Operacje histogramowe, macierz sąsiedztwa, transformacje punktowe

Histogram, macierz sasiedztwa
˛
i punktowe transformacje obrazów
Marek Wnuk
< [email protected] >
KCiR (W4–K7) PWr
MW: CPOS3 – p. 1
Histogram
H(k) = card{(n, m) : f (n, m) = k} dla k = 0..K − 1
K−1
∑ H(k) = W H
k=0
Hn (k) =
1
H(k)
WH
Ogólnie:
f
:
X ×Y → Z
f −1
:
Z → 2X×Y
f −1 (z) = {(x, y) : f (x, y) = z}
H(z) =
Z
χ f −1 (z) dxdy
MW: CPOS3 – p. 2
Transformacje punktowe obrazów
Normalizacja dziedziny i przeciwdziedziny:
0≤z≤1
v = T (z)
0 ≤ T (z) ≤ 1
z = T −1 (v)
Hn (z) – histogram obrazu oryginalnego
Gn (v) – histogram obrazu po transformacji T
dz
Gn (v) = Hn (z)
dv z=T −1 (v)
Przykład T (negatyw):
T (z) = 1 − z
MW: CPOS3 – p. 3
1
Y
Gn
v
Rozciaganie
˛
histogramu (stretching)
z
l
u
1
Hn
z
1
T (z) =


 0
z−l
u−l

 1
gdy z ≤ l
gdy l ≤ z ≤ u
gdy z ≥ u
MW: CPOS3 – p. 4
1
Y
Gn
v
Normalizacja histogramu
z
l
u
1
Hn
z
1
[l, u] :
 R
l

 0 Hn (z)dz = εl

 R 1 H (z)dz = ε
u
u n
MW: CPOS3 – p. 5
1
Y
Gn
dv
v
Wyrównywanie (equalization)
z
1
1
Hn
z
dz
v = T (z) =
Rz
0
1
Hn (w)dw dla 0 ≤ z ≤ 1
dv = Hn (z)dz
Gn (v)dv = [Hn (z)dz]z=T −1 (v) = dv
MW: CPOS3 – p. 6
Wyrównywanie - przypadek dyskretny
Hn (qk ) =
nk
n,
0 ≤ zk ≤ 1, k = 0..K − 1
K – liczba poziomów kwantyzacji,
nk – liczba punktów o jasności qk ,
n – ilość wszystkich punktów obrazu.
Dystrybuanta rozkładu dyskretnego Hn (qk ):
k
nj
vk = T (qk ) = ∑ =
j=0 n
k
∑ Hn(q j )
j=0
dla
0 ≤ qk ≤ 1, k = 0..K − 1
MW: CPOS3 – p. 7
Wyniki operacji histogramowych
oryginał
rozciagni
˛ ecie
˛
wyrównanie
MW: CPOS3 – p. 8
Histogram dwuwymiarowy
f
g
:
:
X ×Y → Z
X ×Y → V
f −1
:
Z → 2X×Y
g−1
:
V → 2X×Y
f −1 (z) = {(x, y) : f (x, y) = z}
g−1 (v) = {(x, y) : g(x, y) = v}
H f g (z, v) =
ZZ
(χ f −1 (z) ∩ χg−1 (v) )dxdy
MW: CPOS3 – p. 9
Macierz sasiedztwa
˛
Cr (z, v) = card{(x, y) : ∃(ξ, ψ) ((x, y)r(ξ, ψ)
∧ f (x, y) = z
∧ f (ξ, ψ) = v}
r ⊂ (X ×Y ) × (X ×Y )
Przykład dla sasiedztwa
˛
prawostronnego:
r = {((x, y), (x + 1, y))}
Cr (z, v) = H f g (z, v)
g(x, y) = f (x + 1, y)
MW: CPOS3 – p. 10
Przykład numeryczny
obraz 1
z
H(z)
0
1
2
3
0
0
0
0
0
7
0
3
3
0
0
0
1
1
1
1
5
1
0
2
2
0
0
1
2
2
2
3
2
0
0
1
1
0
1
2
3
3
1
3
0
0
0
0
z
H(z)
0
1
2
3
obraz 2
1
3
2
0
0
7
0
1
2
1
0
2
0
1
0
1
5
1
2
1
0
1
1
0
2
0
2
3
2
3
0
0
0
0
0
1
1
3
1
3
0
0
1
0
Duże wyrazy Cr skupione w pobliżu przekatnej
˛
(obraz 1):
sasiaduj
˛
ace
˛ punkty maja˛ podobne jasności, co oznacza
wolnozmienność jasności i mała˛ ilość drobnych szczegółów.
Oddalenie dużych wyrazów Cr od przekatnej
˛
(obraz 2): duża ilość
gwałtownych zmian jasności (krawedzi,
˛
drobnych szczegółów).
MW: CPOS3 – p. 11
Ilustracja własności macierzy sasiedztwa
˛
obraz ostry
obraz nieostry
MW: CPOS3 – p. 12