Zadanie 1. Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy
Transkrypt
Zadanie 1. Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 1. Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy klocek odpowiada nieuporządkowanej parze liczb (i, j ), i, j = 0,1,2, K ,6 . Mówimy, że klocek B(k,l) możemy dołożyć do klocka A(i,j), jeżeli k=i lub k=j lub l=i lub l=j. Dwa klocki pasujące układamy tak, aby jednakowe liczby były obok siebie, na przykład: A(1,2)B(2,0). Następny klocek możemy dołożyć do otrzymanego ciągu, jeżeli jest na nim liczba równa jednej ze skrajnych liczb otrzymanego ciągu (w przykładzie liczba 1 lub 0). Losujemy kolejno trzy klocki K, L, M bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że klocek M możemy dołożyć do ciągu utworzonego z klocków K i L, jeżeli wiadomo, że klocki K i L pasują do siebie. (A) 41 91 (B) 1 2 (C) 6 13 (D) 11 26 (E) żadna z powyższych odpowiedzi. 1 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 2. Niech Z 1 , Z 2 , K , Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto o gęstości λθ θ dla x > 0 p λ ,θ ( x) = ( x + λ ) θ +1 0 dla x ≤ 0, gdzie θ > 1, λ > 0 są ustalonymi liczbami. Wyznaczyć E ( Z 1 + Z 2 + K + Z n | min( Z 1 , Z 2 , K , Z n ) = t ) , gdzie t jest ustaloną liczbą większą od 0. (A) nt + λ +t θ −1 (B) nt + (n − 1)(λ + t ) n(θ − 1) (C) nt + (n − 1) (D) λ +t n t + θ −1 (E) nt + (n − 1) λ +t θ −1 λ θ −1 . 2 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 3. Zmienna losowa ( X , Y , Z ) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (0,0,0) i macierzą kowariancji 4 1,5 1 1,5 1 0,5 . 1 0,5 1 Obliczyć Var (( X + Y ) Z ) . (A) 12,5 (B) 9,5 (C) 11 (D) 10,25 (E) 8,75 3 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 4. Niech X = ( X 1 , X 2 , K , X k ) będzie zmienną losową o rozkładzie wielomianowym Mult (n, p1 , p 2 , K , p k ) , gdzie wektor p = ( p1 , p 2 , K , p k ) ( p i ≥ 0 dla i = 1,2, K , k oraz k Σp i =1 i = 1 ) jest wektorem nieznanych parametrów. Rozważamy problem estymacji 1 k ( p i − pˆ i ) 2 . Σ k i =1 Wśród estymatorów wektora p postaci pˆ = (aX 1 + b, aX 2 + b, K , aX k + b) (gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi) o ryzyku (to znaczy EL( p, pˆ ) ) stałym, niezależnym od p, najmniejsze ryzyko ma estymator, dla którego wektora p przy kwadratowej funkcji straty L( p, pˆ ) = 1 a= (B) a= (C) a= (D) a= (E) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna n− n 1 n− n 1 n+ n 1 n+ n , b= −1 (A) , b= , b= , b= k ( n − 1) −1 2( n − 1) 1 2( n + 1) 1 k ( n + 1) 4 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 5. Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości θ dla x > 1 f θ ( x) = x θ +1 0 dla x ≤ 1, gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Budujemy przedział ufności dla parametru θ d c postaci θˆ, θˆ na poziomie ufności 1 − α , gdzie liczby c i d są dobrane tak, aby n n d c α Pθ θ < θˆ = Pθ θ > θˆ = n n 2 i θˆ jest estymatorem największej wiarogodności parametru θ . Przy n = 20 i α = 0,05 przedział ufności ma postać: (A) (B) (C) (D) (E) [0,663θˆ, 1,394θˆ] [0,812θˆ, 1,242θˆ] [0,611θˆ, 1,484θˆ] [0,480θˆ, 1,709θˆ] [0,325θˆ, 2,048θˆ] 5 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 6. Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego N ( µ , σ 2 ) , gdzie oba parametry są nieznane. Estymując parametr µ 2 wyznaczono dwa estymatory T1 - estymator największej wiarogodności i T2 - estymator nieobciążony o minimalnej wariancji. Różnica ryzyk estymatora T1 i estymatora T2 przy kwadratowej funkcji straty jest równa (A) (B) (C) (D) (E) σ 4 (n + 1) n 2 (n − 1) σ 4 (n − 3) n 2 (n − 1) 2σ 4 n 2 (n − 1) σ4 n2 − σ4 n2 6 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 7. Obserwujemy pary ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ), K , ( X 20 , Y20 ) zmiennych losowych. Zmienne X 1 , X 2 ,K, X 20 są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (m x ,1) , a zmienne Y1 , Y2 , K , Y20 o rozkładzie normalnym N (m y , σ 2 ) , gdzie σ 2 = 4 . Wszystkie zmienne są niezależne. Rozważamy test najmocniejszy hipotezy: H0 : (m x , m y ) = (0, 0) przeciw alternatywie: H1 : (m x , m y ) = (1, 1) , na poziomie istotności α = 0,01 . Wyznaczyć prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju tego testu. (A) jest mniejsze niż 0,001 (B) 0,004 (C) 0,048 (D) 0,371 (E) 0,010 7 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 8. Niech X 1 , X 2 , K , X n , K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 1, a Y1 , Y2 , K , Yn , K niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 2. Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem 4. Wszystkie zmienne są niezależne. Niech N N ∑ X i gdy N ≥ 1 Yi gdy N ≥ 1 T = i =1 S = ∑ i =1 0 0 gdy N = 0 gdy N = 0 Obliczyć współczynnik korelacji corr(T,S) między zmiennymi T i S. (A) (B) (C) 0 1 2 3 1 2 (D) 1 4 (E) 1 2 8 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 9. Losujemy n (n ≥ 3) niezależnych realizacji jednostajnego na przedziale (0, θ ) o gęstości zmiennej losowej z rozkładu 1 dla 0 < x < θ f ( x ) = θ . 0 dla x ∉ (0, θ ) Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący {x1 , x 2 , K , x n } tworzymy przedział (2 x1 ,2 x n −1 ) . Dobrać najmniejsze n, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzony przedział pokrywa wartość parametru θ jest większe niż 0,9. (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 9 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 10. Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku w łańcuchu Markowa o dwóch stanach {1, 2} jest postaci 1 3 4 4 1 1 2 2 Niech X n oznacza stan łańcucha w momencie n. Obliczyć lim E ( X n X n +1 ) . n → +∞ (A) 5 2 (B) 13 5 (C) 19 8 (D) 2 (E) granica zależy od rozkładu początkowego na przestrzeni stanów. 10 Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r. ___________________________________________________________________________ Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Prawdopodobieństwo i statystyka Arkusz odpowiedzi* Imię i nazwisko : ..............................KLUCZ ODPOWIEDZI................................... Pesel ........................................... Zadanie nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * ♦ Odpowiedź D C D D C B B E B A Punktacja♦ Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11