1 KONCEPCJE NAUCZANIA MATEMATYKI REALISTYCZNE

KONCEPCJE NAUCZANIA MATEMATYKI
REALISTYCZNE NAUCZANIE MATEMATYKI
Koncepcja realistycznego nauczania matematyki pochodzi od H. Freudenthala i opiera się na
tym, że uczniowie powinni budować i rozwijać pojęcia oraz operacje matematyczne na
drodze naturalnej matematyzacji (konstrukcji matematycznego schematu) w sytuacjach
bliskich doświadczeniom ucznia. Nauczanie powinno wychodzić od sytuacji rzeczywistych
i być nastawione na matematyzację.
Zasady nauczania realistycznego (wg J. A. Komeńskiego):
• świat realny jest tworzywem, w którym matematykę należy stosować i z którego można
wyabstrahować pojęcia matematyczne, prawa, operacje i struktury;
• rozwój matematycznych pojęć przebiega od konkretu do abstrakcji; doświadczenia ucznia
przekładają się na ujęcia symboliczne w języku matematyki;
• uczeń tworzy matematykę w trakcie swojej działalności, przechodzi od metod
nieformalnych do sformalizowanych;
• uczenie się jest oparte na współpracy – uczniowie pracują w grupie, gdzie dokonują
porównań, wymiany myśli, dyskutują nad rozwiązaniem problemów;
• pojęcia, prawa i twierdzenia matematyczne są wynikiem stosowania różnych metod
rozwiązywania problemów realistycznych.
MECHANISTYCZNE NAUCZANIA MATEMATYKI
Według koncepcji mechanistycznej matematyka jest gotowym zbiorem faktów, reguł
i algorytmów, a uczenie się matematyki polega na pamięciowym ich opanowaniu, na
ćwiczeniu sprawności w rozwiązywaniu zadań, najczęściej w sposób schematyczny. Ale
nawet przy tej formie nauczania należy zadbać o to, aby uczeń wiedział i rozumiał, jakie
czynności wykonuje.
Porównanie metod mechanistycznej i realistycznej
ZAKRES
źródła wiedzy
wprowadzanie
nowego materiału
stosowanie wiedzy
w zadaniach
metody pracy
na lekcji
osiągnięcia
uczniów,
wyniki nauczania
KONCEPCJA
MECHANISTYCZNA
sytuacje teoretyczne przedstawione po
operacji matematyzacji
gotowe algorytmy, schematy, chwyty,
jednoznaczne metody, typowe
zadania, technika rachunkowa
zastosowanie opanowanych technik
rachunkowych w zadaniach
pokaz, opis, podawanie gotowych
reguł, ćwiczenia naśladowcze,
„najlepsze” sposoby rozwiązania
podane przez nauczyciela
poprawnie wykonane rachunki,
umiejętność rozwiązywania zadań
określonego typu, zastosowanie
praktyczne w typowych sytuacjach
REALISTYCZNA
sytuacje realistyczne łączące
doświadczenia i wyobrażenia ucznia
matematyzacja sytuacji realnych,
abstrahowanie i uogólnianie w procesie
tworzenia nowych pojęć lub algorytmów
zadania związane z rzeczywistością,
z istotą obiektów i zjawisk z życia
wprowadzanie pojęć na drodze naturalnej
przy uwzględnieniu pomysłów ucznia,
dyskusja rozwiązań, wykorzystywanie
różnych koncepcji rozwiązań
umiejętność konstrukcji własnych strategii
rozwiązywania problemów,
samodzielnego zdobywania wiedzy,
dostrzegania i formułowania problemów
1
CZYNNOŚCIOWE NAUCZANIE MATEMATYKI
Twórcą koncepcji czynnościowego nauczania matematyki jest profesor Zofia Krygowska,
która jako pierwsza zwróciła uwagę na znaczenie i konieczność powiązania wiedzy
psychologicznej z matematyką i jej nauczaniem. Stosowanie tej metody nauczania nie zależy
od etapu kształcenia lecz od ścisłego zdefiniowania zależności pomiędzy istotą
wprowadzanych, czy modyfikowanych pojęć matematycznych oraz formy metodycznego
postępowania nauczyciela. Zależność ta opiera się na dwóch zasadach: matematycznej
i psychologicznej. Pierwsza z nich odwołuje się do istoty pojęć matematycznych i wymaga
przeprowadzenia dokładnej analizy teoretycznej czynności, jakie tkwią w każdym pojęciu,
twierdzeniu, rozumowaniu matematycznym. Druga natomiast ma charakter psychologiczny
i wymaga stworzenia w nauczaniu sytuacji prowadzących od czynności konkretnych, przez
wyobrażone do pomyślanych (abstrakcyjnych).
Zgodnie z teorią poznawczą Piageta dziecko przechodzi kolejno etapy: aktywność
fizyczna (konkretne czynności na przedmiotach materialnych; ich cechą jest nieodwracalność,
gdyż uczeń nie dostrzega stosunków między czynnościami) → aktywność wyobrażeniowa
(uczeń może wykonać pewne czynności w myśli, choć cały czas wiąże je z konkretną
sytuacją) → aktywność typu logiczno-matematycznego (możliwość wykonywania operacji,
czyli odwracalnych czynności umysłowych, niezależnych od oglądanych cech przedmiotów).
Na podstawie tej teorii J. S. Bruner scharakteryzował trzy systemy, za pomocą których można
przedstawić pojęcia matematyczne. Są nimi: reprezentacja enaktywna – powstaje w wyniku
czynności konkretnych (zbiór reguł, które powstają w wyniku manipulacji przedmiotami),
reprezentacja ikoniczna – powstaje w wyniku operacji wyobrażeniowych (po etapie
manipulacji następuje uporządkowanie spostrzeżeń i wyobrażeń, które prowadzi do
przedstawienia danego pojęcia za pomocą obrazów, rysunków, schematów), reprezentacja
symboliczna – powstaje w wyniku operacji abstrakcyjnych (potrzebuje języka słownosymbolicznego).
W nauczaniu czynnościowym należy ukazywać matematykę od strony pojęciowej, a nie od
strony reguł i algorytmów, jak w koncepcji mechanistycznej. Celem nadrzędnym tej metody
jest zdobywanie wiedzy operatywnej, dobrze zaplanowanej przez nauczyciela działalności
ucznia. W metodzie tej uczeń tworzy swoją wiedzę łącząc zadania ze swoim doświadczeniem
oraz ze współpracy z kolegami. Metoda ta jest zgodna z koncepcją Dewey’a, tzn. stroną
aktywną na lekcji powinien być przede wszystkim uczeń.
Operatywny charakter matematyki polega na nastawieniu się na wykonywanie przez uczniów
operacji, czyli czynności wyobrażeniowych i logicznych, których cechą jest odwracalność.
Ten operatywny charakter związany jest z procesem interioryzacji (uwewnętrznienia
czynności) przebiegającym od konkretnych czynności do abstrakcyjnych operacji. Obejmuje
trzy etapy – polega na przejściu od wykonywania czynności konkretnych w rzeczywistości
materialnej do czynności wyobrażeniowych, a następnie do czynności pomyślanych, gdzie
myślenie wyraża się za pomocą operacji abstrakcyjnych.
Kontynuatorką tej koncepcji w Polsce jest profesor Helena Siwek, która przełożyła zasady
metody czynnościowej na język praktyki nauczycielskiej, opracowując m. in. specyficzną
kolejność ćwiczeń, które prowadzą do ugruntowania pojęcia na każdym z wymienionych
wcześniej etapów: ćwiczenia wprost (uczeń wykonuje prostą czynność, bądź ciąg czynności),
zadania odwrotne do poprzednich (wymagające wykonania czynności lub ciągu czynności
odwrotnych), zadanie tej samej czynności myślowej na różnych materiałach (różne zmienne,
różne sytuacje), ćwiczenia prowadzące do różnych ciągów czynności o tym samym rezultacie
(różne sposoby rozwiązania, racjonalny wybór schematu), ćwiczenia w słownym opisie
czynności danego rodzaju (plany postępowania, opisywanie przedmiotu abstrakcyjnego za
pomocą ciągu myślowych czynności, jako wyniku czynności konkretnych i wyobrażonych),
2
ćwiczenia prowokujące konflikt myślowy (kontrprzykłady, skrajne przypadki, zadania
z błędami uwypuklające istotne warunki definicji, zadania obejmujące nadmiar lub niedomiar
danych), zadania o różnych formach przedstawiania, ilustrowania lub zapisie.
CECHY
FORMY
MATERIAŁY
Charakterystyka czynnościowego nauczania matematyki (H. Siwek)
KONKRETNE
przedmioty z otoczenia,
klocki, układanki,
wycinanki, modele, które
można ciąć, łamać,
konstrukcje rysunkowe
i schematyczne (bez
szczegółów), eksperymenty
na liczbach, figurach,
wyrażeniach algebraicznych
aktywność fizyczna
manipulacje, rysowanie,
przyporządkowywanie,
kolorowanie, uzupełnianie,
wycinanie, nakładanie,
sklejanie, mierzenie,
konkretne obliczenia
wyrażeń dla skończonej
liczby przypadków
czynności konkretne
dotyczące przedmiotów
fizycznych są nieodwracalne
i izolowane
CZYNNOŚĆI
WYOBRAŻENIOWE
przedmioty i modele podane
transformacjom w wyobraźni bez
możliwości konkretnych obserwacji,
schematy rysunkowe, strzałkowe
i tabelaryczne, planowane próby na
liczbach, figurach i wyrażeniach
z przedłużeniem na duże liczby,
różne figury oraz wyrażenia dające
możliwość przewidywania wyników
aktywność wyobrażeniowa
czynne konstruowanie obrazów
będących imitacją czynności
wykonywanych poprzednio
konkretnie,
przekształcanie i obrazowe
przedstawianie czynności konkretnej
wymagają aktywności przedłużonej,
pozwalają na planowanie
i przewidywanie wyników, bywają
odwracalne i mogą się łączyć
w pewne systemy, pozwalają na
stwierdzenie, czy coś jest możliwe
ABSTRAKCYJNE
nazwy pojęć, symboliczne kody
czynności konkretnych, drzewka,
łańcuchy, grafy strzałkowe
zawierające cyfry, schematyczne
rysunki figur, symbole liczb,
działań, równości i nierówności
liczbowych, symbole literowe,
ścisłe definicje, twierdzenia, prawa,
rachunki, reguły
aktywność logiczna
wnioskowanie, uogólnianie,
przekształcanie wyrażeń
liczbowych i literowych,
stosowanie algorytmów,
redukowanie, dedukowanie,
stosowanie definicji i twierdzeń,
uzyskiwanie nowych twierdzeń
w oparciu o znane prawa
wyższy poziom ścisłości i pewności
rezultatów, towarzyszą im
rozumowania hipotetycznodedukcyjne, pozwalają na
postawienie warunków koniecznych
i stwierdzeń, że tak musi być
PROBLEMOWE NAUCZANIE MATEMATYKI
Problemowe uczenie się matematyki dotyczy sytuacji, gdy pojawia się trudność, której nie
można rozwiązać na prostej drodze za pomocą znanych schematów, reguł, praw
i algorytmów. Metoda problemowego nauczania jest podobna do metody czynnościowej, ale
zupełnie różna od mechanistycznej. Problem matematyczny to zadanie matematyczne, gdzie
odpowiedź nie jest natychmiastowa, nie może być uzyskana przez bezpośrednie zastosowanie
znanych schematów. Zadania- problemy cechuje otwartość ze względu na dane, na kierunek
dedukcji i możliwe wnioski, na możliwość stosowania różnych metod badania. Zadania takie
wymagają stawiania wielu pytań zanim uczeń rozpocznie ich rozwiązywanie; do ich
rozwiązania nie ma gotowego klucza, czy zestawu kluczy; uczeń musi umieć przekładać
swoje wiadomości i wykazać się postawą badawczą wzbogacając posiadaną wiedzę.
Zasada problemowego nauczania pozwala na rozwijanie pełnej aktywności ucznia poprzez
rozwiązywanie zadań możliwie różnorodnych, dzięki którym uczeń tworzy własną koncepcję
matematyczną, buduje swój stosunek do matematyki i motywacje do uczenia się matematyki
oraz zdobywa kulturę myślenia.
3