Gry w postaci normalnej

Gry w postaci normalnej
Gry w postaci normalnej – p. 1/??
Rozgrzewka
Przykład 1.
(Dylemat wieźnia)
˛
Dwóch przestepców,
˛
którzy zorganizowali napad na bank,
zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa.
Jeżeli obaj bed
˛ a˛ zeznawać prawde,
˛ zostana˛ obaj skazani
na 5 lat. Jeżeli obaj bed
˛ a˛ w zeznaniach kłamać, to sad
˛
bedzie
˛
im w stanie udowodnić jedynie pomoc w organizacji
napadu i wymierzy im kare˛ 1 roku wiezienia.
˛
Jeżeli tylko
jeden z nich zezna prawdziwie, to jako świadek koronny nie
zostanie skazany, a jego kolega dostanie 10 lat.
Gry w postaci normalnej – p. 2/??
Rozgrzewka
Przykład 1.
(Dylemat wieźnia)
˛
Dwóch przestepców,
˛
którzy zorganizowali napad na bank,
zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa.
Jeżeli obaj bed
˛ a˛ zeznawać prawde,
˛ zostana˛ obaj skazani
na 5 lat. Jeżeli obaj bed
˛ a˛ w zeznaniach kłamać, to sad
˛
bedzie
˛
im w stanie udowodnić jedynie pomoc w organizacji
napadu i wymierzy im kare˛ 1 roku wiezienia.
˛
Jeżeli tylko
jeden z nich zezna prawdziwie, to jako świadek koronny nie
zostanie skazany, a jego kolega dostanie 10 lat.
P
P
-5,-5
F
0,-10
F
-10,0
-1,-1
Gry w postaci normalnej – p. 2/??
Rozgrzewka
Przykład 2.
(Gra w 2/3 średniej)
{0, 1, 2, . . . , 100}
Cel: jak najbliżej 2/3 średniej.
Gry w postaci normalnej – p. 3/??
Rozgrzewka
Przykład 3.
X
A
1,0
B
0,2
C
3,1
Y
2,3
1,2
0,1
Z 1,-4 0,-2 -1,4
Gry w postaci normalnej – p. 4/??
Rozgrzewka
Przykład 4.
P
P
-5,-2
N
0,0
N -10,0 2,-2
Gry w postaci normalnej – p. 5/??
Rozgrzewka
Przykład 5.
Papier-nożyczki-kamień
P
P
0,0
N 1,-1
N
K
-1,1 1,-1
0,0
-1,1
K -1,1 1,-1
0,0
Gry w postaci normalnej – p. 6/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Każdy gracz i ma skończony zbiór Si strategii czystych
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Każdy gracz i ma skończony zbiór Si strategii czystych
Każdy gracz i posiada n-wymiarowa˛ macierz wypłat Wi
Wi : S1 × . . . × Sn → R
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Każdy gracz i ma skończony zbiór Si strategii czystych
Każdy gracz i posiada n-wymiarowa˛ macierz wypłat Wi
Wi : S1 × . . . × Sn → R
założenia:
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Każdy gracz i ma skończony zbiór Si strategii czystych
Każdy gracz i posiada n-wymiarowa˛ macierz wypłat Wi
Wi : S1 × . . . × Sn → R
założenia:
zbiory strategii, macierze wypłat sa˛ wiedza˛
powszechna˛
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Każdy gracz i ma skończony zbiór Si strategii czystych
Każdy gracz i posiada n-wymiarowa˛ macierz wypłat Wi
Wi : S1 × . . . × Sn → R
założenia:
zbiory strategii, macierze wypłat sa˛ wiedza˛
powszechna˛
cel: wygrać jak najwiecej
˛
(każdy myśli tylko o sobie)
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Każdy gracz i ma skończony zbiór Si strategii czystych
Każdy gracz i posiada n-wymiarowa˛ macierz wypłat Wi
Wi : S1 × . . . × Sn → R
założenia:
zbiory strategii, macierze wypłat sa˛ wiedza˛
powszechna˛
cel: wygrać jak najwiecej
˛
(każdy myśli tylko o sobie)
brak kooperacji (do odwołania)
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Postać normalna (strategiczna) gry
Skończony zbiór graczy {1, . . . , n}
(n > 1)
Każdy gracz i ma skończony zbiór Si strategii czystych
Każdy gracz i posiada n-wymiarowa˛ macierz wypłat Wi
Wi : S1 × . . . × Sn → R
założenia:
zbiory strategii, macierze wypłat sa˛ wiedza˛
powszechna˛
cel: wygrać jak najwiecej
˛
(każdy myśli tylko o sobie)
brak kooperacji (do odwołania)
Gra dwumacierzowa – gra dwuosobowa w postaci
normalnej
Gry w postaci normalnej – p. 7/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Strategia mieszana σi gracza i – dowolny rozkład
prawdopodobieństwa na zbiorze Si
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Strategia mieszana σi gracza i – dowolny rozkład
prawdopodobieństwa na zbiorze Si
σi =
t
P
j=1
pj aj ,
pj > 0 (j = 1, . . . , t),
Pt
j=1 pj
=1
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Strategia mieszana σi gracza i – dowolny rozkład
prawdopodobieństwa na zbiorze Si
σi =
t
P
pj aj ,
j=1
pj > 0 (j = 1, . . . , t),
Pt
j=1 pj
=1
σi = (p1 , . . . , pt )
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Strategia mieszana σi gracza i – dowolny rozkład
prawdopodobieństwa na zbiorze Si
σi =
t
P
pj aj ,
j=1
pj > 0 (j = 1, . . . , t),
Pt
j=1 pj
=1
σi = (p1 , . . . , pt )
σi (aj ) = pj
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Strategia mieszana σi gracza i – dowolny rozkład
prawdopodobieństwa na zbiorze Si
σi =
t
P
pj aj ,
pj > 0 (j = 1, . . . , t),
j=1
Pt
j=1 pj
=1
σi = (p1 , . . . , pt )
σi (aj ) = pj
supp (σi ) = {s ∈ Si : σi (s) > 0}
nośnik strategii σi
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Strategia mieszana σi gracza i – dowolny rozkład
prawdopodobieństwa na zbiorze Si
σi =
t
P
pj aj ,
pj > 0 (j = 1, . . . , t),
j=1
Pt
j=1 pj
=1
σi = (p1 , . . . , pt )
σi (aj ) = pj
supp (σi ) = {s ∈ Si : σi (s) > 0}
nośnik strategii σi
Mi – zbiór wszystkich strategii mieszanych gracza i
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Strategie mieszane
Si = {a1 , a2 , . . . , at }
Strategia mieszana σi gracza i – dowolny rozkład
prawdopodobieństwa na zbiorze Si
σi =
t
P
pj aj ,
pj > 0 (j = 1, . . . , t),
j=1
Pt
j=1 pj
=1
σi = (p1 , . . . , pt )
σi (aj ) = pj
supp (σi ) = {s ∈ Si : σi (s) > 0}
nośnik strategii σi
Mi – zbiór wszystkich strategii mieszanych gracza i
Si ⊆ Mi
Gry w postaci normalnej – p. 8/??
Mieszanie strategii mieszanych
Gry w postaci normalnej – p. 9/??
Mieszanie strategii mieszanych
τ 1 , . . . , τ t ∈ Mi ,
p1 , . . . , pt > 0,
t
P
pj = 1
j=1
Gry w postaci normalnej – p. 9/??
Mieszanie strategii mieszanych
τ 1 , . . . , τ t ∈ Mi ,
p1 , . . . , pt > 0,
t
P
pj = 1
j=1
t
X
p j τ j ∈ Mi
j=1
Gry w postaci normalnej – p. 9/??
Mieszanie strategii mieszanych
τ 1 , . . . , τ t ∈ Mi ,
p1 , . . . , pt > 0,
t
P
pj = 1
j=1
t
X
p j τ j ∈ Mi
j=1
kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii
Gry w postaci normalnej – p. 9/??
Mieszanie strategii mieszanych
τ 1 , . . . , τ t ∈ Mi ,
p1 , . . . , pt > 0,
t
P
pj = 1
j=1
t
X
p j τ j ∈ Mi
j=1
kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii
powłoka wypukła zbioru A = {a1 , . . . , at }:
t
Pt
P
conv A = { j=1 pj aj : p1 , . . . , pt > 0,
pj = 1}
j=1
Gry w postaci normalnej – p. 9/??
Mieszanie strategii mieszanych
τ 1 , . . . , τ t ∈ Mi ,
p1 , . . . , pt > 0,
t
P
pj = 1
j=1
t
X
p j τ j ∈ Mi
j=1
kombinacja wypukła (liniowa kombinacja wypukła) strategii
powłoka wypukła zbioru A = {a1 , . . . , at }:
t
Pt
P
conv A = { j=1 pj aj : p1 , . . . , pt > 0,
pj = 1}
j=1
conv Si = Mi
Gry w postaci normalnej – p. 9/??
Układy strategii
n graczy
Gry w postaci normalnej – p. 10/??
Układy strategii
n graczy
σ̄ = (σ1 , . . . , σn )
(σi ∈ Mi )
układ strategii
Gry w postaci normalnej – p. 10/??
Układy strategii
n graczy
σ̄ = (σ1 , . . . , σn ) (σi ∈ Mi )
s̄ = (s1 , . . . , sn ) (si ∈ Si )
układ strategii
Gry w postaci normalnej – p. 10/??
Układy strategii
n graczy
σ̄ = (σ1 , . . . , σn ) (σi ∈ Mi )
s̄ = (s1 , . . . , sn ) (si ∈ Si )
σ̄ ∈
n
Q
i=1
Mi ,
s̄ ∈
n
Q
układ strategii
Si
i=1
Gry w postaci normalnej – p. 10/??
Układy strategii
n graczy
σ̄ = (σ1 , . . . , σn ) (σi ∈ Mi )
s̄ = (s1 , . . . , sn ) (si ∈ Si )
σ̄ ∈
n
Q
i=1
Mi ,
s̄ ∈
n
Q
układ strategii
Si
i=1
σ̄−i = (σ1 , . . . , σi−1 , σi+1 , . . . , σn )
przeciwników i
układ strategii
Gry w postaci normalnej – p. 10/??
Układy strategii
n graczy
σ̄ = (σ1 , . . . , σn ) (σi ∈ Mi )
s̄ = (s1 , . . . , sn ) (si ∈ Si )
σ̄ ∈
n
Q
Mi ,
i=1
s̄ ∈
n
Q
układ strategii
Si
i=1
σ̄−i = (σ1 , . . . , σi−1 , σi+1 , . . . , σn )
przeciwników i
Q
M−i =
Mj
układ strategii
j6=i
Gry w postaci normalnej – p. 10/??
Układy strategii
n graczy
σ̄ = (σ1 , . . . , σn ) (σi ∈ Mi )
s̄ = (s1 , . . . , sn ) (si ∈ Si )
σ̄ ∈
n
Q
Mi ,
i=1
s̄ ∈
n
Q
układ strategii
Si
i=1
σ̄−i = (σ1 , . . . , σi−1 , σi+1 , . . . , σn )
przeciwników i
Q
M−i =
Mj
układ strategii
j6=i
σ̄−i ∈ M−i
Gry w postaci normalnej – p. 10/??
Wypłaty
wypłata wi gracza i przy danym układzie strategii:
Gry w postaci normalnej – p. 11/??
Wypłaty
wypłata wi gracza i przy danym układzie strategii:
wi (s̄) = Wi (s̄)
Gry w postaci normalnej – p. 11/??
Wypłaty
wypłata wi gracza i przy danym układzie strategii:
wi (s̄) = Wi (s̄)
wi (σ1 , . . . , σn ) =
X
σ1 (s1 )·. . .·σn (sn )Wi (s1 , . . . , sn )
(s1 ,...,sn )∈S1 ×...×Sn
Gry w postaci normalnej – p. 11/??
Wypłaty
wypłata wi gracza i przy danym układzie strategii:
wi (s̄) = Wi (s̄)
wi (σ1 , . . . , σn ) =
X
σ1 (s1 )·. . .·σn (sn )Wi (s1 , . . . , sn )
(s1 ,...,sn )∈S1 ×...×Sn
Inny sposób zapisu wi (σ̄):
Gry w postaci normalnej – p. 11/??
Wypłaty
wypłata wi gracza i przy danym układzie strategii:
wi (s̄) = Wi (s̄)
wi (σ1 , . . . , σn ) =
X
σ1 (s1 )·. . .·σn (sn )Wi (s1 , . . . , sn )
(s1 ,...,sn )∈S1 ×...×Sn
Inny sposób zapisu wi (σ̄):
wi (σ̄−j ; σj ) – wypłata gracza i, gdy j stosuje σj , a
przeciwnicy gracza j stosuja˛ układ σ̄−j
Gry w postaci normalnej – p. 11/??
Wypłaty
wypłata wi gracza i przy danym układzie strategii:
wi (s̄) = Wi (s̄)
wi (σ1 , . . . , σn ) =
X
σ1 (s1 )·. . .·σn (sn )Wi (s1 , . . . , sn )
(s1 ,...,sn )∈S1 ×...×Sn
Inny sposób zapisu wi (σ̄):
wi (σ̄−j ; σj ) – wypłata gracza i, gdy j stosuje σj , a
przeciwnicy gracza j stosuja˛ układ σ̄−j
Domyślnie: gracze chca˛ zmaksymalizować zysk w sensie
średniej (wartości oczekiwanej)
Gry w postaci normalnej – p. 11/??
Podstawowa własność wypłaty
Gry w postaci normalnej – p. 12/??
Podstawowa własność wypłaty
Własność. Dla τ1 , . . . , τt ∈ Mi i dowolnej kombinacji
wypukłej p1 τ1 + . . . pn τn zachodzi
wj (σ̄−i ; p1 τ1 + . . . pn τn ) = p1 wj (σ̄−i ; τ1 ) + . . . + pn wj (σ̄−i ; τn ).
Gry w postaci normalnej – p. 12/??