Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga

Fizyka statystyczna
Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu
P. F. Góra
http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
2015
Parametr porzadku
˛
W niskich temperaturach układy wystepuj
˛ a˛ w fazach, które łamia˛ symetrie˛ hamiltonianu: Sieć krystaliczna narusza symetrie˛ translacyjna,
˛ uporzadkowane
˛
spiny (momenty magnetyczne) naruszaja˛ symetrie˛ obrotowa˛
itp. Jeżeli hamiltonian jest niezmienniczy ze wzgledu
˛
na pewne symetrie,
a stan podstawowy nie wykazuje tej symetrii, mówimy, że symetria została
spontanicznie złamana.
Niech P bedzie
˛
operacja˛ symetrii, wzgledem
˛
której hamiltonian H jest niezmienniczy:
P−1HP = H
(1a)
Jeśli |ψi jest stanem podstawowym, czyli
H|ψi = E|ψi
c 2015 P. F. Góra
Copyright (1b)
13–2
to także
H (P|ψi) = E (P|ψi)
(1c)
a wiec
˛ stan podstawowy musi być zdegenerowany. Jeżeli układ łamie symetrie˛ ciagł
˛ a,
˛ stan podstawowy musi być nieskończenie zdegenerowany.
Rozważmy modelowy ferromagnetyk. Fizyczna˛ manifestacja˛ przejścia fazowego jest to, że pojawiaja˛ sie˛ bloki uporzadkowanych
˛
spinów. Kolektywny, spontaniczny obrót spinu całego bloku pod wpływem zaburzeń termicznych jest mało prawdopodobny i układ na długo pozostaje uwieziony
˛
w jakiejś konfiguracji. Symetria zostaje złamana, a w układzie pojawia sie˛
parametr porzadku:
˛
magnetyzacja spontaniczna. Istnienie parametru porzadku
˛
jest wspólna˛ cecha˛ przejść fazowych II rodzaju (ciagłych).
˛
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–3
Układ
ferromagnetyk
antyferromagnetyk
nadciekłość
model Kuramoto
Przykłady parametru porzadku
˛
Parametr porzadku
˛
Złamana symetria
magnetyzacja
symetria obrotowa
magnetyzacja podsieci
symetria obrotowa
funkcja falowa kondensatu
globalna symetria cechowania
moduł fazy zsynchronizowanej (układ niehamiltonowski)
Wszystkie przejścia fazowe II rodzaju sa˛ wiec
˛ w pewnym sensie
“podobne” i możemy spróbować opisać je wspólnie.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–4
Teoria Ginzburga-Landaua
Pomijajac
˛ wszystkie mikroskopowe szczegóły układu, opisujemy układ poprzez pewne pole φ(x) w D-wymiarowej przestrzeni. Przypuśćmy, że istnieje także jakieś pole zewnetrzne
˛
h(x) (w modelu ferromagnetyka byłoby
to zewnetrzne
˛
pole magnetyczne). Postulujemy, że energia ma postać
E[φ] =
Z
1
dD x
|∇φ(x)|2 + Ω(φ(x)) − h(x)φ(x)
2
(2)
Człon kinetyczny narzuca pewien koszt energetyczny zwiazany
˛
z gradientem φ, przez co układ daży
˛ do jednorodności. Ω jest potencjałem zawierajacym
˛
tylko parzyste potegi:
˛
Ω(φ(x)) = r0φ2(x) + u0φ4(x) + · · ·
c 2015 P. F. Góra
Copyright (3)
13–5
ale wyrazy wyższe zazwyczaj sie˛ pomija. Wymagamy, aby u0 > 0, dzieki
˛
czemu E[φ] ma dolna˛ granice.
˛ r0 może mieć dowolny znak. Cały układ
wykazuje symetrie˛ “góra-dół”.
Sume˛ statystyczna˛ otrzymamy całkujac
˛ po wszystkich możliwych funkcjonalnych postaciach φ:
Z[h] =
Z
(Dφ)e−βE[φ]
(4)
Policzywszy sume˛ statystyczna,
˛ energie˛ swobodna˛ i pozostałe wielkości
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–6
termodynamiczne liczymy w zykły sposób:
F = −kB T ln Z[h]
M =
Z
χ=
dD x φ(x) = −
1 ∂M
V ∂h
∂F
∂h
(podatność)
∂ 2F
Ch = −T
∂T 2
c 2015 P. F. Góra
Copyright (5a)
(5b)
(5c)
(5d)
13–7
Całkowanie funkcjonalne
Całka w (4) oznacza całkowanie funkcjonalne (czyli całk˛e po trajektoriach).
Możemy założyć, że całk˛e te˛ można wykonać nastepuj
˛ aco:
˛
Zastepujemy
˛
ciagł
˛ a˛ przestrzeń dyskretna˛ siatka˛ {x1, x2, . . . }. Niech φi = φ(xi). Całka
funkcjonalna może być przybliżona przez
Z
(Dφ) =
Z∞
−∞
c 2015 P. F. Góra
Copyright dφ1
Z∞
dφ2 . . .
(6)
−∞
13–8
Konfiguracje pola φ wykazujace
˛ silne oscylacje, tym bardziej zaś niecia˛
głości∗, prowadza˛ do dużych wartości członu |∇φ|2 w energii (2), a zatem
daja˛ mały przyczynek do sumy statystycznej (4). Oczekujemy, że najwiek˛
szy przyczynek bed
˛ a˛ dawać konfiguracje o niewielkiej zmienności.
∗ Po
zdyskretyzowaniu przestrzeni, także operator gradientu zastepujemy
˛
jego dyskretnym przybliżeniem.
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–9
Teoria średniego pola
W jednorodnym polu zewnetrznym
˛
h(x) = h, pole φ fluktuuje wokół pewnej stałej. Zaniedbujemy fluktuacje i przyjmujemy, że
(7)
φ(x) = m
gdzie m jest stała.
˛ Pole φ ma zatem stała,
˛ uśredniona˛ wielkość w obrebie
˛
całego układu. Energia swobodna wynosi wówczas
F (m) = V (r0m2 + u0m4 − hm)
(8)
Chcemy zminimalizować te˛ wielkość ze wzgledu
˛
na m. Dla h = 0 mamy
m m2 +
r0
2u0
!
=0
(9)
Jeśli r0 > 0, jest tylko jeden pierwiastek
m = 0. Jeśli r0 < 0, pojaq
wiaja˛ sie˛ dwa dodatkowe pierwiastki ± −r0/2u0. Dla r0 < 0 pierwiastek
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–10
m = 0 odpowiada maksimum energii swobodnej — układ musi wybrać
pomiedzy
˛
jednym z minimów, łamiac
˛ w ten sposób symetrie.
˛
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–11
Przypuśćmy teraz, że
T
−1
Tc
b > 0, a t jest temperatura˛ zredukowana.
˛ Mamy wiec
˛
r0 = bt ,
m=

0
t=
T > Tc
√
±m
0 −t T < Tc
(10)
(11)
W ten sposób odtworzyliśmy charakterystyczna˛ krzywa˛ pierwiastkowa˛ dla
spontanicznej magnetyzacji w modelu Isinga (a także, przy innych oznaczeniach, kształt modułu fazy zsynchronizowanej dla modelu Kuramoto).
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–12
Wykładniki krytyczne
W punkcie t = 0 funkcje termodynamiczne zawieraja˛ cz˛eść regularna˛ w t
i cz˛eść osobliwa,
˛ zachowujac
˛ a˛ sie˛ jak pewne potegi
˛ t. Potegi
˛ te nazywane
sa˛ wykładnikami krytycznymi. Najcz˛eściej wprowadza sie˛ nastepuj
˛ ace
˛ wykładniki krytyczne:
M ∼
|t|β
parametr porzadku
˛
(12a)
χ ∼ |t|−γ
podatność
(12b)
C ∼ |t|−α
pojemność cieplna
(12c)
1 . Można łatwo wyliczyć, że
Widzieliśmy, że w teorii pola średniego β = 2
α = 0, γ = 1. Zestawienie wykładników krytycznych dla modelu Isinga
zawiera poniższa tabela:
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–13
Wykładniki krytyczne w modelach Isinga
Układ
α
β
γ
średnie pole
0
1/2
1
2D (dokładnie)
0
1/8
7/4
3D (przybliżenie)
0.12
0.31
1.25
3D (pomiar)
0−0.14 0.32−0.39 1.3−1.4
Teoria średniego pola jest zaledwie takim sobie przybliżeniem
rzeczywistości. . .
c 2015 P. F. Góra
Copyright 13–14