ZAAWANSOWANA MECHANIKA PŁYNÓW 6. Prostopadła fala

ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
42
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
6. Prostopadła fala uderzeniowa.
Podstawowe własności:
•
nieciągłość parametrów przepływu
przyjmuje
płaszczyzny prostopadłej do kierunku przepływu
•
w zbieżno - rozbieżnym kanale dla pewnych kombinacji
początkowego i końcowego ciśnienia zaobserwowano
nieizentropowe sprężanie
•
grubość fali uderzeniowej jest porównywalna ze średnią drogą
swobodną molekuł
postać
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
6.1.
43
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
Podstawowe równania
uderzeniowej.
prostopadłej,
ustalonej
fali
control volume
flow upstream
steady shock
p1
p2
ρ1
ρ2
T1
U1
T2
U2
flow downstream
steady shock
discontinuity
Rys.6.1. Powierzchnia kontrolna wokół prostopadłej fali
uderzeniowej.
Równanie energii:
i1 +
U 12
= i0
(6.1)
p1 − p 2 = m ( U 2 − U 1 )
(6.2)
2
Zasada zachowania pędu:
Równanie ciągłości:
= i2 +
U 22
2
•
ρ1 U1 = ρ 2 U 2
Kombinacja równań (6.2) i (6.3) daje:
(6.3)
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
44
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
p1 + ρ 1 U 12 = p 2 + ρ 2 U 22
(6.4)
Równanie energii może być napisane
w przypadku gazu
doskonałego:
U 12
U 22
cp T1 +
= cp T2 +
= cp T0
(6.5)
2
2
lub
T01 = T02
(6.6)
ale ponieważ:
T01
T
= 1+
χ−1
Ma 12
2
i
T02
T
stąd:
= 1+
χ−1
Ma 22
2
χ−1
2
Ma
1
T2
2
=
χ−1
T1
Ma 22
1+
2
1+
Z równania ciągłości
otrzymujemy:
T2
T1
=
p2 ρ1
p1 ρ 2
=
p2 U 2
p1 U 1
(6.7)
i równania stanu gazu doskonałego
=
p 2 c 2 Ma 2
p1 c1Ma 1
=
p 2 Ma 2
T2
p1 Ma 1
T1
(6.8)
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
45
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
postać z której wynika, że:
 p 2   Ma 2 
=  

T1  p1   Ma 1 
T2
2
(6.9)
Z kombinacji równań (6.9) i (6.7) otrzymujemy:
p2
p1
=
χ−1
Ma 12
2
χ−1
1+
Ma 22
2
1+
Ma 2
Ma 1
(6.10)
Z drugiej strony dla gazu doskonałego jest:
ρU 2 = ρMa 2 c 2 = ρMa 2 χRT = pχMa 2
(6.11)
Wstawienie ostatniej formuły do równania zachowania pędu (6.4)
prowadzi do:
p 1 + p 1χMa 12 = p 2 + p 2 χMa 22
(6.12)
lub
p2
p1
=
1 + χMa 12
1+
χMa 22
(6.13)
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
46
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
Wyeliminowanie stosunku ciśnień z równań (6.10) i (6.13) daje:
χ−1
χ−1
Ma 12 Ma 2 1 +
Ma 22
2
2
=
1 + χMa 12
1 + χMa 22
Ma 1 1 +
(6.14)
Po algebraicznym przekształceniu przyjmuje postać równania
kwadratowego z dwoma rozwiązaniami:
Ma 2 = Ma 1
(6.15)
i
Ma 22 =
Ma 12 +
2
χ−1
2χ
Ma 12 − 1
χ−1
(6.16)
Wstawienie równania (6.16) do równania (6.13) daje:
p2
p1
=
2χ
χ−1
Ma 12
χ+1
χ+1
(6.17)
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
47
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
a wstawienie równania (6.16) do (6.7) daje:
T2
T1
=

χ−1

  2χ
Ma 12  
Ma 12 − 1
 1+

 χ−1

2
2
( χ + 1)
Ma 12
2 ( χ − 1)
(6.18)
Stosunek gęstości jako funkcja liczby Macha
przed falą
uderzeniową można wyznaczyć z równania (6.17) i (6.18):
ρ2
ρ1
=
p 2 T1
p1 T2
(6.19)
a stosunek prędkości wynika z równania ciągłości:
U2
U1
=
ρ1
ρ2
(6.20)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
Ma 2
Ma 1
a)
Ma 1
U2
U1
b)
Ma 1
Rys.6.2. Zmiany parametrów przepływu po obu stronach
prostopadłej fali uderzeniowej.
48
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
p2
p1
c)
Ma 1
T2
T1
d)
Ma 1
ρ2
ρ1
e)
Ma 1
Rys.6.2. C. d.
49
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
50
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
6.2. Niemożliwość rozrzedzenia fali uderzeniowej.
Stosunek ciśnień stagnacji jest miarą nieodwracalności w
przypadku występowania fali uderzeniowej:
p0
2
p0
1
=
p0 p p
2
2
1
p 2 p1 p 0
(6.21)
1
Wprowadzenie równania (6.17) i związków dla parametrów
stagnacji prowadzi do:
χ
 χ −1
p0
p0
2
1
=
 χ+1
2
Ma
1 

2


χ−1
2
1+
Ma 1 


2
1
− 1 χ − 1
 Rχ
χ
2
−
Ma
χ + 1
1
χ + 1

(6.22)
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
51
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
Pamiętając, że zmiana entropii dla gazu doskonałego wynosi:
T2
s 2 − s1 = cp ln
T2
T1
− R ln
p2
p1
= cp ln
T1
 p2 
 
 p1 
i że związki na parametry stagnacji mają postać:
T0
T
= 1+
χ−1
χ
χ−1
Ma 2
2
p0
χ−1


Ma 2 
=  1+

p 
2
χ
χ −1
można znaleźć związek na zmianę entropii w warunkach
temperatur i ciśnień stagnacji:
s 2 − s1 = cp ln
T0
2
T0
1
χ −1
χ
(6.23)
 p0 
 2
p 
 01 
ponieważ T0 = T0 , zmiana entropii może być wyrażona jako:
2
1
s 2 − s1
R
= − ln
p0
2
p0
1
(6.24)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
52
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
Wprowadzenie równania (6.22) do równania (6.24) prowadzi do:
s 2 − s1
R

χ
χ − 1
2
=
+
ln 
+
2
χ − 1  ( χ + 1) Ma 1 χ + 1
+
0,50
s 2 -s 1
R
 2χ
χ − 1
1
ln
Ma 12 −
χ − 1 χ + 1
χ + 1
(6.25)
Shock is
possible
Shock is
impossible
0,25
0,00
-0,25
-0,50
0,5
1,0
1,5
Ma 1
2,0
Rys.6.3. Zmiana entropii przez prostopadłą falę uderzeniowa.
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
53
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
6.3. Równanie Rankina-Hugoniota.
Podstawiając wartość Ma 1 z równania (6.17) do równania
(6.18):
p2  χ − 1 p2 
1 +

T2 p1  χ + 1 p1 
=
p2 χ − 1
T1
+
p1 χ + 1
(6.26)
wykorzystując związek (6.19) otrzymujemy:
χ + 1 p2
+1
ρ 2 χ − 1 p1
=
p2 χ + 1
ρ1
+
p1 χ − 1
Shock wave
(Rankine-Hugoniot)
10
p2
p1
(6.27)
8
6
Isentropic
4
2
1
2
3
4
ρ2
ρ1
5
Rys.6.4. Krzywa Rankina-Hugoniota.
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
54
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
χ+1 1
+
χ − 1 p2
ρ
p1
χ+1
=
=6
lim 2 = lim
p2
p
1
χ
+
1
χ−1
2
→∞ ρ 1
→∞ 1 +
p1
p1
χ − 1 p2
p1
(6.28)
Przekształcenie równania (6.27) w celu wyznaczenia
p2
p1
prowadzi do związku Rankine’a-Hugoniota:
χ + 1 ρ2
−1
p 2 χ − 1 ρ1
=
χ + 1 ρ2
p1
−
χ − 1 ρ1
(6.29)
6.4. Fizyczny opis powstawania fali uderzeniowej.
•
Jaki jest fizykalny mechanizm
zagęszczeniowej fali uderzeniowej?
•
Jakie są fizykalne powody uniemożliwiające powstawanie
rozrzedzeniowej fali uderzeniowej?
zjawiska
powstawania
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
55
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
t=1
a
x
pressure pulse
t=2
a b
x
t=3
a
b c
x
t=4
a b c d
x
t=5
a b c de
piston speed
x
1
2
3
4
5
6
t
Rys.6.5. Czoła fali utworzone podczas przyspieszeń tłoka przez
serie równo rozmieszczonych impulsów.
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
56
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
Każda z fal ciśnienia przemieszcza się względem przepływającego
płynu z lokalną prędkością dźwięku, ale elementy masy bliższe
tłoka mają większą prędkość niż te bardziej oddalone od tłoka .
Jednak, ponieważ przemiana jest izentropowa, elementy masy
bliższe tłoka mają większą prędkość dźwięku dzięki wyższej
temperaturze związanej z ich większym ciśnieniem.
Podsumowując:
Każda pulsacja ciśnienia przemieszcza się
szybciej niż poprzednia i profile fali stają się
bardziej strome.
CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
Rozdział 6 – Prostopadła fala
uderzeniowa.
Ściskane fale stają się bardziej strome i
ostatecznie tworzy się nieciągłość, dopóki
dalszy ich rozwój nie spowoduje ich
rozprzestrzenienia się i utraty zdolności
utrzymania nieciągłości.
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
U
p
ρ
t=5
shock
compression
wave
distance, x
t=0
t=1
t=2
t=3
U
p
ρ
expansion
wave
distance, x
Rys.6.6. Rozwój kształtu fali.
57