mp2_dg_05.

29
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
5. Jednowymiarowy przepływ gazu przez dysze.
Parametry krytyczne.
5.1. Dysza zbieżna.
p0
pE
T
ρ
to
exhauster
p B - back pressure
0
⇒
T
U
c
U0 =0
c0
Rys.5.1. Dysza zbieżna.
Równanie energii:
χ pB
χ p0
U2
+
=
2 χ−1 ρ
χ − 1 ρ0
;
U0 = 0
(5.1)
prowadzi do następującej formuły na prędkość przepływu jako
funkcji przeciwciśnienia:
U=
2 χ  p0 pB 
 − 
χ − 1  ρ0 ρ 
(5.2)
30
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
lub jako funkcji stosunku ciśnień:
U=
χ −1


χ


p
p
2χ 0 

B
1
−



χ − 1 ρ 0   p0 


(5.3)
Prędkość dźwięku na wylocie z dyszy:
c2 = χ
p
ρ
c 20
U2
c2
+
=
2 χ−1 χ−1
(5.4)
stąd prędkość dźwięku wynosi
c 2 = c 02 −
χ −1 2
U
2
(5.5)
5.2. Klasyfikacja przepływów ściśliwych. Elipsa adiabatycznego
przepływu ustalonego.
Subsonic
C0
C
M=1
Incompressible
U<c
Supersonic
Transonic
U=c
c
U>
Hypersonic
V
V max
Rys.5.2. Elipsa adiabatycznego przepływu ustalonego dla
przepływu ścisliwego.
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
31
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
Przepływ nieściśliwy.
Prędkość jest mała w porównaniu z prędkością dźwięku. Zmiany w
c są bardzo małe w porównaniu ze zmianami U.
Poddźwiękowy przepływ ściśliwy.
Prędkości przepływu i dźwięku mają porównywalne wartości, ale
pierwsza z nich jest mniejsza niż druga. Zmiany liczby Macha
następują głównie dzięki zmianom U, i tylko wtórnie poprzez
zmiany w c.
Przepływ okołodźwiękowy.
Różnica pomiędzy U i c jest nieporównywalna z wartościami obu
prędkości U i c. Zmiany w U i c mają porównywalną wartość.
Przepływ naddźwiękowy.
Prędkości przepływu i dźwięku mają porównywalne wartości, ale
pierwsza z nich jest większa niż druga. Zmiany liczby Macha mają
miejsce poprzez znaczne zmiany w obu prędkościach U i c.
Przepływ hipersoniczny.
Prędkość przepływu jest dużo większa od prędkości dźwięku.
Zmiany prędkości są bardzo małe, tak więc zmiany liczby Macha są
prawie wyłącznie wynikiem zmian w c.
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
32
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
5.3. Parametry krytyczne przepływu:
są to parametry płynu kiedy prędkość przepływu równa jest
lokalnej prędkości dźwięku:
U ∗2 = c 20 −
χ−1 2
U∗
χ
(5.6)
stąd prędkość krytyczna jest:
U ∗2
=
2c 20
χ+1
=
2χRT0
χ+1
(5.7)
Związki pomiędzy parametrami krytycznymi i parametrami
stagnacji:
U∗
c0
T∗
T0
=
=
2
χ+1
2
χ+1
 2 
=

p 0  χ + 1
p∗
ρ∗
(5.8)
(5.9)
χ
χ −1
 2 
=

ρ 0  χ + 1
1
χ−1
(5.10)
(5.11)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
33
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
Prędkość krytyczna może być użyta jako prędkość odniesienia w
definicji prędkości bezwymiarowej:
M∗ =
U
U∗
(5.12)
5.4. Wydatek masowy przepływu przez dyszę:
•
m = ρUA
(5.13)
Wstawiając równanie (5.3) i związek
 p
ρ = ρ0  
 p0 
1
χ
równanie (5.13) przyjmuje postać:
χ +1
2


•
χ
χ




p
p
2χ


m= A
p 0ρ 0   B  −  B 

χ−1
 p0 
 p0 


(5.14)
maksymalny wydatek masowy przepływu:
 2 
mm = A 

 χ + 1
•
χ +1
2 ( χ − 1)
χ p 0ρ 0
(5.15)
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
U[m/s]
34
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
Supersonic
Subsonic
5
p =10 Pa
a)
0
C*
T0 =293 k
ρ =1,2 kg/m3
0
m/A
b)
Ma
c)
Ma
*
Rys.5.3. Typowe zmiany parametrów w przepływie izentropowym.
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
Praca dyszy rozbieżnej przy zmianie przciwciśnienia:
Regime II
Regime I
m/A
p /p
0
B
Rys.5.4. Zmiana wydatku masowego w dyszy zbieżnej.
Warunki pracy I
Warunki pracy II
p
p∗
p
p
p
p
E ≅ B
p
p
0
0
p
p
Ma < 1
Ma = 1
B >
p
p
0
0
•
pB
m
- zależne od
p0
A
B < ∗
p
p
0
0
E = ∗
p
p
0
0
•
pB
m
- niezależne od
p0
A
35
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
36
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
5.5. Różnica pomiędzy poddźwiękowym i naddźwiękowym
przepływem w kanale o zmiennym przekroju.
Równanie ciągłości w logarytmicznej różniczkowej postaci
d [ln (ρAU ) ] = 0
(5.16)
lub
d ( ln ρ ) + d ( ln A ) + d ln U = 0
(5.17)
lub
dρ dA dU
+
+
=0
ρ
A
U
(5.18)
dzieląc ostatnie równanie przez dx otrzymujemy:
1 dρ 1 dA 1 dU
+
+
=0
ρ dx A dx U dx
(5.19)
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
37
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
Licząc pochodną jak dla funkcji złożonej i wykorzystując wzór na
prędkość dźwięku:
dρ dρ dp 1 dp
=
=
dx dp dx c 2 dx
(5.20)
Z równania zachowania pędu:
dp
dU
= −ρU
dx
dx
(5.21)
stąd gradient gęstości przyjmuje formę:
dρ
ρU dU
=− 2
dx
c dx
(5.22)
Wstawienie równania (5.22) do (5.19) prowadzi do następującego
związku:
−
U dU 1 dU
1 dA
+
=
−
A dx
c 2 dx U dx
(5.23)
lub
( Ma
2
U
=
) dU
dx A
−1
dA
dx
(5.24)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Warunki pracy I
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
Ma < 1
- przepływ podźwiękowy
przypadek 1:
dA
> 0 - dysza rozbieżna
dx
⇓
dU
< 0 - przepływ opóźniający
dx
przypadek 2:
dA
< 0 - dysza zbieżna
dx
⇓
dU
> 0 - przepływ przyspieszający
dx
38
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Warunki pracy II
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
Ma > 1
- przepływ naddźwiękowy
przypadek 1:
dA
> 0 - dysza rozbieżna
dx
⇓
dU
> 0 - przepływ przyspieszający
dx
przypadek 2:
dA
< 0 - dysza zbieżna
dx
⇓
dU
< 0 - przepływ opóźniający
dx
39
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
5.6. Charakterystyka pracy dyszy zbieżno-rozbieżnej.
p E (Variable)
p 0(const)
to
exhouster
⇒
T0 (const)
U0 =0
pB
Valve
1
(1)
(2)
ρ
ρ0
(3)
Locus of
states downstream
of normal shock
0
(4)
(5)
(6)
(7)
I
II
III
IV
Distance along nozzle
Rys.5.5. Zachowanie przepływu w dyszy zbieżno-rozbieżnej.
40
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Warunki I •
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
41
Rozdział 5 – Jednowymiarowy
przepływ gazu przez dysze.
przepływ jest całkowicie poddźwiękowy
Warunki II
•
•
•
•
•
Ma = 1 w gardle dyszy
prostopadła fala uderzeniowa pojawia się w
przepływie poniżej gardła
poniżej czoła fali uderzeniowej
występuje poddźwiękowe opóźniene
pE = pB
wydatek masowy jest stały i nie podlega wpływom
przeciwciśnienia
Warunki III
• Przepływ jest całkowicie naddźwiękowy
• pE < pB
•
•
sprężanie które występuje na zewnątrz dyszy
wywołuje ukośne fale uderzeniowe
obraz przepływu w obrębie dyszy zależy od poziomu
przeciwciśnienia
Warunki IV
•
•
•
pE > pB
rozprężanie które występuje na zewnątrz dyszy
przyjmuje postać ukośnych fal rozrzedzeniowych
obraz przepływu w obrębie dyszy zależy od poziomu
przeciwciśnienia