłaty długu
można określid w oparciu o 2 schematy: gdy ustalone są raty łączne R1,…, Rn lub gdy zostały
ustalone spłaty długu T1,…,Tn.
W gruncie rzeczy plan spłaty długu nie musi mieścid się w ogólnie przyjętych schematach, gdyż
duża częśd kredytów ma swój unikalny, jednostkowy plan spłaty. W naszych rozważaniach
omówimy dwa przypadki: równej raty kapitałowej oraz równej raty łącznej.
13
Przykład 1
Plan spłaty kredytu w równych ratach łącznych – spłaty zgodne.
Wysokośd raty A = R1 = … = Rn (raty łącznej, równej w każdym okresie) wynika z warunku
bilansowego Sn=0, czyli z równania:
𝑆𝑛 = 𝑆 ∙ 𝑞 𝑛 − 𝐴 ∙ 𝑞 𝑁−1 + 𝐴 ∙ 𝑞 𝑁−2 + ⋯ + 𝐴 = 𝑆 ∙ 𝑞 𝑛 − 𝐴
1−𝑞 𝑁
1−𝑞
.
Stąd:
𝐴 = 𝑆 ∙ 𝑞𝑁 ∙
1−𝑞
1 − 𝑞𝑁
Weźmy przykładowo kredyt na podanych w tabeli warunkach:
Kredyt
Oprocentowanie
Rata kredytu
Liczba rat
𝑆𝑜 = 𝑆
𝑖
𝐴 = 𝑅𝑛 = 𝑇𝑛 + 𝐼𝑛
n
10000
10 %
2296,0738
6
Wówczas wielkośd raty łącznej będzie wynosid:
𝐴 = 10000 ∙ (1 + 0,1)6 ∙
1 − 1,1
= 2296,0738
1 − 1,16
Zobaczmy jak wygląda dokładny plan spłaty kredytu:
n
Saldo
𝑺𝒏−𝟏
Rata
𝑹𝒏
Częśd
kapitałowa
𝑻𝒏
Odsetki
𝑰𝒏
Saldo
𝑺𝒏
1
𝑆𝑜 = 𝑆
𝑅𝑛 = 𝑇𝑛 + 𝐼𝑛
𝑇𝑛 = 𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛
𝐼𝑛 = 𝑆𝑛−1 ∙ 𝑖
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 − 𝑇𝑛
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 1 + 𝑖 − 𝑅𝑛
1
10000,0000
2296,0738
1296,0738
1000,0000
8703,9262
2
8703,9262
2296,0738
1425,6812
870,3926
7278,2450
3
7278,2450
2296,0738
1568,2493
727,8245
5709,9957
4
5709,9957
2296,0738
1725,0742
570,9996
3984,9215
5
3984,9215
2296,0738
1897,5817
398,4921
2087,3398
6
2087,3398
2296,0738
2087,3398
208,7340
0,0000
Biorąc pod uwagę spłacanie kredytu, wartośd zadłużenia w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie powinna byd równa 0
(bądź bardzo bliska 0).
14
Przykład 2
Plan spłaty kredytu w równych ratach kapitałowych – spłaty zgodne.
Weźmy kredyt spłacany na podanych w tabeli warunkach:
Kredyt
Oprocentowanie
Rata kredytu
Liczba rat
𝑆𝑜 = 𝑆
𝑖
𝑅𝑛 = 𝑇𝑛 + 𝐼𝑛
𝑆
𝑅𝑛 =
𝑛
n
10000
10 %
10000/6=1666,6667
6
n
Saldo
𝑺𝒏−𝟏
Rata
𝑹𝒏
Częśd
kapitałowa
𝑻𝒏
Odsetki
𝑰𝒏
Saldo
𝑺𝒏
1
𝑆𝑜 = 𝑆
𝑅𝑛 = 𝑇𝑛 + 𝐼𝑛
𝑇𝑛 = 𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛
𝐼𝑛 = 𝑆𝑛−1 ∙ 𝑖
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 − 𝑇𝑛
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 1 + 𝑖 − 𝑅𝑛
1
10000,0000
2666,6667
1666,6667
1000,0000
8333,3333
2
8333,3333
2500,0000
1666,6667
833,3333
6666,6666
3
6666,6666
2333,3334
1666,6667
666,6667
4999,9999
4
4999,9999
2166,6667
1666,6667
500,0000
3333,3332
5
3333,3332
2000,0000
1666,6667
333,3333
1666,6665
6
1666,6665
1833,3334
1666,6667
166,6667
-0,0002
Biorąc pod uwagę spłacanie kredytu, wartośd zadłużenia w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie powinna byd równa 0
(bądź bardzo bliska 0).
Pamiętajmy o tym, że zawsze
𝑛
𝑇𝑛 = 𝑆
𝑖=1
Modele wartości pieniądza w czasie. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartośd bieżąca, wartośd
przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia bieżącego. Współczynnik akumulacji kapitału.
15