zadania - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

1. Współczynnik dwumianowy
Z. 1. Wskazać największy wyraz w n-tym wierszu trójkąta Pascala i odpowiedź uzasadnić.
Z.
2. Posługując
pokazać,
że
się interpretacją
kombinatoryczną
n n
n n−1
n n−k
k n
+
+ ... +
=2
.
0
k
1
k−1
k
0
k
Z. 3. Posługując się interpretacją kombinatoryczną pokazać, że
2 2
2 n
n
n
2n
+
+ ... +
=
.
0
1
n
n
n X
n
Z. 4. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
(m − 1)n−k = mk .
k
k=0
n
X
n
k
= n2n−1 .
k
Z. 5. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
k=1
n
X
Z. 6. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
k=1
Z. 7. Udowodnij, że
fn+1 =
n X
k=0
k2
2
n
2n − 2
= n2
.
k
n−1
n−k
, gdzie fn jest n-tą liczbą Fibonacci’ego
k
l X
n
m
n+m
=
.
Z. 8. Podać kombinatoryczne uzasadnienie wzoru
k
l−k
l
k=0
n n−1
n
dla n ­ k > 0.
=
Z. 9. Udowodnić regułę pochłaniania:
k k−1
k
n
m
n
n−k
Z. 10. Udowodnić uogólnioną regułę pochłaniania:
=
dla n, m, k ∈ N.
m
k
k
m−k
Z. 11. Udowodnić następującą regułę sumowania równoległego:
k X
n+k+1
n+i
=
. Podać jej interpretację w trójkącie Pascala.
Dla n, k ∈ N mamy:
k
i
i=0
Z. 12. Podać interpretację kombinatoryczną tożsamości n0 + n1 + . . . + nn = 2n .
Z. 13. Podać interpretację kombinatoryczną tożsamości n0 − n1 + . . . + (−1)n nn = 0.
Z. 14. (∗) Rozszerzamy
definicję współczynnika dwumianowego na górny indeks rzeczywisty w nastę x
x(x − 1)(x − 2) . . . (x − k + 1)
pujący sposób:
=
, gdy x ∈ R, k ∈ N. Udowodnić, że
k
k!
−4
n+3
a)
= (−1)n
,
n n
m −n − 1
n −m − 1
b) (−1)
= (−1)
,
n
1 m n −2
1
2n
c)
= −
.
n
4
n
1