Wykład 10

Fizyka statystyczna
Zwyrodniały gaz Fermiego
P. F. Góra
http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
2015
Fermiony w niskich temperaturach
Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka˛ sume˛ statystyczna:
˛
Ξ=
∞
Y
Tr ie−β(εi−µ)n̂i
(1)
i=0
gdzie εi jest energia,
˛ a n̂i operatorem liczby obsadzeń i-tego poziomu.
Rozpatrjemy gaz doskonały, którego poziomy energetyczne kwantujemy
tak samo, jak dla bozonów. Różnica bierze sie˛ stad,
˛ że liczby obsadzeń
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–2
moga˛ przyjmować tylko wartości 0 lub 1.
∞ n
Y
β(µ−ε
)
β(µ−ε
)
i
i
e
=
1+e
Ξ=
i=0 n=0
i=0
∞
X
β(µ−ε
)
i
Ω = −kB T
ln 1 + e
i=0
∞
∞
X
X
1
0
hN i =
ni =
β(µ−εi ) + 1
i=0 e
i=0
1 ∞ X
Y
c 2015 P. F. Góra
Copyright (2a)
(2b)
(2c)
10–3
Równanie stanu
Postepuj
˛ ac
˛ tak, jak dla bozonów i przyjmujac
˛ nierelatywistyczne widmo
energii, znajdujemy, że dla fermionów
Z∞
2 gV 2m 3/2
ε3/2
2
dε
pV = E = ·
3
3 4π 2 ~2
eβ(ε−µ) + 1
(3a)
0
N
g
2m
=
V
4π 2 ~2
c 2015 P. F. Góra
Copyright 3/2 Z∞
0
ε1/2
dε
eβ(ε−µ) + 1
(3b)
10–4
Średnia liczba obsadzeń
Poziom o energii εi (εi > 0) jest średnio obsadzany przez
−1
0
β(ε
−µ)
ni = e i
+1
(4)
czastek.
˛
Widzimy, że n0
i 6 1, natomiast w granicy wysokich temperatur,
β(µ−εi ) .
T → ∞, natychmiast otrzymujemy rozkład Boltzmanna n0
i =e
W T = 0 rozkład Fermiego redukuje sie˛ do funkcji schodkowej:
1
e(ε−µ)/kB T + 1
=

1
0
ε<µ
ε>µ
(5)
Stan układu o najniższej energii otrzymuje sie˛ obsadzajac
˛ jednoczastkowe
˛
poziomy energetyczne aż do µ = εF w T = 0. Potencjał chemiczny
doskonałego gazu Fermiego w T = 0 jest skończona˛ liczba˛ dodatnia,
˛
równa˛ energii Fermiego.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–5
Własności doskonałego gazu Fermiego w T = 0
W T = 0 mamy po uwzglednieniu
˛
(5)
g
N
=
V
4π 2
3/2 Zµ
2m
~2
0
3/2
g
2m
2 3/2
dε ε1/2 =
µ
2
2
4π
~
3
(6)
Stad
˛ możemy wyliczyć energie˛ Fermiego i wektor falowy Fermiego jako
funkcje˛ gestości
˛
czastek:
˛
2
~2 k F
εF =
= µ(T = 0) =
2m
c 2015 P. F. Góra
Copyright !2/3
2
6π
~2 N 2/3
g
2m V
(7)
10–6
Podobnie
E
2m 3/2 2 5/2
g
=
µ
(8)
2
2
V
4π
~
5
3/2
2
g
2m
5/2
p= ·
µ
(9)
5 4π 2 ~2
W temperaturze T = 0 gaz Fermiego wywiera skończone ciśnienie, gdyż
na skutek zakazu Pauliego, obsadzane sa˛ wszystkie stany pedowe,
˛
aż do
pedu
˛
Fermiego. Fermiony w tych wyższych stanach pedowych
˛
wywieraja˛
ciśnienie na ścianki zbiornika.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–7
W niskich temperaturach potencjał chemiczny gazu Fermiego jest dodatni
i wiekszy
˛
niż dla gazu klasycznego. Dodanie nowej czasteczki
˛
zwieksza
˛
energie,
˛ ale ponieważ z dużym prawdopodobieństwem nowa czasteczka
˛
zajmuje stan o najniższej dopuszczalnej energii, jest to proces dość przewidywalny i zwiazany
˛
z nim spadek entropii nie jest znaczny. W granicy
wysokich temperatur T → ∞ potencjał chemiczny gazu Fermiego staje
sie˛ praktycznie równy potencjałowi chemicznemu gazu klasycznego.
Rozkład Fermiego w różnych temperaturach
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–8
Gaz Fermiego w skończonych temperaturach
Dla T > 0, ale niewiele wiekszych
˛
od zera, równanie stanu przybiera postać
2 gV
pV = ·
3 4π 2
2m 3/2
~2
(kB T )5/2
Z∞
−µ/kBT
(x + µ/kB T )3/2
dx
ex + 1
(10)
Pomijajac
˛ szczegóły matematyczne i korzystajac
˛ z faktu, że
µ = ∂(pV )/∂N |T,V , można znaleźć wyrażenie wyrażenie na potencjał
chemiczny:

2 k T
π
B
µ = εF 1 −
12 εF
!2

+ ...
(11)
Podobnie
π2
k T
S=
N kB B
2
εF
c 2015 P. F. Góra
Copyright (12)
10–9
Wynika stad,
˛ że w granicy niskich temperatur
∂S kB T
π2
CV = T
N kB
=
∂T V,N
2
εF
(13)
˛ Z drugiej strony
Pojemność cieplna zmienia sie˛ liniowo z temperatura.
w granicy wysokich temperatur pojemność cieplna daży
˛ do wartości stałej
CV → 3
2 N kB .
Funkcje termodynamiczne doskonałego gazu Fermiego nie wykazuja˛ żadnych nieciagłości
˛
w funkcji temperatury.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–10
Parametr zwyrodnienia
To, czy w układzie dominować bed
˛ a˛ efekty kwantowe, czy też można stosować statystyk˛e Boltzmanna, zależy od stosunku objetości
˛
właściwej (ge˛
stości czastek)
˛
do objetości
˛
zajmowanej przez czastk˛
˛ e “klasyczna”
˛ o danej
energii cieplnej.
ξ=
N
gV
~2
2πmkB T
!3/2
(14)
Jeśli ξ 1, efekty kwantowe nie sa˛ istotne. Efektów kwantowych należy
szukać wiec
˛ przy bardzo dużych gestościach
˛
lub niskich temperaturach.
Ale jak dużych gestościach
˛
i jak niskich temperaturach? Dla helu w warunkach normalnych ξ ∼ 4 · 10−7, a wiec
˛ gaz zachowuje sie˛ zupełnie
klasycznie. Z drugiej strony dla gazu elektronów przewodnictwa w metalu
ξ ∼ 4000. Gaz elektronów przewodnictwa we wszystkich metalach, aż do
temperatury topnienia, zachowuje sie˛ jak silnie zwyrodniały gaz Fermiego.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–11
Teoria białych karłów
Biały karzeł to słabo świecaca
˛ gwiazda, która wypaliła już swoje paliwo
i teraz — powoli — stygnie. Białe karły sa˛ zbudowane głównie z helu.
maja˛ one gestość
˛
% ∼ 107 g/cm3 ∼ 107%, mase˛ M ∼ 1033 g ∼ M,
temperature˛ T ∼ 107 K ∼ T. Gwiazda zbudowana jest z całkowicie zjonizowanych jader
˛
helu i gazu elektronów swobodnych. Gestość
˛
elektronów
wynisi ∼ 1030 na cm3, co odpowiada energii i temperaturze Fermiego
~2
εF ∼
∼ 20 MeV , TF = εF /kB ∼ 1011 K .
(15)
2me
Temperatura Fermiego jest o wiele wyższa od faktycznej temperatury gwiazdy,
wiec
˛ gaz elektronów można traktować jak doskonały gaz Fermiego, zachowujacy
˛ sie˛ jak gaz w temperaturze zera bezwzglednego.
˛
W tym uproszczonym modelu pomijamy efekty takie, jak możliwość kreacji
par elektro-pozyton oraz kreacji neutrin w zderzeniach.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–12
Biały karzeł jest stabilny, gdyż energii grawitacyjnej przeciwstawia sie˛ ciśnienie gazu Fermiego.
Obliczmy to ciśnienie. Energie poziomów nie zależa˛ od spinu i sa˛ dane
przez
εps =
q
(pc)2 + (mec2)2 .
(16)
Wobec tego energia stanu podstawowego jest dana całka˛ z tego wyrażenia
aż do pedu
˛
Fermiego pF = ~(3π 2/v)1/3:
2V
E0 = 2
~
ZpF
q
dp 4πp2 (pc)2 + (mec2)2
(17)
0
Wówczas
5
m4
E0
ec
= 2 3 v f (xF ) ,
N
π ~
c 2015 P. F. Góra
Copyright (18)
10–13
gdzie xF = pF /mec oraz
f (xF ) =
ZxF
q
dx x2 1 + x2
0

3 2
1 3

 3 xF (1 + 10 xF + . . . ) xF 1 (nierelatywistyczny)
= 1 4

xF 1 (ultrarelatywistyczny)
 4 xF (1 + 12 + . . . )
xF
(19)
Masa gwiazdy wynosi M ' (me + 2mp)N ' 2mpN (N jest liczba˛ elektronów w gwieździe), a jej promień R = (3V /4π)1/3. XF mozna teraz
wyrazić przez mase˛ gwiazdy i jej promień:
!1/3
~
1 9π M
M̄ 1/3
xF =
·
·
=
(20)
me c R 8 mp
R̄
gdzie M̄ = (9π/8) · (M/mp), R̄ = R/(~/mec) sa˛ masa˛ zredukowana˛
i promieniem zredukowanym gwiazdy.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–14
Ciśnienie wyznaczamy z warunku po = −∂E0/∂V , co w przypadku ultrarelatywistycznym daje
p0 = K
c 2015 P. F. Góra
Copyright M̄ 4/3
R̄4
−
M̄ 2/3
R̄2
!
,
m e c2 m e c 3
.
K=
2
12π
~
(21)
10–15
Granica Chandrasekhara
Aby gwiazda mogła pozostawać w równowadze, praca potrzebna do spre˛
żenia gazu od stanu nieskończonego rozrzedzenia do kuli o zadanym promieniu i ciśnieniu p0 musi być równa energii grawitacyjnej gwiazdy:
ZR
∞
GM
2
dr p04πr = −
R
2
.
(22)
Różniczkujac
˛ to wyrażenie po R otrzymamy nastepuj
˛ acy
˛ warunek równowagi:
1
8mp 2 mec 4 M̄ 2
p0 =
G
4π
9π
~
R̄4
(23)
Aby gwiazda była w równowadze, ciśnienie “grawitacyjne” (23) musi być
co do wartości równe ciśnieniu gazu Fermiego (21). W przypadku ultrarec 2015 P. F. Góra
Copyright 10–16
latywistycznym otrzymujemy stad
˛ nastepuj
˛ acy
˛ warunek na promień zredukowany.
R̄ = M̄
v
u
u
2/3 t
M̄
1−
M̄0
!2/3
(24)
Z równania (24) widać, że istnieje maksymalna masa M̄ = M̄0, powyżej
której biały karzeł traci stabilność. Masa graniczna nosi nazwe˛ granicy
Chandrasekhara. M0 ' 1.4 M.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–17
Subrahmanyan Chandrasekhar, 1910-94
Nagroda Nobla 1983
c 2015 P. F. Góra
Copyright 10–18