Algebra - Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Karta opisu przedmiotu
Egzamin
ECTS
Bez specjalności
Seminarium
Dr hab. Nadiya Gubareni
Projekt
Przedmiot dla specjalności:
Laboratorium
I stopnia
Prowadzący:
Ćwiczenia
Studia: Stacjonarne
Rok: Rok II, Semestr III
Wykład
Kierunek: Matematyka
Algebra
30
30
-
-
-
NIE
5
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Student posługuje się rachunkiem zdań i kwantyfikatorów, umie prowadzić łatwe i średnie dowody metodą indukcji zupełnej
Student zna podstawy teorii mnogości i potrafi wykonywać działania na zbiorach
Student posiada umiejętności wykonywania działań na liczbach zespolonych
Student zna podstawowy twierdzenia z algebry liniowej i geometrii I i II, analizy matematycznej IStudent zna podstawowy twierdzenia z
algebry liniowej i geometrii I i II, analizy matematycznej I
CEL PRZEDMIOTU
Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami i twierdzeniami algebry oraz z niektórymi ich zastosowaniami
Dostrzeganie przez studentów struktur algebraicznej (grupy, pierścienia, ciała) w różnych obiektach matematycznych takich jak permutacje,
izometrii, przekształcenia geometryczne
Treści programowe - Wykład
Działanie binarne i jego własności. Struktura algebraiczna. Grupy, półgrupy. Przykłady grup. Podgrupy, dzielnik normalny i warstwy.
Twierdzenie Lagrange’a
Grupy ilorazowe. Homomorfizmy, izomorfizmy i automorfizmy grup. Twierdzenie o homomorfizmie grup. Iloczyn prosty grup. Podstawowe
typy grup: grupy cykliczne, grupy proste, grupy rozwiązalne
Grupy permutacji. Grupa alternująca. Twierdzenie Cayley’a
Pierścienie. Pierścienie przemienne. Dziedziny całkowitości i ciała. Podpierścienie. Ciała liczbowe. Ciało kwaternionów. Ciała skończone
Ideały pierścieni. Pierścienie ilorazowe. Pierścienie ideałów głównych. Homomorfizmy pierścieni. Produkt prosty pierścieni. Pierścienie
Euklidesowe. Dziedziny z jednoznacznością rozkładu
Rozszerzenie ciał. Charakterystyka ciał. Konstrukcja ciał skończonych. Liczby algebraiczne. Rozszerzenie algebraiczne ciała. Domknięcie
algebraiczne ciała. Ciała algebraicznie domknięte
Pierścień wielomianów jednej zmiennej. Algorytm Euklidesa dla wielomianów. Pierwiastki wielomianów. Twierdzenie Bezout. Wielomiany
względnie pierwsze. Rozkładalność wielomianów. Zasadnicze twierdzenie algebry
Zastosowanie teorii grup do teorii liczb. Algorytm Euklidesa. Liczby pierwsze i ich własności. Funkcja Eulera. Twierdzenie Eulera. Małe
twierdzenie Fermata. Równania diofantyczne. Arytmetyka modularna. Kongruencje liniowe. Kongruencje kwadratowe. Chińskie twierdzenie o
resztach
Zaliczenie (Kolokwium z teorii w zakresie struktur algebraicznych i ich zastosowania w elementarnej teorii liczb)
Treści programowe - Ćwiczenia
Wyznaczenia struktur algebraicznych. Wyznaczenia podgrup, dzielników normalnych i warstw grupy
Grupy ilorazowe. Homomorfizmy, izomorfizmy i automorfizmy grup
Iloczyn prosty grup. Podstawowe typy grup: grupy cykliczne, grupy proste, grupy rozwiązalne
Działania na permutacjach. Wyznaczania podgrup grupy permutacji
Pierścienie. Pierścienie przemienne. Dziedziny całkowitości i ciała. Podpierścienie. Ciała liczbowe. Ciało kwaternionów. Ciała skończone
Wyznaczenie ideałów pierścieni, pierścieni ilorazowej. Rozkładalność w pierścieniach Euklidesowych
Ciała, konstrukcja ciał skończonych. Konstrukcja rozszerzeń algebraicznych ciał
Algorytm Euklidesa dla wielomianów. Pierwiastki wielomianów. Rozkładanie wielomianów
Wyznaczenie największego wspólnego dzielnika liczb całkowitych i przedstawienie jego w postaci liniowej kombinacji tych liczb. Obliczanie
funkcji Eulera. Rozwiązywanie diofantycznych równań liniowych od 2-h zmiennych
Działania na kongruencjach. Arytmetyka modularna. Rozwiązywanie kongruencji liniowych. Rozwiązywania układu kongruencji liniowych za
pomocą zastosowania chińskiego twierdzenia o resztach
Kolokwium
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
A. Białyński-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 2009
B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002
W. J. Gilbert, W. K. Nicholson, Algebra współczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008
A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, t.I, III, PWN , Warszawa 2005
C. Bagiński, Wstęp do teorii grup, Warszawa 2002
W. Narkiewicz, Teoria liczb, WN PWN, Warszawa 2003