Algebra - WMS AGH

ECTS – Arkusz przedmiotu
Nazwa
przedmiotu
Kod
ALGEBRA
Prowadzący przedmiot Prof. dr hab. Adam Paweł Wojda
Osoby prowadzące
zajęcia
Klasa przedmiotu
Rodzaj
przedmiotu
P
C
Wydział Matematyki Stosowanej
Kierunek Matematyka
Rodzaj studiów
Rodzaje zajęć *
Liczba godzin
stacjonarne
Suma
60
Stopień
studiów
pierwszy
Semestr
Wykłady Ćwiczenia Laboratoria Seminaria Projekty
30
III
ECTS
30
7
WWW
Uwagi
Cel przedmiotu - zdobyte umiejętności
Dostrzeganie struktur algebraicznych (grupa, pierścień, ciało) w zbiorach permutacji
(grupa), wielomianów (pierścień), zbiorów liczbowych (pierścienie, ciała). Wyrażanie
faktów teorii liczb w terminach algebry – arytmetyka modularna, pierścienie
euklidesowe, Gaussa, Dedekinda. Zrozumienie algebraicznych podstaw teorii
szyfrowania.
Streszczenie przedmiotu
Grupy i ich homomorfizmy, grupy permutacji i transformacji. Pierścienie, ideały i
homomorfizmy pierścieni. Pierścienie ilorazowe. Arytmetyka modularna. Ciała ułamków.
Pierścienie wielomianów. Rozszerzenie ciał. Ciało rozkładu wielomianu. Ciała
algebraicznie zamknięte.
Warunki uczestnictwa
w przedmiocie
Forma zaliczenia Zaliczenie ćwiczeń na podstawie aktywności studenta i co
przedmiotu najmniej dwóch kolokwiów. Egzamin pisemny i ustny.
Zasada wystawiania Zaliczenie (waga ½), egzamin pisemny i ustny (waga 1/2)
oceny końcowej
Program wykładów
1.Arytmetyka liczb całkowitych – twierdzenie o dzieleniu. Algorytm Euklidesa.
Pojęcie grupy.
2.Grupy c.d. Homomorfizmy grup. Rząd elementu w grupie. Funkcja Eulera. Zasada
włączania i wyłączania - Formuła sita Eratostenesa.
3.Grupy cykliczne. Grupy permutacji i transformacji. Twierdzenia Cayleya i
Lagrange'a.
4.Twierdzenia Eulera i Małe Twierdzenie Fermata. Równania modularne. Chińskie
twierdzenie o resztach.
5.Kwadratowe residua modulo. Zasady kryptografii z kluczem publicznym. Metody
Rabina i RSA
6.Grupy i metody zliczania. Grupy działające na zbiorach. Stabilizatory i orbity.
Przykłady grup izometrii pięciokąta, sześcianu etc.
7.Lemat Burnside'a. Liczba różnych naszyjników z czarnych i białych pereł. Warstwy
lewo- i prawostronne.
8.Podgrupy normalne. Grupy ilorazowe. Twierdzenie o izomorfiźmie grup.
Pierścienie. Przykłady. Podpierścienie i ideały.
9.Pierścienie wielomianów. Podzielność w pierścieniach. Pierścienie Gaussa.
Przykłady pierścieni Gaussa i przykłady pierścieni niegaussowskich – pierścienie
Dedekinda.
10.Pierścienie wielomianów nad ciałem jako przykład pierścieni głównych.
Twierdzenie o ciągu wstępującym ideałów w pierścieniu głównym. Największy
wspólny dzielnik dwóch elementów w pierścieniu – postać w pierścieniu głównym.
11.Pierścienie euklidesowe. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Ciało ułamków
pierścienia całkowitego. Twierdzenie o pierwiastkach w ciele ułamków.
12.Wielomiany
nieprzywiedlne.
Kryterium
Eisensteina
nieprzywiedlności
wielomianów nad pierścieniem Gaussa. Pierścienie ilorazowe. Homomorfizmy
pierścieni. Podstawowe twierdzenie o izomorfiźmie pierścieni.
13.Wielomiany wielu zmiennych. Wielomiany symetryczne. Wzory Viety. Twierdzenie
Wilsona.
14.Podstawowe Twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Rozszerzenia ciał –
rozszerzenia algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia skończone.
15.Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie o istnieniu ciała rozkładu (z dowodem).
Twierdzenie zasadnicze algebry (z dowodem).
Program pozostałych zajęć (ćwiczenia, laboratoria, projekty, seminaria)
Ćwiczenia: rozwiązywanie zadań i problemów teoretycznych ilustrujących tematykę
wykładów
Bibliografia
1.A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1980.
2.W.J. Gilbert i W.K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT,
Warszawa 2008.
3.N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa 2000.
4.W.K. Nicholson, Introduction to Abstract Algebra, Wiley 2007.
5.Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1975.
6.E.R. Scheinerman, Mathematics – Discrete Introduction, Brooks/Cole 2000.
* Rodzaje zajęć: ćwiczenia – ćwiczenia audytoryjne, lektoraty, zajęcia wf,
laboratoria – ćwiczenia laboratoryjne, zajęcia praktyczne, zajęcia terenowe, seminaria –
seminaria, konwersatoria, projekty – ćwiczenia projektowe, prace kontrolne i przejściowe