Zadanie 1. Wykonujemy rzuty symetryczną kością do gry do chwili

Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Wykonujemy rzuty symetryczną kością do gry do chwili uzyskania drugiej „szóstki”.
Niech Y oznacza zmienną losową równą liczbie rzutów, w których uzyskaliśmy inne
wyniki niż „szóstka”, a X zmienną losową równą liczbie rzutów, w których
uzyskaliśmy „jedynkę”. Oblicz E (Y − X | X = 4) .
(A)
12
(B)
14
(C)
16
(D)
18
(E)
20
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X 1 , X 2 , X 3 , X 4 będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym X 1 ma
rozkład Pareto(1,1) a X 2 , X 3 , X 4 mają jednakowy rozkład Pareto (1,2). Oblicz
P (min ( X 2 , X 3 , X 4 ) < X 1 < max( X 2 , X 3 , X 4 )) .
Rozkład Pareto (λ ,θ ) jest rozkładem o gęstości
 λθ θ

f ( x) =  (λ + x)θ +1

0
(A)
2
5
(B)
1
3
(C)
1
2
(D)
2
3
(E)
3
5
2
gdy x > 0
gdy x ≤ 0.
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech ( X , Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
4

f ( x, y ) = π
 0
Niech Z =
gdy x > 0 i y > 0 i x 2 + y 2 < 1
w przeciwnym przypadku.
Y
i V = X 2 + Y 2 . Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, V jest taki, że
X
(A)
EZ = 1
(B)
funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej Z wyraża się wzorem
2
dla z ∈ (0,+∞)
g ( z) =
π (1 + z 2 )
(C)
mediana rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równa
(D)
zmienne Z i V są zależne
(E)
funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej V wyraża się wzorem
g V (v) = 4v 3 dla v ∈ (0,1)
3
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech X 1 , X 2 ,K , X m będą zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N ( µ1 , σ 2 )
każda i Y1 , Y2 ,K , Yn zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N ( µ 2 , σ 2 ) każda.
Wszystkie zmienne są niezależne. Hipotezę H 0 : µ1 = µ 2 przy alternatywie
H 1 : µ1 > µ 2 weryfikujemy w następujący sposób. Zliczamy liczbę S elementów w
próbce X 1 , X 2 ,K , X m większych od wszystkich elementów próbki Y1 , Y2 ,K , Yn .
Hipotezę H 0 odrzucamy, gdy S ≥ s , gdzie s jest wartością krytyczną. Przypuśćmy,
że m=7 i n=8. Podaj rozmiar testu, gdy s=2.
(A)
0,15
(B)
0,10
(C)
0,20
(D)
0,05
(E)
0,25
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
2 x gdy x ∈ (0;1)
fθ ( x) = 
 0 gdy x ∉ (0;1).
n
1
Niech Tn = ∏ X in .
i =1
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?
(A)
lim P{(Tn − e −0,5 ) n > 2e −0,5 } = 0,023
(B)
lim P{| Tn − e 0,5 | n > 2e 0,5 } = 0,023
n→∞
n→∞
(C)
lim P{Tn < e −0,5 } = 1
(D)
lim P{| Tn − e −0,5 | n > e −0,5 } = 0,046
(E)
lim P{Tn > e 0,5 } = 1
n→∞
n→∞
n→∞
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są
jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za
którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba
jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz
prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii.
(A)
8
143
(B)
96
143
(C)
16
143
(D)
48
143
(E)
24
143
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Niech X 1 , X 2 ,K , X m + n będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym zmienne
losowe X i i = 1,2,K m mają rozkład Weibulla o gęstości
 θ −θ x
e
gdy x > 0

fθ ( x) =  2 x

0
gdy x ≤ 0
a X i , i = m + 1, m + 2,K , m + n są zmiennymi losowymi o rozkładzie Weibulla o
gęstości
 θ − 2θ x
e
gdy x > 0

,
gθ ( x) =  x

0
gdy x ≤ 0
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Jeśli m = n = 5 , to błąd średniokwadratowy
estymatora największej wiarogodności wyznaczonego na podstawie próby
X 1 , X 2 ,K , X m + n jest równy
(A)
2 2
θ
3
(B)
1 2
θ
3
(C)
θ2
(D)
1 2
θ
9
(E)
1 2
θ
6
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X 1 , X 2 ,K , X n będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto (1, a1 ) a
Y1 , Y2 ,K , Ym będą zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto (1, a 2 ) , gdzie a1 , a 2 > 0 są
nieznanymi parametrami. Wszystkie zmienne są niezależne. Na poziomie ufności
a
1 − α budujemy przedział ufności [dT , cT ] dla ilorazu parametrów 1 na podstawie
a2
estymatora największej wiarogodności T tego ilorazu w ten sposób, że
a
a
α
Pa1 ,a2 (cT < 1 ) = Pa1 ,a2 (dT > 1 ) = .
2
a2
a2
Jeśli α = 0,1 i m=4 i n=5, to przedział ufności ma długość
(A)
3,02T
(B)
2,77T
(C)
6,06T
(D)
5,03T
(E)
4,42T
Uwaga: Rozkład Pareto (λ ,θ ) jest rozkładem o gęstości
 λθ θ

f ( x) =  (λ + x)θ +1

0
gdy x > 0
gdy x ≤ 0
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zmienne losowe X 1 , X 2 , K, X n mają jednakową wartość oczekiwaną µ , jednakową
wariancję σ 2 i współczynnik korelacji Corr ( X i , X j ) = ρ dla i ≠ j . Zmienne losowe
Z 1 , Z 2 ,K , Z n są nawzajem niezależne oraz niezależne od zmiennych losowych
1
X 1 , X 2 , K, X n i mają rozkłady postaci P ( Z i = 0) = P( Z i = 1) = . Oblicz wariancję
2
n
zmiennej losowej
∑Z X
i =1
(A)
n
(B)
n
(C)
n
(D)
n
(E)
n
σ2
2
µ2
4
+
i
i
.
n(n − 1)
( ρσ 2 − µ 2 )
4
+n
σ2 
n −1 
ρ
1 +
4
2 

µ 2 + 2σ 2
4
µ2
4
σ2
2
+n
+
σ2 
n −1 
ρ
1 +
2
2 

n(n − 1)
( ρσ 2 + µ 2 )
4
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech N , X 1 , X 2 ,K , Y1 , Y2, ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienne
X i , i = 1,2,K mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 1, zmienne losowe
Yi , i = 1,2,K mają rozkłady wykładnicze o wartości oczekiwanej 2. Warunkowy
rozkład zmiennej losowej N przy danym Λ = λ jest rozkładem Poissona o wartości
oczekiwanej λ . Rozkład brzegowy zmiennej Λ jest rozkładem gamma o gęstości
16λe −4λ gdy λ > 0
.
f (λ ) = 
≤
0
gdy
λ
0

Niech
N
 Xi
S = ∑
i =1
 0
gdy N > 0
i
gdy N = 0
Oblicz współczynnik korelacji Corr ( S , T ) .
(A)
0
(B)
2
15
(C)
1
2
(D)
4
9
(E)
5
9
10
N
 Yi
T = ∑
i =1
 0
gdy N > 0
gdy N = 0
Prawdopodobieństwo i statystyka
17.01.2005 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ........................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
A
A
B
C
D
C
E
A
D
E
Punktacja♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11