Symulacja modelu matematycznego rzeki

Symulacja modelu matematycznego rzeki opisanego równaniami
różniczkowymi cząstkowymi.
P. Krutys, T. Kwater
Uniwersytet Rzeszowski, Instytut Techniki, 35-959 Rzeszów, al. Rejtana 16c
In the paper the algorithm of solution partial differr rential equation is proposed. This mathematical represents pollution state of river. The block schema of algorithm and some simulation results is given.
Wprowadzenie.
W artykule podano algorytm i schemat blokowy rozwiązywania modelu matematycznego zanieczyszczonej rzeki. Model ten w postaci równań różniczkowych cząstkowych otrzymano z równań różniczkowych zwyczajnych
uwzględniając długość rzeki. Reprezentuje on dwa wskaźniki tj. biochemiczne zapotrzebowanie tlenu BZT oraz poziom rozpuszczonego tlenu RT. Dysponując modelem matematycznym rozkładu zanieczyszczeń w rzece możemy przy
pomocy symulacji numerycznych, jak i rozwiązywania tych
równań różniczkowych zwyczajnych wpływać na zmiany
wskaźników zanieczyszczenia (BZT, RT) w określonych
warunkach i określonym czasie unikając w ten sposób bardzo pracochłonnych i kosztownych badań obiektu rzeczywistego.
Model matematyczny rzeki zanieczyszczonej biochemicznie.
Określenie zużycia tlenu opiera się na założeniu, po
raz pierwszy sformułowanemu przez Streetera i Phelpsa, że
biochemiczny rozkład substancji organicznych przebiega
zgodnie z równaniem różniczkowym kinetyki reakcji fizyczno chemicznej pierwszego rzędu. Równania te dla stałej
objętości mieszaniny wody i zanieczyszczeń mają postać:
d
x1 = −k1 x1 ;
dt
d
x2 = − k 2 x1 + k3 ( x2N − x2 ) + a ,
dt
(1)
(2)
gdzie:
x1[mg/l], x2 [mg/l] – stężenie biochemicznego zapotrzebowania tlenu (BZT) i rozpuszczonego tlenu (RT), x2N
[mg/l]- stężenie nasycenia tlenu k1, k2, k3- współczynniki, a
[mg/l doba]- intensywność dostarczania tlenu.
Uwzględniając dynamikę przepływu wody i zakładając idealne mieszanie, rozkład zanieczyszczeń w rzece
można opisać wektorowym równaniem różniczkowym w
postaci:
∂
∂
(α x) +
(Vx) = Ax + Bz wr ,
∂t
∂z
(3)
z warunkami granicznymi: x0(z)= x(z,0) , xb(t)= x(0,t).
W równaniu (3) użyto symboli: x- wektor stanu, Amacierz stanu, V- macierz prędkości, wr - wektor zakłóceń
142
B-macierz oddziaływania zakłóceń, α- przekrój poprzeczny
rzeki. Uwzględniając specyfikę rzeki, a zwłaszcza jej dopływy można dokonać umownego jej podziału na odcinki.
Wówczas równania (3) dla i-tego odcinka przyjmują
następującą postać:
∂
∂
xi ( z , t ) + Vi ( z )
xi ( z , t ) = Ai ( z ) xi ( z , t ) + wri ( z, t )
∂t
∂z
(4a)
z warunkami granicznymi:
xi (0, t ) = M i xi −1 (1, t ) + wbi (t ) + Rbi ubi (t ) ;
xi ( z , t0 ) = xi 0 ( z ), i=
1 ,...,N M1=0 dla j=0 . (4b)
Należy zauważyć, że powiązanie między poszczególnymi odcinkami występuje tylko na ich brzegach, reprezentuje to macierz Mi. Inne alternatywne podejście dla całej
rzeki wykorzystujące równania (3) prowadzi do modelu ma~
tematycznego, w którym macierz A jest pseudodiagonalną
macierzą:
 A1

 A21
~
A= 0

  0

φ
A2 Ai,i −1
Ai
AN ,N −1
0 

.

. 
AN 
Podmacierze na przekątnej w dotyczą poszczególnych odcinków rzeki, pozostałe zaś przedstawiają oddziaływania między nimi.
Algorytm rozwiązywania matematycznego modelu rzeki
Idea rozwiązania polega na rozważeniu procesu reakcji biochemicznych wzdłuż linii związanych z prędkością
przemieszczania się wody a tym samym współrzędnych
wektora stanu. Zatem równania (3) lub (4ab) stają się
zwyczajnymi równaniami różniczkowymi wzdłuż tych linii
zwanymi charakterystykami. Zadanie rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych sprowadza się do zbioru
rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Przyjmując odpowiednią dyskretyzację w dziedzinie czasu i długości otrzymuje się obszar rozwiązań przedstawiony na rys.1.
Dla uzyskania jednoznacznego rozwiązania konieczna jest
znajomość warunku początkowego x(t,0) oraz brzegowego
x(0,l). W naszym przypadku oznacza to ustalenie wartości x
na osiach t oraz l. Taka interpretacja modelu wskazuje, że
otrzymujemy rozwiązania w węzłach siatki rys.1. dokładność otrzymanego rozwiązania można określić przyjmując
kroki dyskretyzacji dl oraz dt.W obszarze rozważań istnieje
możliwość uwzględnienia różnej prędkości rzeki, co widać
na rys.1.
Rys. 3. Schemat blokowy dopływu rzeki.
Rys.1. Dziedzina rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych stanu
obiektu przy pomocy nieskończenie wielu charakterystyk.
W ogólności nasze rozważania prowadzą do wykorzystania w proponowanym algorytmie podwójnej pętli iteracyjnej, ze względu na dyskretyzacje czasową dt oraz długości dl rys.2.
Rezultaty symulacyjne
Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych
cząstkowych został implementowany w środowisku Matlab
6.5. Przykładowe rezultaty przedstawiają rys.4, rys. 5. Jako
rozkład przestrzenno-czasowy dla BZT i RT.
a
b
Rys.4. Czasoprzestrzenny rozkład BZT-(a) oraz RT – (b) w mg/l
(w czasie i długości).
Na rys.4 przedstawiono stan zanieczyszczenia rzeki
z bocznym dopływem o dużym BZT. Przyjęto założenie, że
zarówno warunek początkowy jak i dopływ charakteryzują
się stałą wartością BZT i RT, co jest przybliżeniem rzeczywistych warunków. Jak można zauważyć rzeka posiada
zdolność do samooczyszczenia (zmniejszający się deficyt
RT). Po wystąpieniu dużego zanieczyszczenia, co jest widoczne w nagłym wzroście wskaźnika BZT poziom RT osiąga
wartość minimalną z opóźnieniem. W naszym przypadku
wynosi ono ok. 40 dni. Ten niski stan utrzymuje się przez
kilkadziesiąt dni.
Rys. 2. Schemat blokowy rozwiązywania modelu rzeki.
Uwzględniając warunki rzeczywiste należy przyjąć,
iż mogą wystąpić dopływy boczne. Przykładowe modelowanie takich warunków przedstawiono na rys.3. Szczegółowe ustalanie zmiennych wartości zanieczyszczeń tych
dopływów wymaga dalszej rozbudowy algorytmu z rys.3.
Indeks j oznacza lokalizację dopływu wzdłuż długości,a indeks i oznacza „lokalizację czasową”. Te założenia można
w łatwy sposób umiejscowić na rys.1.
[1].Т. Кватер: Моделі контролю та діагностики узагальнених
динамічних системв нейромережному середовищі Дисертаціa
док. Тех. Hаук, Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури Львів-2006
[2].Т. Кватер: Нейромережні інформаційні технології контролю та діагностики динамічних об’єктівв умовах невизначеності Монографія. Видавництво Тараса Сороки, Львів. –
2005. – 270 с.
[3]. P. Palczewski: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i
metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu
obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa 1996r
143