Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń metodami
Transkrypt
Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń metodami
Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń metodami optycznymi – materiały pomocnicze oprac. dr inż. Ludomir J.Jankowski Wstęp Mechanika pękania to nauka o inicjacji i rozwoju szczelin (pęknięć) powstających w różnych warunkach: przy obciążeniach statycznych, zmiennych w czasie, w środowisku korozyjnym, itp. Z punktu widzenia wytrzymałości materiałów, szczelina to koncentrator naprężeń, a występujące w pobliżu wierzchołka szczeliny bardzo wysokie gradienty naprężeń wymagają wprowadzenia specyficznego opisu pola naprężeń. W opisie tym występują parametry pękania, a wśród nich swoisty odpowiednik współczynnika koncentracji naprężeń, tj. współczynnik intensywności naprężeń. a) b) c) Współczynnik koncentracji naprężeń Współczynnik intensywności naprężeń Rys. 1. Rozciągane pasma z: a) otworem kołowym, b) otworem eliptycznym, c) szczeliną Wartości naprężeń maksymalnych w przypadku a) i b) określają wzory (1) i (2): (1) (2) Natomiast w przypadku c) konieczne jest uwzględnienie faktu, że promień w wierzchołku szczeliny dąży do zera, powodując osobliwość rozwiązania równań opisujących pole naprężeń w jego otoczeniu. Trudność tę można usunąć wprowadzając współczynnik intensywności naprężeń ( : (3) 1 W ramach mechaniki pękania rozpatruje się trzy podstawowe przypadki obciążenia brzegów szczeliny (tzw. mody): a) b) c) Rys. 2. Schematy podstawowych przypadków obciążenia brzegów szczeliny: a) rozwieranie (moda I), b) ścinanie (moda II), c) antypłaskie obciążenie brzegów (moda III) Poniżej zostaną pokazane dwa przykłady zastosowania optycznych metod pomiaru do wyznaczania współczynnika intensywności naprężeń. Zastosowanie elastooptyki dwuwymiarowej w mechanice pękania (pomiar K I ) Stan naprężenia wokół wierzchołka szczeliny, w płaskim stanie naprężenia, jest charakteryzowany za pomocą współczynnika intensywności naprężeń. Elastooptyka dwuwymiarowa umożliwia wyznaczenie tych współczynników dla przypadku rozwarcia szczeliny (moda I) i ścinania (moda II), na podstawie danych elastooptycznych, tj. N i . Na rys. 3 pokazano charakterystyczny obraz izochrom wokół wierzchołków szczeliny centralnej w paśmie rozciąganym w kierunku prostopadłym do brzegów szczeliny. Rys. 3. Obraz izochrom połówkowych wokół wierzchołków szczeliny centralnej w rozciąganym paśmie Składowe stanu naprężenia (w prostokątnym układzie współrzędnych) są określone wzorami: x KI 3 cos 1 sin sin 0x 2 2 2 2r 2 y KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r xy KI 3 sin cos cos 2 2 2 2r (4) gdzie: 0 x y x - naprężenie w obszarze nie zaburzonym przez szczelinę. Wartość maksymalnego naprężenia stycznego wynosi: 2 m 2 x y 2 xy 2 K I 2 2r sin 2 (5) m 0 , ma współrzędne m i rm , to można wyrazić za pomocą wielkości określonych na podstawie obrazu izochrom: Jeśli przyjąć, że punkt pętli izochromy, w którym KI i 0x 2 0 x 3 2 K I sin sin 0x 2 2r KI 2 m 2rm sin m 0x przy czym: 2 tg3m 2 1 2 3 tg m 2 1 3 tg 1 2 m cos m 3 cos3 m 2 cos2 m sin m 2 2 (6) (7) m N f 2 t N Rys. 4. Schemat wyznaczania rm i Metoda wyznaczania K I przedstawiona powyżej (opracowana przez G.R.Irwin'a) jest czuła na błędy wyznaczania wielkości mierzonych, tj. N , m i rm . Przyjmuje się, że dla szczeliny centralnej o długości 2a, w paśmie rozciąganym w kierunku prostopadłym do 3 szczeliny, kąt m powinien zawierać się w przedziale 73 ,139 . o o Wówczas wartość współczynnika intensywności naprężeń jest oszacowana z błędem nie większym niż 5%. Aby poprawić dokładność (błąd rzędu 2%), wprowadza się modyfikacje, polegające na uwzględnieniu informacji zawartych w więcej niż jednej pętli izochromy. I tak, wykorzystując dwie pętle izochrom o rzędach N 2 N1 , współczynnik K I może być wyrażony za pomocą wzoru: K I 2 m g , r , a (8) w którym funkcja g , r , a jest obliczana dla obu izochrom, i ma postać: g , r , a sin 2 2 2r a sin sin 3 2 2r 2 a Współczynnik 0 x a KI (9) przyjmuje się zwyczajowo równy jedności, a po przekształceniach zależność (8) można przedstawić w postaci: KI f 2 r1 r2 N 2 N1 t g 2 r1 g1 r2 (10) Inna modyfikacja polega na pomiarze odległości od wierzchołka szczeliny punktów przecięcia dwóch pętli izochrom N i oraz N j z osią y układu współrzędnych, tj. dla zadanego kąta 90o . Wówczas współczynnik intensywności naprężeń może być obliczony ze wzoru: K I 2 ri Wyznaczenie K I umożliwia 2 m i 2 m j 1 ri rj (11) obliczenie innego parametru stosowanego w mechanice pękania, którym jest współczynnik uwalniania energii sprężystej Gi . Nazywany również pracą rozwarcia szczeliny, współczynnik ten jest związany ze współczynnikiem intensywności naprężeń wzorem (dla jednostkowej grubości pasma): GI U K I a E 2 (12) w którym a jest połową długości szczeliny, a U - energią potencjalną niezbędną do powstania szczeliny. Zmiany tej energii, po osiągnięciu pewnej wartości krytycznej, powodują propagację szczeliny, a odpowiadające stanowi krytycznemu współczynniki K I i GI są oznaczane odpowiednio: K Ic i GIc (wartości krytyczne). Współczynnik K Ic nazywany odpornością materiału na pękanie, jest rzeczywistą charakterystyką materiału, określającą jego zachowanie w aspekcie zniszczenia. Szersze omówienie możliwości zastosowania elastooptyki w badaniach mechanizmów pękania wykracza poza ramy niniejszego opracowania. Warto jednak zaznaczyć, że techniki pomiarów wykorzystujące elastooptykę umożliwiają wyznaczanie parametrów pękania dla 4 innych postaci zniszczenia (mody szczeliny), w przypadku mieszanej postaci obciążenia szczeliny (rozwarcie ze ścinaniem) – rys. 5, a także w analizie pękania ciał trójwymiarowych. Rys. 5. Obraz izochrom całkowitych – moda mieszana (KI + KII) Warstwa powierzchniowa Rys. 6. Obraz izochrom całkowitych (moda I) w elastooptycznej warstwie powierzchniowej Wartość współczynnika intensywności naprężenia można również wyznaczyć na podstawie obrazu izochrom zarejestrowanych w elastooptycznej warstwie powierzchniowej – rys. 6. Analizę obrazu przeprowadza się w sposób zaproponowany przez G.Irwina, tj. na podstawie obrazu izochrom widocznych wokół wierzchołka szczeliny. Wartość współczynnika KIc (dla mody I – rozwierania brzegów szczeliny) określa wzór: (13) 5 Powyższe równanie może być stosowane wówczas, gdy kąt określający położenie najbardziej oddalonego punktu pętli izochromy o rzędzie N, spełnia warunek: Alternatywą, jest zaproponowana przez H.C. Soo i I.M. Daniela, metoda polegająca na pomiarach prowadzonych w pewnej odległości od wierzchołka szczeliny. Maksymalne odkształcenie postaciowe jest funkcją Kap (współczynnika „przybliżonego”): (14) a stąd (po uwzględnieniu podstawowych zależności między odkształceniem i efektem optycznym): (15) , powyższe równanie upraszcza się do Dokonując pomiarów N na osi y, tj. dla postaci: (16) Wartości Kap należy obliczyć dla różnych wartości r na podstawie pomiarów rzędów izochrom N(r), a następnie wyznaczyć KIc (w wierzchołku szczeliny) na drodze ekstrapolacji. Zastosowanie metody kaustyk do wyznaczania współczynnika intensywności naprężeń Kaustyka – to hiperpowierzchnia stanowiąca obwiednię wiązki promieni świetlnych biegnących z punktowego, określonego źródła światła (w szczególności, punktowe źródło światła może leżeć w nieskończoności = równoległa wiązka światła), i: - odbitych od innej hiperpowierzchni – katakaustyka, - ugiętych przez ośrodek, przez który biegnie światło – diakaustyka. 6 Rys. 7. Przykłady katakaustyk Metoda kaustyk jest w mechanice wykorzystywana do wyznaczania parametrów charakteryzujących osobliwości pola naprężeń, takich jak: spiętrzenia naprężeń wokół wierzchołka szczeliny, w dnie karbu, w rejonie kontaktu dwóch ciał, czy w miejscach wprowadzenia obciążeń skupionych – rys. 8. 7 Rys. 8. Przykłady osobliwości pól naprężeń Jej istotą jest uzyskanie informacji o tych osobliwościach na drodze optycznej, poprzez obserwację efektu optycznego związanego z generowaniem przez lokalnie zdeformowany ośrodek specyficznego pola optycznego W praktyce, obserwowany jest efekt w postaci ciemnego pola otoczonego jasnym prążkiem (linią) zwanym kaustyką. Jest ona formowana przez promienie wiązki światła odbite od powierzchni lub przechodzące przez ośrodek, które tworzą (na skutek odbicia lub ugięcia) w przestrzeni powierzchnię kaustyczną ściśle związaną z parametrami charakteryzującymi daną osobliwość pola naprężeń. Przecięcie tej powierzchni płaszczyzną referencyjną (np. ekranu) daje obraz krzywej płaskiej, o zwiększonym natężeniu światła, otaczającej ciemny region. Zaletą tej metody pomiaru jest możliwość wykorzystania związków między parametrami osobliwego pola naprężeń i geometrią kaustyki (np. jej średnicą). Idea metody – na przykładzie diakaustyki - jest pokazana na rys. 8. Padająca równoległa wiązka światła (np. koherentnego) przechodzi przez ośrodek transmisyjny ze szczeliną, którego powierzchnia jest usytuowana prostopadle do kierunku padania światła. Jeśli ośrodek poddany jest działaniu płaskiego stanu naprężenia, to w rejonie osobliwości tego pola pojawią się zmiany grubości ∆t (x, y) wywołane efektem współczynnika Poisson'a: ∆ t = - t ν (σ xx + σ yy)/ E (17) Na skutek działania sumy naprężeń (σxx + σyy) powierzchnie badanego ośrodka ulegają deformacji Powierzchnie te działają jak “soczewka”, powodując ugięcie promieni światła. W odległości z0 , w płaszczyźnie referencyjnej (ekranu), obserwowany jest efekt ugięcia tych promieni w postaci ciemnego obszaru otoczonego jasnym prążkiem (efekt przecięcia powierzchni kaustycznej płaszczyzną ekranu). W obszarach otaczających kaustykę, odpowiadających niskim gradientom (σxx + σyy), obserwowane jest nieco zmniejszone natężenie światła. Tak więc, widoczny na ekranie obraz jest ściśle związany z polem sumy naprężeń działających w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiązki światła. 8 Rys. 9. Schemat powstawania diakaustyki – próbka rozciągana ze szczeliną Rys. 10. Obraz diakaustyki na ekranie – moda I W przypadku obiektu dyfuzyjnego występuje analogiczny mechanizm powstawania kaustyki z tym, że tworzą ją na ekranie promienie światła odbite od niepłaskiej powierzchni obiektu (niepłaskie zwierciadło). W tym przypadku na ekranie jest obserwowany pozorny obraz kaustyki, a współczynnik załamania wynosi n = -1. Rys. 11. Układ współrzędnych 9 Na rys. 11 pokazano układ współrzędnych dla przypadku próbki ze szczeliną. Powstający wokół wierzchołka szczeliny efekt “soczewkowania” wywołuje ugięcie promieni światła, które na ekranie tworzą obraz kaustyki. Niech punkt Ps leży w pobliżu wierzchołka szczeliny w płaszczyźnie próbki. Promień światła przechodząc przez ten punkt ulega ugięciu, i na ekranie położonym w odległości z0 (w płaszczyźnie πi tworzy obraz tego punktu Pi. Położenie tego punktu określa wektor: ri = rs + g (18) Wektor g opisuje przemieszczenie obrazu punktu Ps , leżącego w płaszczyźnie próbki, do punktu Pi w płaszczyźnie ekranu, i jest zależny od odległości ekranu i lokalnej deformacji powierzchni próbki: g = - z0 ∆ (∆ s) (19) ∆ = i (∂/∂x) + j (∂/∂y) + k (∂/∂z) – operator, ∆ s – dodatkowa droga optyczna wywołana przez zmiany grubości próbki na skutek działania naprężeń oraz zmiany wartości współczynnika załamania ośrodka n. Jeśli grubość jest stała, to zmianę drogi optycznej opisuje wzór: ∆ s = (n – 1) ∆t + t ∆n (20) Dla płaskiego stanu naprężenia (σzz = 0) zmiany grubości ∆t są opisane wzorem (17). Zmiany wartości współczynnika załamania światła są funkcją naprężeń głównych (równania Maxwell’a): ∆ n1 = c1 σ1 + c2 σ2 (21) ∆ n2 = c1 σ2 + c2σ1 gdzie: c1, c2 – stałe optyczne materiału ośrodka. Powyższe związki umożliwiają wyznaczenie zmian długości drogi optycznej w funkcji sumy i różnicy naprężeń głównych: ∆ s1 = C1 t [(σ1 + σ2) + C2 (σ1 – σ2)] (22) ∆ s2 = C1 t [(σ1 + σ2) - C2 (σ1 – σ2)] gdzie: C1 = (c1 + c2)/2 – ν (n – 1)/E C2 = (c1 – c2)/{c1 + c2 – [2 ν (n –1)/E]}. Z równania (22) wynika, że w płaszczyźnie ekranu (płaszczyźnie obrazowej) mogą pojawić się dwie kaustyki. Kaustyka związana z ∆s2 jest efektem anizotropii optycznej (dwójłomności). Dla materiału optycznie izotropowego jest: ∆ s1 = ∆ s2 = ∆ s = C1 t (σ1 + σ2) (23) Powstawanie kaustyk jest wywołane przede wszystkim przez gradient naprężeń w rejonie osobliwości pola naprężeń. Obraz kaustyki powstałej w wyniku obciążenia pierwszego typu szczeliny krawędziowej (moda I) pokazano powyżej. 10 Dla takiego przypadku, związki między naprężeniami w rejonie wierzchołka szczeliny a współczynnikiem intensywności naprężeń KI charakteryzującym materiał ośrodka mają postać: (24) W przypadku optycznie izotropowego materiału ośrodka jest: (25) W tym przypadku kaustyka ma postać krzywej, otaczającej ciemne pole (zlokalizowane w rejonie wierzchołka szczeliny), określonej jako granica między jasnym prążkiem i ciemnym polem, przy czym spełniony jest warunek: (∂xi∂yi / ∂r∂Θ) – (∂xi∂yi / ∂Θ∂r) = 0 (26) Ze wzorów (25) i (26) otrzymuje się zależność między promieniem r , określającym położenie zbioru punktów Ps na próbce oraz krzywą kaustyki obserwowaną w płaszczyźnie obrazowej. Równanie: (27) pokazuje, że krzywą początkową kaustyki jest okrąg o promieniu r0. Zmieniając położenie ekranu lub wartość obciążenia otrzymuje się różne położenia okręgu początkowego (podstawowego). Dla określonej wartości KI i z0 okrąg jest zlokalizowany zgodnie z równaniem (27). Podstawiając równanie (27) do równania (26) otrzymuje się opis krzywej kaustyki jako obrazu okręgu podstawowego, stąd: (28) przy czym: 11 Równania (28) są uogólnionymi równaniami epicykloidy, której maksymalna średnica (rys. 12) w funkcji promienia okręgu podstawowego r0 ma wartość: (29) D = 3.17 r0 Natomiast współczynnik intensywności naprężeń KI może być obliczony ze wzoru: KI = 0.0934 D5/2/ z0 C1 t (30) Epicykloida kaustyki Okrąg podstawowy Rys. 12. Epicykloida diakaustyki – moda I Należy podkreślić, że współczynnik intensywności naprężeń (WIN) jest parametrem używanym zarówno do opisu stanu poprzedzającego spontaniczną propagację szczeliny, jak i do opisu dynamiki jej rozwoju. Ze względu na swoją prostotę, metoda kaustyk jest szeroko stosowana w badaniach z zakresu mechaniki pękania, przy czym dominują badania w układach pomiarowych transmisyjnych (materiały przezroczyste, np. PMMA). Rzadziej stosowane są układy umożliwiające obserwację kaustyk w świetle odbitym (głównie pomiary na metalowych próbkach). Niezależnie od typu układu pomiarowego, najczęściej jest to układ z równoległą wiązką światła, z reguły jako źródło światła wykorzystywane są źródła światła koherentnego (lasery), które umożliwiają uzyskanie wyższego kontrastu między jasnym prążkiem, a ciemnym polem. Na rys. 13 pokazano schematy innych układów pomiarowych, w tym układ do obserwacji w świetle odbitym. 12 Próbka (obiekt) Rys. 13. Przykłady układów pomiarowych W przypadku stosowania układów z nierównoległą wiązką światła należy uwzględnić jej geometrię, która ma wpływ na wielkość obserwowanej na ekranie kaustyki. Najczęściej stosowane próbki w badaniach odporności na pękanie pokazano na rys. 14. 0.25W a) P P W a 1.2 W (t) a b) w a c) a Rys. 14. Próbki do badania odporności na pękanie: a) typu CT, a) czteropunktowo lub trójpunktowo zginana, c) rurowe (ze szczeliną wewnętrzną lub zewnętrzną) 13 Obliczenia współczynnika intensywności naprężeń Wartości współczynnika intensywności naprężenia, dla wybranej postaci próbek (z uwzględnieniem sposobu obciążenia próbki i jej skończonych wymiarów), podano poniżej. Próbka kompaktowa (CT) P 0.25 W W 1.2 W 0.55 W ( t = 0.5W) a P 1.25W Próbka trójpunktowo zginana L/2 P W a L W obydwu przypadkach współczynnik λ wynosi λ = aW. 14 Literatura [1] Neimitz A., Mechanika pękania, PWN, Warszawa, 1998 [2] Bochenek A., Elementy mechaniki pękania, Wyd. Polit. Częstochowskiej, Częstochowa, 1998 [3] German J., Podstawy mechaniki pękania, skrypt Polit. Krakowskiej, Kraków, 2005 [4] Dally J.W., Riley W.F., Experimental Stress Analysis, 3rd Ed., McGraw-Hill, Inc., 1991 15