Listy zadań 1.

Procesy stochastyczne 2.
Listy zadań 1-3.
Autor: dr hab.A. Jurlewicz
WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok,
rok akad. 2011/12
1
Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy
o przyrostach niezależnych, stacjonarnych.
Proces {Xt , t ∈ T } ma własność braku pamięci, jeżeli dla dowolnego n naturalnego, dla
dowolnych t1 , . . . , tn , s ∈ T , t1 ¬ . . . ¬ tn ¬ s, B ∈ BR mamy
P (Xs ∈ B| Xt1 , . . . Xtn ) = P (Xs ∈ B| Xtn ) p.n.
Proces {Xt , t ∈ T } ma przyrosty niezależne, jeżeli dla dowolnego n naturalnego, dla dowolnych t1 , . . . , tn ∈ T , t1 ¬ . . . ¬ tn , przyrosty Xt2−Xt1 , . . . , Xtn−Xtn−1 tworzą układ niezależnych
zmiennych losowych.
Proces {Xt , t ∈ T } ma przyrosty stacjonarne (jednorodne), jeżeli dla dowolnych s, t ∈ T ,
s < t, rozkład przyrostu Xt − Xs zależy tylko od różnicy t − s (jest taki sam, jak rozkład
Xt−s −X0 , o ile 0, t−s ∈ T ).
Proces Poissona {Nt , t ­ 0} o intensywności λ > 0 to proces o przyrostach niezależnych,
stacjonarnych, taki że N0 = 0 p.n. oraz Nt dla t > 0 ma rozkład Poissona z parametrem λt.
1. Niech {Nt , t ­ 0} będzie procesem Poissona o intensywności λ. Określamy Xt = (−1)Nt .
(a) Czy proces {Xt , t ­ 0} ma przyrosty niezależne? stacjonarne?
(b) Czy ma on własność braku pamięci?
2. Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie i niech {Lt , t ­ 0} będzie niemalejącym procesem o przyrostach niezależnych, stacjonarnych, niezależnym od ciągu {Xi }. Ponadto, zakładamy, że Lt
przyjmuje wartości naturalne, a L0 = 0 p.n. Definiujemy dla t ­ 0
Zt =
Lt
X
Xi
i=1
(przy czym 0n=1 Xn = 0 jako sumowanie po zbiorze pustym).
(a) Sprawdź, że proces {Zt , t ­ 0} ma stacjonarne i niezależne przyrosty.
P
(b) Zauważmy, że jako proces liczący {Lt } można przyjąć proces Poissona o intensywności λ. Wówczas {Zt } nazywany jest złożonym procesem Poissona.
Pokaż, że gdy Xi ma rozkład zero–jedynkowy, P (Xi = 1) = 1−P (Xi = 0) = p,
0 < p < 1, to złożony proces Poissona {Zt } jest procesem Poissona o intensywności λp.
3. Dla ciągu Y1 , Y2 , . . . dodatnich zmiennych losowych, takich że
∞
P
n=1
Yn = ∞ z prawd. 1,
niech dla t ­ 0 Mt = max(n : Sn ¬ t), gdzie S0 = 0, Sn = Y1 +. . .+Yn dla n ­ 1. Jeżeli
tak utworzony proces {Mt , t ­ 0} ma przyrosty niezależne o rozkładzie Poissona, to
nazywamy go uogólnionym procesem Poissona.
na
(a) Zakładając, że f : [0, ∞) → [0, ∞) jest funkcją rosnącą oraz że {Nt , t ­ 0} jest
zwykłym procesem Poissona, udowodnij, że {Mt , t ­ 0} := {Nf (t) , t ­ 0} jest
uogólnionym procesem Poissona.
(b) Pokaż, że każdy uogólniony proces Poissona powstaje w sposób opisany w punkcie (a).
2
Lista 2: Stochastyczne równania różniczkowe.
Równania liniowe.
Lemat Itô: Jeśli proces stochastyczy {Xt } spełnia stochastyczne równanie różniczkowe
(SRR)
dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt
oraz rzeczywista funkcja f (t, x) jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe ft , fx i fxx ,
wówczas proces {Yt }, gdzie Yt = f (t, Xt ), spełnia następujące SRR
1
dYt = ft + afx + b2 fxx
2
(t,Xt )
dt + (bfx )
dWt .
(t,Xt )
Wielowymiarowa formuła Itô: Załóżmy, że każdy z d procesów stochastycznych {Xti }
(i = 1, 2, . . . , d) spełnia następujące SRR
dXti = ai (t, Xti )dt + bi (t, Xti )dWt
oraz że rzeczywista funkcja f (t, x1 , x2 , . . . , xd ) jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe ft , fxi , fxi xk dla dowolnych i, k = 1, 2, . . . , d. Wówczas SRR dla procesu {Yt }, gdzie
Yt = f (t, Xt1 , . . . , Xtd ), ma postać
d X
d
1X
bi bk fxi xk
ai f x i +
dYt = ft +
2 k=1 i=1
i=1
d
X
!
dt +
(t,Xt1 ,...,Xtd )
d
X
i=1
!
bi fxi dWt .
(t,Xt1 ,...,Xtd )
1. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {(Wt )n }.
2. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {exp(Wt )}. Jakie SRR spełnia ten proces?
3. Niech Xt = Xt0 + tt0 a(s)ds + tt0 b(s)dWs . Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {Yt }, gdzie Yt = exp(Xt ). Jakie SRR spełnia proces {Yt }, jeśli założymy
2a(t) = −b2 (t)? Jakie jest rozwiązanie SRR
R
R
dYt = Yt dWt ,
Y0 = 1 ?
4. Znajdź d(cos Wt ) i d(sin Wt ). Jaki układ SRR i jakie wektorowe SRR spełnia proces
{Yt }, gdzie Yt = (cos Wt , sin Wt )T , zwany procesem Wienera na okręgu jednostkowym?
5. Jakie wektorowe SRR spełnia proces {Yt }, gdzie Yt = (exp(Wt ), Wt exp(Wt ))T ?
3
6. Niech dXt = m(t, Xt )dt+σ(t, Xt )dWt . Podstawiając Zt = f (t, Xt ) możemy zamienić
postać równania na dZt = m1 (t, Zt )dt + σ1 (t, Zt )dWt (zakładamy, że f jest ściśle
monotoniczna względem x, ciągła, o ciągłych pochodnych cząstkowych fx , fxx oraz
ft ).
(a) Znajdź postać m1 , σ1 .
(b) Dla jakiej funkcji f równanie redukuje się do:
i. σ1 (t, x) ≡ 1;
ii. m1 (t, x) ≡ 0.
7. Przypuśćmy, że {Xt } spełnia równanie
Z t
Xt = 1 +
0
Xs σ(s)dWs .
Rozpatrując f (Xt ) = ln Xt i korzystając z reguły Itô wykaż, że Xt dany jest wzorem
Z t
Xt = exp
0
1Z t 2
σ (s)ds .
σ(s)dWs −
2 0
Czy umiesz uzasadnić na podstawie zadania 6 pomysł z f = ln?
8. Niech {Xt } spełnia SRR
dXt = Xt (m(t)dt + σ(t)dWt ), t > 0,
gdzie m i σ są nielosowe. Pokaż, że Xt ma postać
Z t
Xt = X0 exp
0
σ(s)dWs +
Z t
g(s)ds ,
0
i znajdź postać funkcji g.
9. Pokaż, że ogólną postacią rozwiązania liniowego SRR (w ścisłym sensie)
dXt = (a1 (t)Xt + a2 (t))dt + b(t)dWt
jest

Xt = φ(t) Xt0 +
Zt
t0
dla φ(t) = exp
Rt
!
a1 (s)ds .
t0
Wsk. Wyznacz d(Xt /φ(t)).
4
a2 (s)
ds +
φ(s)
Zt
t0

b(s)
dWs 
φ(s)
10. Rozwiąż równanie Langevina z szumem addytywnym
dXt = −aXt dt + bdWt , t0 = 0.
11. Rozwiąż liniowe SRR z szumem addytywnym
2
dXt =
Xt + b(1 + t)2 dt + b(1 + t)2 dWt
1+t
z warunkiem początkowym X0 = 1.
12. Rozwiąż liniowe SRR z szumem addytywnym
dXt =
b − Xt
dt + dWt , 0 ¬ t < T,
T −t
z warunkiem początkowym X0 = 1.
13. Rozwiąż równanie Langevina z szumem multiplikatywnym
dXt = −aXt dt + bXt dWt .
14. Znajdź rozwiązanie ogólnego liniowego SRR
dXt = (a1 (t)Xt + a2 (t))dt + (b1 (t)Xt + b2 (t))dWt .
Wsk. Wyznacz d(Xt /Yt ), gdzie dYt = Yt (a1 (t)dt + b1 (t)dWt ), Yt0 = 1.
*Uzasadnij jednoznaczność rozwiązania.
15. Rozwiąż liniowe SRR z szumem multiplikatywnym
dXt = (aXt + c)dt + (bXt + d)dWt .
K.Sobczyk, ”Stochastic Differential Equations With Applications to Physics and Engineering”, (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991)
P.E.Kloeden, E.Platen “Numerical Solution of Stochastic Differential Equations”, (Springer, Berlin, 1992).
5
Lista 3: Stochastyczne równania różniczkowe
Stratonowicza.
Związek między całką Stratonowicza
RT
h(Wt ) ◦ dWt i całką Itô
0
RT
h(Wt )dWt
0
dla funkcji h klasy C 1 :
ZT
h(Wt ) ◦ dWt =
0
ZT
0
T
1Z 0
h (Wt )dt.
h(Wt )dWt +
2
0
Rozwiązania SRR Stratonowicza
dXt = aS (t, Xt )dt + b(t, Xt ) ◦ dWt
spełniają SRR Itô (i na odwrót)
dXt = aI (t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt
1
∂b
z aI (t, x) = aS (t, x) + b(t, x) (t, x).
2
∂x
1. Pokaż, że
RT
h(Wt ) ◦ dWt = H(WT ) − H(W0 ), gdzie H 0 (x) = h(x).
0
Wsk. Zastosuj regułę Itô do Yt = H(Wt ).
2. Pokaż, że równanie Stratonowicza równoważne równaniu Langevina z szumem addytywnym (z zadania 10 z listy 2) ma identyczną postać.
3. Pokaż, że dXt = 2Xt ◦ dWt oraz dXt = 2Xt dt + 2Xt dWt mają to samo rozwiązanie.
Znajdź to rozwiązanie.
4. Pokaż, że SRR Itô postaci
1
dXt = b(Xt )b0 (Xt )dt + b(Xt )dWt
2
dla dowolnej różniczkowalnej funkcji b jest równoważne SRR Stratonowicza
dXt = b(Xt ) ◦ dWt .
Znajdź rozwiązanie tego równania.
5. Rozwiąż SRR Stratonowicza
dYt = exp(−Yt ) ◦ dWt , Y0 = 0,
a następnie określ SRR Itô, jakie spełnia to rozwiązanie.
6
6. Rozwiąż następujące SRR
1−2/a
(a) dXt = 12 a(a − 1)Xt
(b) dXt =
1
(ln a)2 Xt dt
2
1−1/a
dt + aXt
dWt , a 6= 0;
+ ln aXt dWt , a > 0, a 6= 1;
q
(c) dXt = − 12 a2 Xt dt + a 1 − Xt2 dWt , a 6= 0;
(d) dXt = a2 Xt (1 + Xt2 )dt + a(1 + Xt2 )dWt , a 6= 0;
(e) dXt = 21 a2 tgXt sec2 Xt dt + a secXt dWt , a 6= 0 (sec(x) = 1/ cos(x));
(f) dXt = −a2 sin Xt cos3 Xt dt + a cos2 Xt dWt , a 6= 0;
√
(g) dXt = 1dt + 2 Xt dWt ;
√
(h) dXt = −Xt (2 ln Xt + 1)dt − 2Xt − ln Xt dWt ;
(i) dXt = 21 a2 mXt2m−1 dt + aXtm dWt , m 6= 1, a 6= 0;
1/3
2/3
(j) dXt = 31 Xt dt + Xt dWt .
K.Sobczyk, ”Stochastic Differential Equations With Applications to Physics and Engineering”, (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991)
P.E.Kloeden, E.Platen “Numerical Solution of Stochastic Differential Equations”, (Springer, Berlin, 1992).
7