Ekonometria - Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego

Transkrypt

Sprawy organizacyjne
Czym jest ekonometria?
KMNK
Ekonometria
Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego
Estymator KMNK
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
1 / 16
KMNK
Agenda
1
Literatura
Zaliczenie przedmiotu
2
Model ekonometryczny
3
KMNK
Estymator MNK
Twierdzenie Gaussa -Markowa
Estymator macierzy wariancji-kowariancji
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
2 / 16
KMNK
Literatura
Literatura
Literatura polskojęzyczna
Gruszczyński M., Kuszewski T. i Podgórska M. (red), (2010), Ekonometria i
badania operacyjne. Podręcznik dla studiów licencjackich., PWN, Warszawa.
Literatura angielskojęzyczna
Greene W.H., (2011), Econometric Analysis, Prentice Hall.
Hill R.C., Griffiths W. E. i Lim G.C, (2011), Principle of Econometrics,
Willey.
Wooldridge J. M., (2012), Introductory Econometrics: A Modern Approach,
Cengage Learning.
Oprogramowanie
MS Excel.
Gretl [wersja polskojęzyczna, wersja angielskojęzyczna].
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
3 / 16
KMNK
Literatura
Oficjalne sprawdziany (×2): 9 grudnia i 13 stycznia.
Na każdym sprawdziane można uzyskać 6 pkt.
Planowane dwie prace domowe (po 3 pkt.)
Łącznie z ćwiczeń można uzyskać 18 pkt.
Egzamin w sesji
Na egzaminie można uzyskać 32 pkt.
Aby podejść do egzaminu należy uzyskać przynajmniej 6 pkt. z ćwiczeń.
Skala ocen
liczba punktów
do
od
od
od
od
od
Jakub Mućk
Ekonometria
24
24
30
35
40
45
Ćwiczenia 1
ocena
niedostateczna
dostateczna
dostateczna plus
dobra
dobra plus
bardzo dobra
Estymator KMNK
4 / 16
KMNK
Ekonometria to zbiór metod statystycznych i matematycznych
pozwalających na empiryczną weryfikację teorii ekonomicznej.
Inaczej
Ekonometria pozwala na pomiar siły (istotności) i kierunku zjawisk i
procesów ekonomicznych.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
5 / 16
KMNK
Rodzaje danych wykorzystywanych w ekonometrii/naukach
ekonomicznych
Dane przekrojowe
Szeregi czasowe
Dane panelowe
Konsekwencje
Rodzaj danych ma znaczenie w wyborze zarówno i) postaci funkcyjnej oraz
ii) metody estymacji.
Rodzaje zmiennych:
Zmienna ilościowa i jakościowa.
Zmienna bieżąca i opóźniona (szeregi czasowe; dane panelowe)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
6 / 16
KMNK
Załóżmy, że zmienna y jest funkcją x1 , x2 , . . ., xk , t. że
y = F (x1 , x2 , . . . , xk )
(1)
Zauważmy, że równanie (1) określa funkcję deterministyczną.
Wprowadźmy, element losowy, tj. ε:
y = f (x1 , x2 , . . . , xk , ε)
(2)
Szczególnym przypadkiem (1) jest liniowa postać. Wtedy mowa o modelu
regresji liniowej:
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ε
(3)
gdzie:
y – zmienna objaśniana, (endogeniczna).
x1 , . . . , xk – zmienne objaśnianające, (egzogeniczne).
β1 , . . . , βk – parametry strukturalne modelu.
β0 – wyraz wolny.
ε – składnik losowy.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
7 / 16
KMNK
Estymator MNK
Oznaczenia
Zapis ogólny:
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + . . . + βk xk + (4)
y = Xβ + ε
(5)
Zapis macierzowy
gdzie
y1
 y2 

y=
 ... 
yn


1
 1
X=
 ...
1

β0
 β1 

β=
 ... 
βk


x1,1
x2,1
..
.
xn,1
...
...
..
.
...
x1,2
x2,2
..
.
xn,2
x1,k
x2,k 
.. 

.
xn,k

ε1
 ε2 

ε=
 ... 
εn


k – liczba zmiennych objaśniających; n – liczba obserwacji.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
8 / 16
KMNK
Estymator MNK
Estymator MNK
Załóżmy, że badane zjawisko można opisać modelem postaci [lub prawdziwy
proces generujący zmienną y jest następujący]:
y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ε
(6)
Nieznane parametry można uzyskać przy pomocy Metody Najmniejszych
Kwadratów (OLS – ordinary least squares). Idea tej metody polega na
znalezieniu takich wartości nieznanego wektora parametrów β, który minimalizują sumę kwadratów reszt, czyli różnic pomiędzy wartościami obserwowanymi a teoretycznymi:
β̂ = arg min eT e
(7)
β
gdzie e = y − ŷ = y − Xβ̂.
Ostatecznie estymator OLS (MNK) dla wektora β:
β̂ OLS = (XT X)−1 XT y
(8)
Szczegóły
β a β̂
β oznacza nieznany i prawdziwy wektor parametrów, a β̂ jest
oszacowaniem punktowym wektora parametrów.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
9 / 16
KMNK
Estymator MNK
Załóżmy:
1
rz(X) = k + 1 ≤ n
2
Zmienne xi są nielosowe, a zatem są niezależne od składnika losowego
3
E() = 0
D2 (ε) = E(εεT ) = I σ
εi ∼ N (0, σ 2 )
4
5
Twierdzenie Gaussa - Markowa
Estymator β̂ uzyskany Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów jest
estymatorem BLUE [best linear unbiased estimator], tj. zgodnym,
nieobciążonym i najefektywniejszy w klasie liniowych estymatorów wektora
β.
nieobciążoność, czyli E(β̂) = β
najefektywniejszy, czyli posiadający najmniejszą wariancję w swojej
klasie
zgodny, czyli limn→∞ P(|β̂n − β|) < δ
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
10 / 16
KMNK
Estymator MNK
Interpretacja
Załóżmy, że oszacowaliśmy parametry modelu ekonometrycznego:
ŷ = β̂0 + β̂1 x1 + β̂2 x2 + . . . + β̂k xk
(9)
Interpretacja:
Wzrost xi o jednostkę powoduje wzrost y o βi ceteris paribus
jednostek.
Uwagi:
Należy pamiętać o zasadzie ceteris paribus.
Oszacowanie wyrazu wolnego zazwyczaj nie ma interpretacji ekonomicznej
(dlaczego?).
Pułapka przyczynowości.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
11 / 16
Przykład
[Greene, 2003] Funkcja konsumpcji została oszacowana dla gospodarki
amerykańskiej w latach 1970-1979. Wydatki konsumpcyjne (C ) są objaśniane
dochodem do dyspozycji (Y ) [obie zmienne w mln USD w cenach bieżących]:
Ĉ = −67.58 + 0.979Y
(10)
900
0.53924
2.4815
2.6814
800
Konsumpcja
850
8.5299
−9.78
750
−11.291
−9.3407
700
11.181
1.3359
3.6636
750
800
850
900
950
Dochod
Obserwowane wartości, wartości teoretyczne, reszty.
1000
KMNK
Estymator MNK
Estymacja błędów szacunku
W przypadku MNK, możemy wyznaczyć estymator macierzy wariancji-kowariancji
dla parametrów β̂ OLS :
D̂2 (β̂ OLS ) = S2ε (XT X)−1
(11)
gdzie
S2 =
SSE(β̂ OLS )
εT ε
=
n − (k + 1)
df
(12)
gdzie SSE(β̂ OLS ) to suma kwadratów reszt, a df to liczba stopni swobody.
Element diagonalne macierzy wariancji-kowariancji (oznaczmy jako d̂ii ), stanowią wariancję estymowanych parametrów. Zatem błąd szacunku dla
i-tego parametru jest równy:
√
S(β̂i ) = dii
(13)
Względny błąd szacunku
S(β̂i ) β̂i Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
(14)
Estymator KMNK
13 / 16
KMNK
Estymator MNK
Wyprowadzenie β OLS I
Przyjmijmy zapis macierzowy oraz ustalmy liczbę obserwacji równą n oraz liczbę
zmiennych objaśniających równą k.
Oznaczmy: macierz zmiennych objaśniających jako X (o wymiarach (n × (k + 1));
wektor zmiennej objaśnianej jako y (o wymiarach n × 1), wektor parametrów modelu jako β (o wymiarach (k + 1) × 1) oraz wektor nieobserwowalnego składnika
losowego jako ε (o wymiarach n × 1). Wtedy:
y = Xβ + ε
(15)
Chcemy, znaleź takie wartości wektora β, które będą minimalizować odchylenie
wartości obserwowanych zmiennej objaśniającej y od wartosci teoretycz^ . Wektor składnika, ε jest nieobserowalny, ale obserowalny jest wektor reszt
nych y
e (o wymiarach n × 1), taki że
^ = y − Xβ
e=y−y
(16)
Zawuażmy, że elementy wektora e mogą przyjmowac wartości zarówno dodatnie
jak i ujemne. Dlatego minimalizowanie sumy elementów wektora e posiada pewien
mankament (jaki?).
Przyjmijmy sumę kwadratów reszt (SSE - error sum of squares) jako funkcję szukanego wektora parametrów β, którą chcemy minimalizować:
SSE(β) = eT e = (y − ŷ)T (y − ŷ) = (y − Xβ)T (y − Xβ)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
(17)
14 / 16
KMNK
Estymator MNK
Wyprowadzenie β OLS II
Po przemnożeniu macierzy w (17), otrzymujemy:
SSE(β) = yyT − 2yT Xβ + β T XT Xβ
(18)
Zróżniczkujmy wyrażenie (18) po β, wtedy otrzymamy:
∂SSE(β)
= −2XT y + 2XT Xβ
∂β
(19)
Przyrównując pierwszą pochodną, tj. (19), otrzymujemy układ równań
XT y = XT Xβ
Ostatecznie:
−1
β̂ OLS = XT X
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
(20)
XT y
Estymator KMNK
(21)
15 / 16
KMNK
Estymator MNK
Wyprowadzenie estymatora - kowariancji oszacowań β OLS
Ogólny wzór dla estymatora macierzy wariancji-kowariancji oszacowań (β̂ OLS ):
D2 (β̂ OLS ) = E
h
β̂ OLS − β
β̂ OLS − β
T i
(22)
Zauważmy, że
β̂ OLS = XT X
−1
XT y = XT X
−1
XT (Xβ + ε) = β + XT X
−1
XT ε (23)
Wtedy
D2 (β̂ OLS )
=
E
=
E
=
h
XT ε
−1
XT εεT X XT X
XT X
XT X
−1
XT X
−1
−1
XT X
XT ε
T −1 i
XT E εεT X XT X
−1
Następnie korzystając z założenie o sferyczności macierzy wariancji-kowariancji
składnika losowego, tj. D2 (ε) = E(εεT ) = σI , można uprościć wzór na estymator
wariancji kowariancji oszacowań do:
−1
D2 (β̂ OLS ) = σ XT X
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 1
Estymator KMNK
(24)
16 / 16

Ekonometria - Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego

Transkrypt

Podobne dokumenty

Estymacja

Ekonometria - Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego

lista tytułów w pdf

Estymatory

Nazwa kierunku Informatyka i ekonometria Tryb studiów

Syl_fir

Estymator: Onet.pl na czele internetowych portali

powiedzmy

dr hab. Aleksander Welfe, prof. nadzw.

Ekonometria - Cwiczenia nr 2