kinematyka manipulatorów

KINEMATYKA MANIPULATORÓW
WPROWADZENIE
1. Manipulator
Robot mo na podzieli na cz
steruj c i mechaniczn . Cz
manipulatorem. Z punktu widzenia Mechaniki ta cz
mechaniczna nazywana jest
jest najbardziej interesuj ca.
Manipulator zasadniczo mo na podzieli na dwie cz ci: na cz!ony i na pary kinematyczne.
Pary kinematyczne mo na podzieli na:
•
pary kinematyczne obrotowe
•
pary przesuwne (pryzmatyczne).
2. Pozycja i orientacja
,eby znale- po.o enie jednego cz.onu manipulatora wzgl dem drugiego nale y okre li
pozycj& i orientacj&. Z obydwoma cz.onami zwi zujemy lokalne uk.ady wspó.rz dnych.
Pozycja zwi zana jest bezpo rednio z po.o eniem jednego uk.adu wzgl dem drugiego.
Orientacja za okre la pod jakim k tem dany uk.ad jest obrócony wzgl dem drugiego.
3. Kinematyka manipulatora
Kinematyka jest nauk , która zajmuje si
badaniem ruchu bez uwzgl dniania si.
wywo.uj cych ten ruch. Badane s zmiany po.o enia, pr dko ci i przyspiesze3 ka dego
cz.onu, a co za tym idzie – ka dego punktu le cego na danym cz.onie (w szczególno ci
chwytaka).
Liczb( stopni swobody nazywamy liczb niezale nych zmiennych po.o enia, które nale y
poda w celu jednoznacznego okre lenia po.o enia wszystkich sk.adowych manipulatora.
4. Proste zadanie kinematyki
Proste zadanie kinematyki jest to zadanie statyczno-geometryczne polegaj ce na obliczaniu
pozycji i orientacji cz.onu roboczego manipulatora. Maj c dane wszystkie wspó.rz dne
konfiguracyjne nale y obliczy
pozycj
danego punktu zwi zanego z robotem (w
szczególno ci chwytaka) wzgl dem globalnego uk.adu wspó.rz dnych. Zadanie to czasem
traktujemy jako zadanie odwzorowania opisu po.o enia manipulatora w przestrzeni
wspó!rz&dnych konfiguracyjnych na opis w przestrzeni wspó!rz&dnych kartezja1skich.
5 Odwrotne zadanie kinematyki
Dane s pozycja i orientacja cz.onu roboczego manipulatora, nale y obliczy wszystkie
mo liwe zbiory wspó.rz dnych konfiguracyjnych, umo liwiaj ce uzyskanie zadanych pozycji
i orientacji. Jest to zadanie trudniejsze ze wzgl du na wielokrotno
rozwi za3 i nieliniowo .
KINEMATYKA MANIPULATORÓW
ODWZOROWANIE PRZESUNI:; I OBROTÓW
1. Odwzorowanie przesuni&3 uk!adów wspó!rz&dnych
{B}
Ẑ B
B
Ẑ A
{A}
A
P
P
YˆB
A
X̂ A
PBORG
X̂ B
YˆA
Rys.1. Po.o enie punktu danego w uk.adzie {B} wzgl dem uk.adu {A}. Uk.ady {A} i {B} s równoleg.e.
Dany jest wektor po.o enia pocz tku uk.adu {B} wzgl dem uk.adu {A}:
A
PBORG =
A
p xBORG
A
p yBORG .
p zBORG
A
Dane jest równie po.o enie wybranego punktu w uk.adzie {B}:
B
B
P=
px
B
py .
B
pz
Po.o enie tego punktu wzgl dem uk.adu {A} dane jest nast puj cym równaniem
wektorowym:
A
P = B P + APBORG .
W rezultacie uzyskamy:
B
A
P=
p x + A p xBORG
p y + A p yBORG .
B
p z + A p zBORG
B
2. Odwzorowanie obrotów uk!adów wspó!rz&dnych.
{A}
{B}
Ẑ A
Ẑ B
B
P
YˆB
YˆA
X̂ A
X̂ B
Rys.2. Po.o enie punktu danego w uk.adzie {B} wzgl dem uk.adu {A}. Uk.ady {A} i {B} maj wspólny
pocz tek.
Za.ó my, e uk.ad {B} oraz {A} maj wspólny pocz tek. Dana jest macierz obrotu uk.adu {B}
wzgl dem uk.adu {A}:
A
B
R=
[
A
Xˆ B
A
YˆB
A
]
Zˆ B
Xˆ B Xˆ A
= Xˆ B YˆA
Xˆ Zˆ
B
A
YˆB Xˆ A
YˆB YˆA
Yˆ Zˆ
B
A
Zˆ B Xˆ A
Zˆ B YˆA .
Zˆ Zˆ
B
A
Elementy przedstawionej macierzy stanowi iloczyny skalarne poszczególnych wersorów.
Otrzymali my zatem macierz cosinusów kierunkowych.
Po.o enie wybranego punktu danego w uk.adzie {B} wzgl dem uk.adu {A} jest zatem dana
nast puj cym rachunkiem macierzowym:
A
P = BA R BP .
Uwaga. Zauwa my, e zachodzi zale no !: AB R = BA R 1 = BA R T
3. Uogólniony przypadek odwzorowywania uk!adów.
{B}
Ẑ B
B
Ẑ A
{A}
A
P
A
PBORG
P
YˆB
X̂ B
YˆA
X̂ A
Rys.3. Po.o enie punktu danego w uk.adzie {B} wzgl dem uk.adu {A}. Uk.ady {A} i {B} nie s równoleg.e i
nie maj wspólnego pocz tku.
W praktyce potrzebujemy uwzgl dnienia obu przypadków: po.o enia i orientacji
równocze nie. Rozpatrywany przypadek b dzie opisany przez nast puj ce równanie:
A
P = BA R B P + APBORG
Powy sze równanie mo na zapisa w prostszej postaci:
A
A
P = ABT BP , czyli:
A
P
BR
=
1
0 0 0
Macierz: ABT =
A
B
R
0 0 0
A
A
PBORG
1
B
P
1
PBORG
zwana jest przekszta.ceniem jednorodnym (lub macierz
1
przekszta.cenia jednorodnego).
Przyk!ad
{B}
Ẑ B
B
{A}
Ẑ A
A
P
A
PBORG
P
YˆB
X̂ B
YˆA
X̂ A
Dane s :
•
Wspó.rz dna punktu: B P = [1 1 0]
•
Wspó.rz dne rodka uk.adu {B} wzgl. uk.adu {A}: A PBORG = [1 2 0]
•
K t obrotu pomi dzy osiami x B i x A :
T
T
= 30°
Macierz rotacji w powy szym przypadku wynosi:
Xˆ B
A
Xˆ B
BR =
Xˆ B
Poniewa
T=
A
B
Xˆ A
YˆA
Zˆ A
A
B
R
0 0 0
cos
cos(90
A
BT =
0
0
YˆB
YˆB
YˆB
A
Xˆ A
YˆA
Zˆ A
Zˆ B
Zˆ B
Zˆ B
Xˆ A
cos
YˆA = cos(90
Zˆ A
0
)
cos(90 +
cos
0
)
PBORG
zatem:
1
)
cos(90 +
cos
0
0
)
0
0
1
0
1
0.866
0.5
2
0.5 0.866
=
1
0
0
1
0
0
Wspó.rz dne punktu P wynosz :
0.866
0.5
0.5 0.866
A
P = ABT BP =
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
0
1
1
1.336
1
3.336
=
0
0
1
1
0
0
1
0
1
2
1
1
0
0
1
KINEMATYKA MANIPULATORÓW
LOKALNE UKKADY
WSPÓKRZ:DNYCH
Pary ni4szego rz&du – takie pary obrotowe, których wzgl dny ruch opisuj
dwie
wspó.pracuj ce ze sob powierzchnie.
1. Rodzaje par
2. Wielko5ci charakterystyczne
o {i}
cz on i
o {i-1}
cz on i-1
zi
yi
1
yi
Oi
zi
xi
Oi
1
xi
di
1
1
i
i 1
ai -1
i 1
– k t skr cenia cz.onu; k t pomi dzy osi i-1 a osi i, mierzony zgodnie z
regu. prawej d.oni w kierunku i-tego elementu (wokó. prostej ai-1),
ai-1
– d.ugo
di
– odsuni cie cz.onu; odleg.o
i
cz.onu; prosta obustronnie prostopad.a do osi cz.onów,
ai-1 od ai wzd.u osi i.
– k t konfiguracji cz.onów po. czenia ruchomego; k t zawarty mi dzy
przed.u eniem ai-1 oraz ai mierzony wokó. osi po. czenia i.
3. Pierwszy i ostatni cz!on w !a1cuchu
a1 ,…, a n 1
1 ,…, n 1
a0 = an = 0,
d 2 ,…, d n
2
,…,
wed.ug powy szej konwencji,
0
=
1
n
=0
wed.ug powy szej konwencji,
n 1
Para 1 – para obrotowa:
1
– dowolna; d1 = 0
Para 1 – para post powa: d1 – dowolne;
1
= 0.
4. Przywi(zywanie uk!adów wspó!rz&dnych do cz!onów
a) Po rednie cz.ony .a3cucha
Ẑ i pokrywa si z osi {i} (para obrotowa).
Pocz tek uk.adu {i} jest usytuowany w miejscu przeci cia osi {i} z prostopad. do
niej ai.
X̂ i pokrywa si z ai i skierowana jest z i do i + 1.
Gdy ai = 0, X̂ i jest normaln do p.aszczyzny Ẑ i i Zˆ i +1
Warto
k ta
i
mierzona jest wokó. osi X̂ i (regu.a prawej d.oni). O Yˆi okre lona
jest zgodnie z prawoskr tnym uk.adem wspó.rz dnych.
a) Pierwszy i ostatni cz.on
Uk.ad {0} przywi zany jest z baz i by.oby najlepiej, jakby o Ẑ 0 pokrywa.a si z Ẑ1
(a0 = 0,
0
= 0 , d1 = 0 – para obrotowa,
1
= 0 – para przesuwna). Dla n-tej pary
obrotowej kierunek X̂ n jest wzd.u Xˆ n 1 o ile
przeci cia Xˆ n 1 z osi po. czenia n, gdy dn = 0.
n
= 0 a pocz tek {N} le y w punkcie
5. Reasumuj(c.
ai
– odleg.o
i
di
i
od osi Ẑ i do Zˆ i +1 , wzd.u osi X̂ i ,
– k t pomi dzy osiami Ẑ i i Zˆ i +1 wokó. X̂ i ,
– odleg.o
od osi Xˆ i
1
do X̂ i , wzd.u Ẑ i ,
– k t mi dzy osiami Xˆ i 1 i X̂ i , wokó. Ẑ i .
UWAGA!!! Zawsze ai
0.
6. Algorytm post&powania.
1. Zidentyfikuj osie po. cze3 i wyobra- sobie (lub narysuj) odzwierciedlaj ce je proste,
2. Znajd- prost obustronnie prostopad. do nich lub punkt ich przeci cia. W punkcie ich
przeci cia lub punkcie przeci cia i-tej osi z prost obustronnie prostopad. przyjmij
pocz tek uk.adu wspó.rz dnych cz.onu,
3. Wybierz o Ẑ i w osi i-tego po. czenia,
4. Wybierz o X̂ i wzd.u prostej obustronnie prostopad.ej lub je li osie przecinaj si ,
przyjmij X̂ i jako normaln do p.aszczyzny zawieraj cej te dwie osie,
5. Wybierz o Ŷi tak, aby uzupe.nia.a prawoskr tny uk.ad wspó.rz dnych,
6. Przyjmij,
e uk.ad {0} pokrywa si
z uk.adem {1}, gdy zmienna pierwszego
po. czenia jest równa zero. Wybierz dowolnie usytuowania uk.adu {N} i zwrot osi
X̂ N , tak aby spowodowa zerowanie si mo liwie najwi kszej liczby parametrów.
7. Transformacja uk!adów
Po.o enie uk.adu {i} wzgl dem uk.adu poprzedniego {i – 1} mo na opisa za pomoc
równania macierzowego:
i 1
Macierz
i 1
i
P = i 1iT i P .
T nazywana jest potocznie macierz Denavita-Hartenberga (macierz DH;
macierz 4x4) i ma posta :
c
T=
i 1
i
s ic
s is
s
i
i 1
c ic
i 1
i 1
c is
i 1
0
0
i
0
s
c
ai
i 1
i 1
0
s
c
1
i 1
i 1
di
di
,
1
gdzie:
= cos
c
i
c
i 1
i
= cos
;s
i 1
i
= sin
;s
i 1
i
;
= sin
i 1
Po.o enie uk.adu {N} wzgl dem uk.adu {0} zwi zanego z pod.o em opisane jest zale no ci :
0
0
N
P = N0 T N P , gdzie:
T= 01T 12T …
N 1
N
T.